Lösungen zur Wärmelehre

Temperatur und Wärme

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Temperatur und Wärme.


  • Um eine Temperatur von Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, muss man den Temperaturwert in die entsprechende Umrechnungsgleichung einsetzen:

    \text{Temperatur in \textdegree F} &= (\text{Temperatur in \textdegree
C} \cdot 1,8) + 32 \\[4pt]

    Mit T_{\mathrm{C}} = \unit[20]{\degree C } gilt somit:

    T_{\mathrm{F}} = (T_{\mathrm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((20 \cdot 1,8) +
32)]{\degree F} = \unit[68]{\degree F}

    Eine Temperatur von \unit[20]{\degree C } entspricht somit einer Temperatur von \unit[68]{\degree F}.

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  • Um eine in Grad Celsius angegebene Temperatur in Kelvin umzurechnen, muss lediglich 273 zum Temperaturwert hinzu addiert werden:

    \text{Temperatur in K} &= \text{Temperatur in \textdegree C} + 273
\\[4pt]

    Mit T_{\mathrm{C}} = \unit[40]{\degree C } folgt somit:

    T = T_{\mathrm{C}} + 273 = \unit[40 + 273]{K} = \unit[313]{K}

    Zur Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit muss der gegebene Temperaturwert in die passende Umrechnungs-Gleichung eingesetzt werden:

    \text{Temperatur in \textdegree F} &= (\text{Temperatur in \textdegree
C} \cdot 1,8) + 32 \\[4pt]

    Eingesetzt ergibt sich:

    T_{\mathrm{F}} = (T_{\mathrm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((40 \cdot 1,8) +
32)]{\degree F} = \unit[104]{\degree F}

    Eine Temperatur von \unit[40]{\degree C } entspricht somit einer Temperatur von \unit[313]{K} bzw. von \unit[68]{\degree F}.

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Wärmekapazität und Phasenübergänge

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Wärmekapazität und Phasenübergänge.


  • Um m=\unit[5]{kg} Eis mit einer Schmelzwärme von q_{\mathrm{s}} =
\unit[334]{kJ/kg} und einer Temperatur von T = \unit[0]{\degree C} zu schmelzen, muss eine Wärmemenge \Delta Q zugeführt werden, die der Schmelzwärme dieser Eismenge entspricht:

    Q = m \cdot q_{\mathrm{s}} = \unit[5]{kg} \cdot \unit[334]{\frac{kJ}{kg}} =
\unit[1670]{kJ}

    Mit dieser Wärmemenge würden sich m=\unit[5]{kg} Wasser mit einer spezifischen Wärmemenge von c=\unit[4,2]{\frac{kJ}{kg \cdot K}} und einer Temperatur von T_1 = \unit[0]{\degree C} um folgende Temperaturdifferenz \Delta T erwärmen:

    Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta T =
\frac{Q}{m \cdot c} = \frac{\unit[1670]{kJ}}{\unit[5]{kg} \cdot
\unit[4,2]{\frac{kJ}{kg \cdot K}}} \approx \unit[79,5]{\degree C}

    Mit der zum Schmelzen von Eis nötigen Wärmemenge könnte die gleiche Masse an Wasser somit auf knapp \unit[80]{\degree C} erhitzt werden.

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  • Für die zum Erwärmen nötige Energiemenge für m = \rho \cdot V =
\unit[1,0]{\frac{kg}{dm^3}} \cdot \unit[3,0]{dm^3} = \unit[3,0]{kg} Wasser gilt:

    \Delta Q = m \cdot c \cdot \Delta T = \unit[3,0]{kg} \cdot
\unit[4,2]{\frac{kJ}{kg \cdot K}} \cdot \unit[80]{K} \approx  \unit[1008]{kJ}

    Beträgt die Heizleistung P=\unit[2,0 \cdot 10^3]{W}, so ist folgende Zeit für das Erwärmen nötig:

    P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \quad \Longleftrightarrow \quad \Delta t =
\frac{\Delta E}{P} = \frac{\unit[1008 \cdot 10^{3}]{J}}{\unit[2,0 \cdot 10^3]{W}}
\approx \unit[504]{s} \approx \unit[8,4]{min}

    Zur Erwärmung sind somit (von Wärmeverlusten abgesehen) rund \unit[8,4]{min} nötig.

