Die allgemeine Gasgleichung¶
Die Zustandsgleichung für ideale Gase in einem geschlossenen System kann auch in folgender Form geschrieben werden:
Betrachtet man eines Gases, so ist der konstante Faktor
auf der rechten Seite der obigen Gleichung gleich der allgemeinen Gaskonstante
; betrachtet man
an Teilchen, so ist die Konstante entsprechend
-mal so groß. Es gilt somit für beliebige Gasmengen innerhalb eines
geschlossenen Systems:
(1)¶
Diese Gleichung wird als „allgemeine Gasgleichung“ bezeichnet und gilt in sehr guter Näherung bei nicht allzu hohen Drücken auch für reale Gase.
Normalvolumen eines Gases:
Mit der Gleichung (1) kann beispielsweise bestimmt
werden, welches Volumen die Stoffmenge
eines
idealen Gases unter Normalbedingungen, also bei einem Druck von
und einer Temperatur von
einnimmt:
Bei der obigen Rechnung wurde die Einheit Joule als Newton mal Meter und die
Einheit Pascal als Newton je Quadratmeter geschrieben. Als Ergebnis erhält man
fest, dass ein Mol eines idealen Gases (und in guter Näherung auch ein Mol
eines realen Gases) unter Normalbedingungen ein Volumen von rund
einnimmt.
Teilchenzahl und molare Masse
Die allgemeine Gasgleichung stellt nicht nur einen Zusammenhang zwischen den
drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur her, sondern gibt
zusätzlich auch noch eine Beziehung zur Teilchenanzahl an. Da eine Stoffmenge
von einer Anzahl von
entspricht („Avogadro-Konstante“), folgt
als weiterer Zusammenhang zwischen Stoffmenge
und Teilchenzahl
:
(2)¶
In einer Stoffmenge von eines Gases sind also
Teilchen enthalten. Die Stoffmenge
lässt sich
wiederum bestimmen, wenn man die Masse
eines Gases und seine molare
Masse
kennt:
Die molare Masse eines Gases kann anhand der relativen
Atommasse
eines Elements aus einem Periodensystem der Elemente abgelesen werden. Bei Edelgasen, deren
Teilchen aus einzelnen Atomen bestehen, ist die molare Masse mit der relativen
Atommasse identisch. Bei Gasen wie Sauerstoff
oder Stickstoff
, deren Teilchen aus zwei-atomigen Molekülen bestehen,
entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements.
Beispiele:
Wie groß ist die molare Masse
von Helium
, Stickstoff
, Sauerstoff
und Argon
?
Helium hat eine relative Atommasse von
. Da Helium-Atome als einzelne Atome in Heliumgas auftreten, gilt auch für die molare Masse von Helium:
Stickstoff hat eine relative Atommasse von
, Sauerstoff eine relative Atommasse von
. Sowohl Stickstoff wie auch Sauerstoff treten als zweiatomige Moleküle auf. Die molare Masse dieser Gase ist somit doppelt so gross wie die relative Atommasse der Elemente:
Argon hat eine relative Atommasse von
. Da Argon ebenso wie Helium als ein-atomiges Gas auftritt, gilt für die molare Masse von Argon:
Wie groß ist die molare Masse von Luft?
Luft besteht näherungsweise aus
Stickstoff,
Sauerstoff und
Argon. Die molare Masse von Luft entspricht der durchschnittlichen molaren Masse ihrer Bestandteile, wobei die unterschiedlichen Mengenverhältnisse als Gewichtungsfaktoren berücksichtigt werden:
Anhand der molaren Masse eines Gases kann mittels der allgemeinen Gasgleichung beispielsweise dessen Dichte bei einem bestimmten Druck und einer bestimmten Temperatur bestimmt werden:
Für Luft gilt beispielsweise unter Normalbedingungen, also bei und
:
Hierbei wurde für die Einheit Pascal durch Newton je Quadratmeter und die Einheit Joule durch Newton mal Meter ersetzt. Der so berechnete Dichte-Wert von Luft stimmt mit experimentellen Messungen sehr gut überein.
Gasgemische und Partialdrücke¶
Bei Gasgemischen, wie beispielsweise Luft, kann die allgemeine Gasgleichung für jede einzelne Komponente aufgeschrieben werden:
In dieser Gleichung gibt die Stoffmenge der
-ten
Komponente an. Die zu Grunde liegende Idee hierbei ist wiederum, dass sich die
Gasteilchen nicht gegenseitig beeinflussen, die gleiche Temperatur haben sowie
das gleiche Volumen einnehmen. Man kann die obige Gleichung auch so deuten, dass
jede der
Komponenten zu einem eigenen „Partialdruck“
führt:
Der Gesamtdruck eines Gasgemisches ist dann die Summe aller Partialdrücke der einzelnen Komponenten. Dieses Prinzip wird nach ihrem Entdecker auch als Gesetz von Dalton bezeichnet:
Luft besteht beispielsweise zu aus Stickstoff
, zu
aus Sauerstoff
und zu
aus
anderen Gasen (z.B. Argon und Kohlenstoffdioxid). Die Partialdrücke der
einzelnen Gase entsprechen den Mol-Anteilen
der
einzelnen Substanzen. Bei einem Normal-Luftdruck von
ergibt sich folglich ein Partialdruck von
für
Stickstoff, ein Partialdruck von
für Sauerstoff usw.
Luft kann zudem Wasserdampf aufnehmen, die dem Sättigungs-Dampfdruck von Wasser
entspricht – dieser ist temperaturabhängig und beträgt bei
etwa
.
Die Van-der-Waals-Gleichung¶
Die allgemeine Gasgleichung (1) gilt in guter
Näherung nur für Gase mit geringer Dichte. Bei großen Gasdichten, beispielsweise
bei gesättigtem Dampf, können reale Gase nicht mehr als „ideale“ Gase betrachtet
werden. In diesem Fall muss einerseits die Wechselwirkung zwischen den
Gasmolekülen, andererseits auch das Eigenvolumen der Gasteilchen berücksichtigt
werden. Aus der allgemeinen Gasgleichung ergibt sich mit den entsprechenden
Korrektur-Termen die so genannte Van-der-Waals-Gleichung, die für Mole
eines Gases folgendermaßen lautet:
Hierbei bezeichnet das Eigenvolumen der Gasteilchen; durch den
Korrekturterm
wird der durch die Wechselwirkungen der
Gasteilchen verursachte Binnendruck berücksichtigt.
In einem -Diagramm verlaufen die Isothermen oberhalb einer
bestimmten, als „kritisch“ bezeichneten Temperatur
ebenso wie die Isothermen von idealen Gasen. Unterhalb von
sind die Isothermen S-förmig gebogen.
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.