Die allgemeine Gasgleichung

Die Zustandsgleichung für ideale Gase in einem geschlossenen System kann auch in folgender Form geschrieben werden:

p \cdot V = \text{konst.} \cdot T

Betrachtet man \unit[1]{mol} eines Gases, so ist der konstante Faktor auf der rechten Seite der obigen Gleichung gleich der allgemeinen Gaskonstante R = \unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}}; betrachtet man \unit[n]{mol} an Teilchen, so ist die Konstante entsprechend n-mal so groß. Es gilt somit für beliebige Gasmengen innerhalb eines geschlossenen Systems:

(1)p \cdot V = n \cdot R \cdot T

Diese Gleichung wird als “allgemeine Gasgleichung” bezeichnet und gilt in sehr guter Näherung bei nicht allzu hohen Drücken auch für reale Gase.

Normalvolumen eines Gases:

Mit der Gleichung (1) kann beispielsweise bestimmt werden, welches Volumen V_0 die Stoffmenge n=\unit[1]{mol} eines idealen Gases unter Normalbedingungen, also bei einem Druck von p=\unit[101,3]{kPa} und einer Temperatur von T=\unit[273,15]{K} einnimmt:

V_0 = \frac{\unit[1]{mol} \cdot \unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot
\unit[273]{K}}{\unit[101,3 \cdot 10^3]{Pa}} \approx \unit[0,0224]{\frac{N
\cdot m}{\frac{N}{m^2}}} = \unit[0,0224]{m^3} = \unit[22,4]{l}

Bei der obigen Rechnung wurde die Einheit Joule als Newton mal Meter und die Einheit Pascal als Newton je Quadratmeter geschrieben. Als Ergebnis erhält man fest, dass ein Mol eines idealen Gases (und in guter Näherung auch ein Mol eines realen Gases) unter Normalbedingungen ein Volumen von rund \unit[22,4]{Litern} einnimmt.

Teilchenzahl und molare Masse

Die allgemeine Gasgleichung stellt nicht nur einen Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur her, sondern gibt zusätzlich auch noch eine Beziehung zur Teilchenanzahl an. Da eine Stoffmenge von n=\unit[1]{mol} einer Anzahl von N_{\mathrm{A}} =
\unit[6,022\cdot 10^{23}]{Teilchen} entspricht (“Avogadro-Konstante”), folgt als weiterer Zusammenhang zwischen Stoffmenge n und Teilchenzahl N:

(2)n = \frac{N}{N_{\mathrm{A}}}

In einer Stoffmenge von \unit[n]{mol} eines Gases sind also n
\cdot N_{\mathrm{A}} Teilchen enthalten. Die Stoffmenge n lässt sich wiederum bestimmen, wenn man die Masse m eines Gases und seine molare Masse m_{\mathrm{Mol}} kennt:

n = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}}

Die molare Masse m_{\mathrm{M}} eines Gases kann anhand der relativen Atommasse u eines Elements aus einem Periodensystem der Elemente abgelesen werden. Bei Edelgasen, deren Teilchen aus einzelnen Atomen bestehen, ist die molare Masse mit der relativen Atommasse identisch. Bei Gasen wie Sauerstoff (\ce{O2}) oder Stickstoff (\ce{N2}), deren Teilchen aus zwei-atomigen Molekülen bestehen, entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements.

Beispiele:

  • Wie groß ist die molare Masse m_{\mathrm{M}} von Helium (\ce{He}), Stickstoff (\ce{N2}), Sauerstoff (\ce{O2}) und Argon (\ce{Ar})?

    Helium hat eine relative Atommasse von \unit[4]{\frac{g}{mol}}. Da Helium-Atome als einzelne Atome in Heliumgas auftreten, gilt auch für die molare Masse von Helium:

    m_{\mathrm{M,Helium}} = \unit[4]{\frac{g}{mol}}

    Stickstoff hat eine relative Atommasse von \unit[14]{\frac{g}{mol}}, Sauerstoff eine relative Atommasse von \unit[16]{\frac{g}{mol}}. Sowohl Stickstoff wie auch Sauerstoff treten als zweiatomige Moleküle auf. Die molare Masse dieser Gase ist somit doppelt so gross wie die relative Atommasse der Elemente:

    m_{\mathrm{M,Stickstoff}} &= 2 \cdot \unit[14]{\frac{g}{mol}}=
\unit[28]{\frac{g}{mol}} \\
m_{\mathrm{M,Sauerstoff}} &= 2 \cdot \unit[16]{\frac{g}{mol}}=
\unit[32]{\frac{g}{mol}} \\

    Argon hat eine relative Atommasse von \unit[40]{\frac{g}{mol}}. Da Argon ebenso wie Helium als ein-atomiges Gas auftritt, gilt für die molare Masse von Argon:

    m_{\mathrm{M,Argon}} = \unit[40]{\frac{g}{mol}}

  • Wie groß ist die molare Masse von Luft?