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Ausbreitung von Wärme

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Ausbreitung von Wärme.


  • Der Wärmestrom I_{\mathrm{Q}} durch das einfach verglaste Fenster kann direkt mit Hilfe der Wärmeleitungs-Formel berechnet werden. Mit A =
\unit[2]{m^2}, \lambda = \unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}}, l =
\unit[4]{mm} und \Delta T = \unit[20]{\degree C} -
\unit[5]{\degree C}= \unit[15]{K} folgt:

    I_{\mathrm{Q}} &= j_{\mathrm{Q}} \cdot A = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot
\Delta T \\ &= \frac{\unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}} \cdot \unit[1,0]{m^2}}{\unit[0,004]{m}} \cdot
\unit[15]{K} = \unit[3\,750]{W}

    Der Wärmestrom ist mit \unit[3\,750]{Watt} sehr hoch. Man würde eine ebenso hohe Heizleistung benötigen, um den Wärmeverlust zu kompensieren, andernfalls würde die Temperatur im Zimmer absinken.

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  • Bei einem Wärmestrom durch ein doppelt verglastes Fenster sind die einzelnen Wärmewiderstände in Reihe geschaltet; es addieren sich somit die einzelnen Wärmewiderstände. Alle Widerstände haben die gleiche Querschnittsfläche A_1 = A_2 = A3 = \unit[2]{m^2}, zudem sind die Schichtdicken l_1 = l_3 = \unit[4]{mm} sowie die Wärmeleitfähigkeiten \lambda_1 = \lambda_3 = \unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}} der beiden Glassscheiben identisch. Mit der Schichtdicke l_2 = \unit[1]{cm} des Luftspalts und dessen Wärmeleitfähigkeit \lambda_2 =
\unit[0,025]{\frac{W}{m \cdot K}} folgt für den Gesamtwiderstand:

    R_{\mathrm{ges}} &= R_1 + R_2 + R_3 = 2 \cdot R_1 + R_2 \\ &= 2 \cdot
\left( \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot A_1}\right) + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot
A_2} \\
&= 2 \cdot \left( \frac{\unit[0,004]{m}}{\unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}}
\cdot \unit[2]{m^2}}\right) +\frac{\unit[0,01]{m}}{\unit[0,025]{\frac{W}{m
\cdot K}} \cdot \unit[2]{m^2}} = \unit[0,204]{\frac{K}{W}}

    Für den Wärmestrom gilt damit:

    I_{\mathrm{Q,RS}} = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{ges}}} =
\frac{\unit[15]{K}}{\unit[0,204]{\frac{K}{W}}} \approx \unit[73,5]{W}

    Obwohl das Fenster eine doppelt so große Fläche A hat wie das einfach verglaste Fenster im letzten Beispiel, ist der Wärmestrom in diesem Fall erheblich geringer. Aus diesem Grund werden inzwischen fast nur noch doppelt (oder sogar dreifach) verglaste Fenster in Häuser eingebaut.

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  • Bei einer Verdopplung der Temperatur ergibt sich folgendes Verhältnis der Strahlungsleistungen:

    \frac{I_{\mathrm{Q,2}}}{I_{\mathrm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot
T_2^4}{\sigma \cdot A \cdot T_1^4} = \frac{T_2^4}{T_1^4} = \frac{(2 \cdot
T_1)^4}{T_1^4} = 2^4 = 16

    Bei einer Verdopplung der Temperatur steigt die Strahlungsleistung somit um das 16-fache an.

    Erhöht man die Temperatur eines Wärmestrahlers von T_1 =
\unit[10]{\degree C} auf T_2 = \unit[40]{\degree C}, so folgt für das Verhältnis der Strahlungsleistungen:

    \frac{I_{\mathrm{Q,2}}}{I_{\mathrm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot
T_2^4}{\sigma \cdot A \cdot T_1^4} = \frac{T_2^4}{T_1^4} =
\frac{(\unit[(273+40)]{K})^4}{(\unit[(273+10)]{K})^4} \approx 1,5

    Bei einer Erhöhung von \unit[10]{\degree C} auf \unit[40]{\degree } steigt die Strahlungsleistung auf das 1,5-fache, also um 50\% an. Entscheidend ist hierbei, dass mit absoluten Temperaturwerten gerechnet wird und eine vierfache Celsius-Temperatur somit nicht einer vierfachen Kelvin-Temperatur entspricht.