    Luft besteht näherungsweise aus 78\% Stickstoff, 21\% Sauerstoff und 1\% Argon. Die molare Masse von Luft entspricht der durchschnittlichen molaren Masse ihrer Bestandteile, wobei die unterschiedlichen Mengenverhältnisse als Gewichtungsfaktoren berücksichtigt werden:

    m_{\mathrm{M, Luft}} = 0,78 \cdot \unit[28]{\frac{g}{mol}} + 0,21 \cdot
\unit[32]{\frac{g}{mol}} + 0,01 \cdot \unit[40]{\frac{g}{mol}} \approx
\unit[29]{\frac{g}{mol}}

Anhand der molaren Masse eines Gases kann mittels der allgemeinen Gasgleichung beispielsweise dessen Dichte bei einem bestimmten Druck und einer bestimmten Temperatur bestimmt werden:

p \cdot V = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} \cdot R \cdot T \quad \Leftrightarrow
\quad \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m_{\mathrm{M}}}{R \cdot T}

Für Luft gilt beispielsweise unter Normalbedingungen, also bei p =
\unit[101,3]{kPa} und T = \unit[273]{K}:

\rho_{\mathrm{Luft}} = \frac{\unit[101,3 \cdot 10^3]{Pa} \cdot
\unit[29]{\frac{g}{mol}}}{\unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot
\unit[273]{K}} \approx \unit[1294,9]{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot g}{N \cdot
m}} = \unit[1294,9]{\frac{ g}{m^3}} \approx \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}

Hierbei wurde für die Einheit Pascal durch Newton je Quadratmeter und die Einheit Joule durch Newton mal Meter ersetzt. Der so berechnete Dichte-Wert von Luft stimmt mit experimentellen Messungen sehr gut überein.

Gasgemische und Partialdrücke

Bei Gasgemischen, wie beispielsweise Luft, kann die allgemeine Gasgleichung für jede einzelne Komponente aufgeschrieben werden:

p_{\mathrm{i}} \cdot V = n_{\mathrm{i}} \cdot R \cdot T

In dieser Gleichung gibt n_{\mathrm{i}} die Stoffmenge der i-ten Komponente an. Die zu Grunde liegende Idee hierbei ist wiederum, dass sich die Gasteilchen nicht gegenseitig beeinflussen, die gleiche Temperatur haben sowie das gleiche Volumen einnehmen. Man kann die obige Gleichung auch so deuten, dass jede der i Komponenten zu einem eigenen “Partialdruck” p_{\mathrm{i}} führt:

p_{\mathrm{i}} = \frac{n_{\mathrm{i}} \cdot R \cdot T}{V}

Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist dann die Summe aller Partialdrücke der einzelnen Komponenten. Dieses Prinzip wird nach ihrem Entdecker auch als Gesetz von Dalton bezeichnet:

p_{\mathrm{ges}} = \sum_{i=1}^{n} p_{\mathrm{i}} = p_1 + p_2 + \ldots

Luft besteht beispielsweise zu 78\% aus Stickstoff (\ce{N2}), zu 20,95\% aus Sauerstoff (\ce{O2}) und zu 0,5\% aus anderen Gasen (z.B. Argon und Kohlenstoffdioxid). Die Partialdrücke der einzelnen Gase entsprechen den Mol-Anteilen \frac{n_{\mathrm{i}}}{n} der einzelnen Substanzen. Bei einem Normal-Luftdruck von \unit[1,01]{bar} ergibt sich folglich ein Partialdruck von \unit[0,78]{bar} für Stickstoff, ein Partialdruck von \unit[0,2095]{bar} für Sauerstoff usw.

Luft kann zudem Wasserdampf aufnehmen, die dem Sättigungs-Dampfdruck von Wasser entspricht – dieser ist temperaturabhängig und beträgt bei \unit[20]{\degree} etwa \unit[0,023]{bar}.

Die Van-der-Waals-Gleichung

Die allgemeine Gasgleichung (1) gilt in guter Näherung nur für Gase mit geringer Dichte. Bei großen Gasdichten, beispielsweise bei gesättigtem Dampf, können reale Gase nicht mehr als “ideale” Gase betrachtet werden. In diesem Fall muss einerseits die Wechselwirkung zwischen den Gasmolekülen, andererseits auch das Eigenvolumen der Gasteilchen berücksichtigt werden. Aus der allgemeinen Gasgleichung ergibt sich mit den entsprechenden Korrektur-Termen die so genannte Van-der-Waals-Gleichung, die für n Mole eines Gases folgendermaßen lautet:

\left( p + \frac{a}{V^2} \right) \cdot \left( V  - b\right) = n \cdot R \cdot T

Hierbei bezeichnet b das Eigenvolumen der Gasteilchen; durch den Korrekturterm \frac{a}{V^2} wird der durch die Wechselwirkungen der Gasteilchen verursachte Binnendruck berücksichtigt.

In einem p(V)-Diagramm verlaufen die Isothermen oberhalb einer bestimmten, als “kritisch” bezeichneten Temperatur T_{\mathrm{kr}} ebenso wie die Isothermen von idealen Gasen. Unterhalb von T_{\mathrm{kr}} sind die Isothermen S-förmig gebogen.


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.