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Ausdehnung bei Erwärmung

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Ausdehnung bei Erwärmung.


  • Durch die Erwärmung dehnt sich das Metall-Lineal und damit auch seine Mess-Skala leicht aus. Mit dem erhitzten Lineal gemessene Werte sind somit aufgrund der gestreckten Skala geringfügig zu klein.

    Beispiel:

    Angenommen, das Lineal bestünde aus Eisen; damit würde es sich um \alpha_{\mathrm{Fe}} = \unit[0,0121]{mm} je Meter Ausgangslänge und je Kelvin Temperaturerhöhung ausdehnen. Ist das Lineal beispielsweise l
= \unit[50]{cm} = \unit[0,5]{m} lang und heizt sich um \Delta T =
\unit[50]{K} auf, so dehnt es sich um folgende Länge aus:

    \Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T = \unit[0,0121]{\frac{mm}{m
\cdot K} } \cdot \unit[0,5]{m} \cdot \unit[50]{K} = \unit[0,30]{mm}

    Das Lineal dehnt sich in diesem Beispiel somit trotz heftiger Erwärmung um nur \unit[0,3]{mm} weit aus. Da Messwerte niemals 100\%-ig korrekt abgelesen werden können, ist die Ausdehnung durch Erwärmung in diesem Fall nicht von Bedeutung. Auch das erhitzte Lineal kann somit weiter zur Längenmessung verwendet werden.

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  • Aluminium hat den größeren Längen-Ausdehnungskoeffizient als Stahl (\unit[0,024]{\frac{mm}{m \cdot K} } > \unit[0,010]{\frac{mm}{m
\cdot K} }); es dehnt sich somit bei Erwärmung stärker aus als Stahl. Soll sich der Bimetall-Streifen nach oben verbiegen, muss somit sich das Aluminium unten beziehungsweise der Chrom-Stahl oben befinden.

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  • Der Längen-Ausdehnungskoeffizient von Kupfer beträgt (\alpha
_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m \cdot K} }). Durch die Erwärmung um \Delta T = \unit[40]{K} dehnt sich der \unit[120]{m} lange Draht somit um folgenden Betrag aus:

    \Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta t = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m
\cdot K} } \cdot \unit[120]{m} \cdot \unit[50]{K} = \unit[100,8]{mm} =
\unit[10,08]{cm}

    Der Kupfer-Draht dehnt sich somit um rund \unit[10]{cm} aus. Seine neue Länge beträgt damit l + \Delta l \approx \unit[120,1]{m}.

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  • Die Längenschwankung Brücke kann anhand der Temperaturunterschiede (T_2
-T_1 = \unit[(-15 - 15)]{K} = \unit[-30]{K} im Winter beziehungsweise (T_3 - T_1 = \unit[(+40 - 15)]{K} = \unit[+25]{K} im Sommer berechnet werden:

    l_2 &= l_1 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_2-T_1) = \unit[300]{m} \cdot (1 +
\unit[12 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot \unit[(-30)]{K}) \approx
\unit[299,892]{m} \\[4pt]
l_3 &= l_1 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_3-T_1) = \unit[300]{m} \cdot (1 +
\unit[12 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot \unit[(+25)]{K}) \approx
\unit[300,09]{m} \\[4pt]

    Die Längenschwankung der Brücke zwischen sommererlichen und winterlichen Temperaturen beträgt somit l_3 - l_2 \approx \unit[19,8]{cm}

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  • (*) An einem Sommertag scheint die Sonne auf einen Tank mit einem Volumen von V_0=\unit[50]{l}; der Tank erhitzt sich dabei von T_0=\unit[15]{\degree C} auf \unit[50]{\degree C}. Auf welches Volumen dehnt sich der Tank aus? Um welches Volumen würde sich ein gleiches Volumen an Benzin bei gleicher Temperaturdifferenz ausdehnen?
  • Für den Stahltank als Festkörper gilt \gamma \approx 3 \cdot \alpha =
\unit[35,4 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}}. Damit dehnt sich der Tank bei der Temperaturerhöhung um \Delta T = \unit[35]{K} auf folgendes Volumen aus:

    V_{\mathrm{neu}} = V_0 \cdot (1 + \gamma_{\mathrm{Stahl}} \cdot \Delta T)
= \unit[50]{l} \cdot (1 + \unit[35,4 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot
\unit[35]{K} \approx \unit[50,06]{l}

    Ein ebenso großes Ausgangsvolumen an Benzin dehnt sich hingegen bei gleicher Temperaturdifferenz auf folgendes Volumen aus:

    V_{\mathrm{neu}} = V_0 \cdot (1 + \gamma_{\mathrm{Benzin}} \cdot \Delta T)
= \unit[50]{l} \cdot (1 + \unit[1,06 \cdot 10^{-3}]{\frac{1}{K}} \cdot
\unit[35]{K} \approx \unit[51,86]{l}

    Das Benzin dehnt sich folglich wesentlich stärker aus als der Tank. Bei einem randvoll gefüllten Tank besteht somit die Gefahr, dass er sich bei Erwärmung verformt oder reißt; Tankbehälter sollten somit nie komplett gefüllt werden, oder ersatzweise (beispielsweise bei Heizungsanlagen) mit einem Überlauf-Gefäß ausgestattet sein.

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  • Eine Besonderheit (“Anomalie”) des Wassers liegt darin, dass es sich beim Erwärmen von \unit[0]{\degree C } bis zu einer Temperatur von \unit[4]{\degree C} zunächst zusammenzieht; erst ab einer höheren Temperatur T > \unit[4]{\degree C} dehnt es sich wieder aus. Wasser hat somit bei \unit[4]{\degree C } seine höchste Dichte.

    Eine zweite Besonderheit des Wassers liegt darin, dass es sich beim Erstarren nicht zusammenzieht, sondern etwa um 9\% seines Volumens ausdehnt. Eis hat somit eine geringere Dichte als Wasser und kann daher auf Wasser schwimmen.

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  • Jedes Gas füllt stets den ganzen Raum aus, der ihm zur Verfügung gestellt wird. Möchte man ein Gasvolumen komprimieren, so muss gegen das Gas Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit wird im Gas in Form von innerer Energie gespeichert: Es erhöht sich damit (theoretisch) der Druck oder die Temperatur des Gases oder (in der Praxis) beide Größen zusammen.

    Beim Zusammendrücken einer Luftpumpe erwärmt sich diese zum einen aufgrund der Reibung des Kolbens am Gehäuse der Luftpumpe, zum anderen wird stets ein Teil der zugeführten Kompressionsarbeit in Wärme-Energie umgewandelt.[1]

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  • Nach dem Modell eines idealen Gases kann das Eigenvolumen der Gasteilchen gegenüber dem Volumen, das diese anhand ihrer Bewegung einnehmen, völlig vernachlässigt werden (die Teilchen selbst haben quasi kein Eigenvolumen).

    Wird ein (ideales) Gas abgekühlt, so nimmt die Geschwindigkeit der Gasteilchen ab. Da sie damit weniger Platz beanspruchen, sinkt dementsprechend auch der Gasdruck (bei gleich bleibendem Volumen) bzw. das Volumen (bei gleich bleibendem Druck).[2] Bei einer Abkühlung hin zum absoluten Temperatur-Nullpunkt (\unit[-273]{K} \text{ bzw. }
\unit[0]{K}) würde die Eigenbewegung der Gasteilchen zum Stillstand kommen und sich somit auch das Volumen des idealen Gases auf null reduzieren.

    Die Teilchen realer Gase haben ein endliches Eigenvolumen, zudem wirken (sehr schwache) Kräfte zwischen den einzelnen Gasteilchen. Reale Gase kondensieren deshalb, bevor sie den absoluten Temperatur-Nullpunkt erreichen.[3]

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  • Nach der Zustandsgleichung eines idealen Gases ist der Quotient \frac{p \cdot V}{T} eines bestimmten Gasvolumens stets konstant. Das gesuchte Volumen V_2 nach der angegebenen Zustandsänderung kann durch Auflösung der Zustandsgleichung aus den übrigen fünf Größen berechnet werden:

    \frac{p_1 \cdot V_1 }{T_1 } = \frac{p_2
\cdot V_2  }{T_2 } \quad \Longleftrightarrow \quad V
_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2 }{T
_1 \cdot p_2 }

    Setzt man die gegebenen Werte ein (p_1 = \unit[1]{bar},\; T_1 =
\unit[300]{K},\; V_1 = \unit[30]{cm^3},\; p_2 = \unit[4]{bar},\; T_2 =
\unit[500]{K}), so erhält man:

    V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2 }{T _1 \cdot p_2 } =
\frac{\unit[1]{bar} \cdot \unit[30]{cm^3} \cdot
\unit[500]{K}}{\unit[300]{K} \cdot \unit[4]{bar}} = \unit[12,5]{cm^3}

    Das neue Volumen beträgt somit \unit[12,5]{cm^3}.

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  • Bleibt der Druck p während der Zustandsänderung eines Gases konstant, vereinfacht sich die Zustandsgleichung für ideale Gase folgendermaßen:

    \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}

    Somit kann durch Einsetzen der gegebenen Größen (V_1 =
\unit[20]{m^2} \times \unit[2,5]{m} = \unit[50]{m^3},\, T_1 =
\unit[12]{\degree C } = \unit[285]{K} ,\, T_2 = \unit[20]{\degree C} =
\unit[293]{K}) das Volumen der erwärmten Luft V_2 berechnet werden:

    \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \Longleftrightarrow \quad V_2 =
\frac{V_1 \cdot T_2}{T_1}

    V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{\unit[50]{m^3} \cdot
\unit[293]{K}}{\unit[285]{K}} \approx \unit[51,4]{m^3}

    Bei gleichem Druck würde sich die Luft somit auf ein Volumen von \unit[51,4]{m^3} ausdehnen. Da das Volumen des Raum jedoch nur \unit[50]{m^3} beträgt, müssen bei der höheren Temperatur \Delta V = V_2 - V_1 = \unit[1,4]{m^3} Luft aus dem Raum entweichen.

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  • Der Behälter enthält V_1=\unit[500]{l} Luft bei einem Überdruck von \unit[3 \cdot 10^5]{Pa}, der absolute Luftdruck im Behälter beträgt somit \unit[4 \cdot 10^5]{Pa}. Als Ergebnis sollen V_2=\unit[500]{l} bei einem Überdruck von \unit[8 \cdot
10^5]{Pa}, also einem absoluten Druck von p_2 = \unit[9 \cdot
10^5]{Pa} vorliegen. Dafür müsste bei dem anfänglichen Druck p_1 folgendes Volumen V_1 vorliegen:

    p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \quad \Longleftrightarrow \quad V_1 =
\frac{p_2}{p_1}\cdot V_2 \\[5pt]
V_1 = \frac{\unit[9 \cdot 10^5]{Pa}}{\unit[4 \cdot 10^5]{Pa}} \cdot
\unit[500]{l} = \unit[1125]{l}

    Tatsächlich sind allerdings nur \unit[500]{l} bei diesem Druck im Behälter enthalten. Es müssen also V_1^{*} = \unit[625]{l} zusätzlich bei einem Druck von p_1 im Behälter enthalten sein. Dazu ist folgende Luftmenge bei Normaldruck p_0 nötig:

    p_0 \cdot V_0 = p_1 \cdot V_1 ^{*} \quad \Longleftrightarrow \quad V_0 =
\frac{p_1}{p_0} \cdot V_1 ^{*} \\[5pt]
V_0 = \frac{\unit[4 \cdot 10^5]{Pa}}{\unit[1 \cdot 10^5]{Pa}} \cdot
\unit[625]{l} = \unit[2500]{l}

    Es ist somit eine zusätzliche Luftmenge von \unit[2500]{l} bei Normaldruck nötig.

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Allgemeine Gasgleichung

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Allgemeine Gasgleichung.


  • Nach der allgemeinen Gasgleichung gilt:

    p \cdot V = n \cdot R \cdot T

    Unter Normalbedingungen gilt für den Druck p=\unit[1,0 \cdot
10^{5}]{Pa} und für die Temperatur T=\unit[0]{\degree C} =
\unit[273,15]{K}. Somit ergibt sich für die im Volumen V=\unit[1,0]{l} enthaltene Luft folgende Stoffmenge n:

    n = \frac{p \cdot V}{R \cdot T} = \frac{\unit[1,0 \cdot 10^{5}]{Pa} \cdot
\unit[1,0 \cdot 10^{-3}]{m^3}}{\unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot
\unit[273,15]{K}} \approx \unit[0,044]{mol}

    Die Einheit ergibt sich, wenn man \unit{Pa} = \unit{\frac{N}{m^2}} und \unit{J} = \unit{N \cdot m} setzt:

    \unit{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot m^3}{\frac{N \cdot m}{mol \cdot K} \cdot
K}} = \unit{mol}

    Für die Anzahl N an Teilchen ergibt sich aufgrund der Beziehung N = n \cdot N_{\mathrm{A}}:

    N = n \cdot N_{\mathrm{A}} = \unit[0,044]{mol} \cdot \unit[6,022 \cdot
10^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx 2,7 \cdot 10^{22}

    In einem Luft sind somit rund 2,7 \cdot 10^{22} Teilchen enthalten.

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  • Nach der allgemeinen Gasgleichung gilt:

    p \cdot V = n \cdot R \cdot T = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} \cdot R \cdot T

    Diese Gleichung kann nach \rho = \frac{m}{V} aufgelöst werden:

    \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m_{\mathrm{M}}}{R \cdot T}

    Die molare Masse für Luft beträgt m_{\mathrm{M}} \approx
\unit[29]{\frac{g}{mol}}. Mit T = \unit[(273+20)]{K} und p =
\unit[1 \cdot 10 ^{-10}]{Pa} folgt:

    \rho = \frac{\unit[1 \cdot 10 ^{-10}]{Pa} \cdot
\unit[29]{\frac{g}{mol}}}{\unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot
\unit[(273+20)]{K}}  \approx  \unit[1,19 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{g}{m^3}}

    Die Einheit ergibt sich, wenn man \unit{Pa} = \unit{\frac{N}{m^2}} und \unit{J} = \unit{N \cdot m} setzt. Die resultierende Dichte der Luft im Laborvakuum ist also, verglichen mit der normalen Luftdichte von rund \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}, äußerst gering.

    In einem Kubikzentimeter dieses Restgases befindet sich bei gleicher Dichte nur ein Millionstel dieser Masse, also \unit[1,19 \cdot 10 ^{-18}]{g}. Anhand der molaren Masse m_{\mathrm{M}} = \unit[29]{\frac{g}{mol}} von Luft folgt damit für die enthaltene Stoffmenge:

    n = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} = \frac{\unit[1,19 \cdot 10
^{-18}]{g}}{\unit[29]{\frac{g}{mol}}} \approx \unit[4,11 \cdot 10
^{-20}]{mol}

    In einem Mol sind N_{\mathrm{A}} = 6,022 \cdot 10 ^{23} Teilchen enthalten. Somit gilt für die Anzahl N der je Kubikzentimeter im Gefäß verbleibenden Teilchen:

    N = n \cdot N_{\mathrm{A}} = \unit[4,11 \cdot 10 ^{-20}]{mol} \cdot
\unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx 24,7 \cdot 10^3

    In diesem “Laborvakuum” sind also immer noch rund 25\,000 Luftteilchen je Kubikzentimeter enthalten.

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[1]Beim Aufpumpen eines Balles oder eines Fahrrad-Schlauches ist sich dieser Effekt gut spürbar, da in diesem Fall das Ventil erst öffnet, wenn der Luftdruck in der Pumpe höher ist als in der Umgebung (innerhalb des Balles bzw. des Schlauches). Eine ähnliche Wirkung lässt sich beobachten, wenn die Luftpumpe während des Pumpens mit einem Finger zugedrückt wird.
[2]Beispielsweise zieht sich ein bei Zimmertemperatur aufgeblasener Luftballon zusammen, wenn man ihn in Eiswasser taucht.
[3]Viele Gase – insbesondere Edelgase – lassen sich durch das Modell des idealen Gases allerdings bis zu sehr tiefen Temperaturen sehr gut beschreiben (unter Normaldruck siedet Sauerstoff beispielsweise bei \unit[-183]{\degree C}, Helium erst bei \unit[-269]{\degree C
}).

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