Die kinetische Gastheorie

Viele reale Gase können unter Standardbedingungen in guter Näherung mittels des Modells der idealen Gase beschrieben werden: Die Anziehungskräfte zwischen den einzelnen Teilchen ist meist vernachlässigbar gering, und ebenso ist das Volumen der einzelnen Teilchen klein im Vergleich zum Gesamtvolumen des Gases. Geht man von diesen Annahmen aus, so kann ein Gas als große Anzahl einzelner Atome oder Moleküle angesehen werden, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in unterschiedliche Richtungen bewegen, wobei die einzelnen Bewegungsrichtungen und Geschwindigkeiten statistisch verteilt sind.

fig-geschwindigkeitsverteilung-gasteilchen

Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen in einem kubischen Behälter.

In einem einfachen Modell kann man von einem einzelnen Gasteilchen ausgehen, das sich in einem kubischen Behälter in x-Richtung auf die linke Wand des Behälters zu bewegt. Bezeichnet man mit m die Masse des Gasteilchens und mit -v_{\mathrm{x}} seine ursprüngliche Geschwindigkeit, so gilt für die Impulsänderung, die das Teilchen bei einem elastischen Stoß mit der Wand erfährt:

\Delta (m \cdot v) = m \cdot v_{\mathrm{x}} - (- m \cdot v_{\mathrm{x}}) = 2
\cdot m \cdot v_{\mathrm{x}}

Bis das Teilchen wieder auf die linke Wand trifft, muss es eine Strecke von s_{\mathrm{x}} = 2 \cdot l zurücklegen, wenn l die Länge des Würfels ist. Bis zum nächsten Stoß mit der linken Wand vergeht somit folgende Zeit \Delta t:

\Delta t = \frac{s_{\mathrm{x}}}{v_{\mathrm{x}}} = \frac{2 \cdot
l}{v_{\mathrm{x}}}

Die Kraft, die das Teilchen auf die Wand ausübt, ist gleich der Impulsänderung je Zeit:

F = \frac{\Delta (m \cdot v)}{\Delta t} = \frac{2 \cdot m \cdot
v_{\mathrm{x}}}{\frac{2 \cdot l}{v_{\mathrm{x}}}} = \frac{m \cdot
v_{\mathrm{x}}^2}{l}

Der Druck, der von dem einzelnen Teilchen auf die linke Wand ausgeübt wird, ist gleich dem Quotienten aus Kraft und Wandfläche:

p = \frac{F}{A} = \frac{m \cdot v_{\mathrm{x}}^2}{A \cdot l}
= \frac{2 \cdot m \cdot v_{\mathrm{x}}^2}{V}

Im letzten Rechenschritt wurde die Beziehung V = A \cdot l verwendet. Geht man nun nicht von einem einzelnen, sondern von N Teilchen aus, die sich in x-Richtung mit den Geschwindigkeiten v_{x,1}, \, v
_{x,2},\, \ldots,\, v_{x,n} hin- und herbewegen, so addieren sich die einzelnen Beiträge zum Gesamtdruck:

p = \frac{F}{A} = \frac{m}{V} \cdot ( v_{x,1}^2 + v_{x,2}^2 +
\ldots + v_{x,n}^2)

Da in einem Gasvolumen üblicherweise sehr viele Teilchen vorkommen, ist es wesentlich praktischer, anstelle von N einzelnen Geschwindigkeits-Quadraten mit N-mal dem mittleren Geschwindigkeits-Quadrat der Teilchen zu rechnen. Dieses entspricht dem arithmetischen Mittel der einzelnen Werte:

\bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \frac{v_{x,1}^2 + v_{x,2}^2 +
\ldots + v_{x,n}^2}{N} \quad \Longleftrightarrow \quad v_{x,1}^2 + v
_{x,2}^2 + \ldots + v_{x,n}^2 = N \cdot \bar{v_{\mathrm{x}}}^2

Setzt man diesen Ausdruck in die obige Gleichung ein, so erhält man:

p = \frac{m}{V} \cdot N \cdot \bar{v_{\mathrm{x}}}^2

Bei der Bewegung der Gasteilchen im Behälter tritt keine Geschwindigkeitsrichtung bevorzugt auf. Wenn sich im Durchschnitt gleich viele Gasteilchen in x-, y- und z-Richtung bewegen, muss \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \bar{v_{\mathrm{y}}}^2 = \bar{v_{\mathrm{z}}}^2 gelten.

\bar{v}^2 = \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 + \bar{v_{\mathrm{y}}}^2 +
\bar{v_{\mathrm{z}}}^2 \quad \Longleftrightarrow \quad
\bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \frac{1}{3} \cdot \bar{v}^2

Somit kann die obige Gleichung in folgender Form geschrieben werden:

p &= \frac{1}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot m \cdot \bar{v}^2 \\ &= \frac{1}{3}
\cdot \frac{N}{V} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar{v}^2

Im letzten Rechenschritt wurde der Term auf der rechten Seite mit 1 = 2
\cdot \frac{1}{2} multipliziert, was den Wert des Terms zwar unverändert lässt, es allerdings ermöglicht, den Faktor \left( \frac{1}{2} \cdot m \cdot
\bar{v}^2\right) als mittlere kinetische Energie \bar{E}_{\mathrm{kin}} der Gasteilchen aufzufassen. Formt man die Gleichung weiter um, so folgt:

p \cdot V = \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar{E}_{\mathrm{kin}}

Der Ausdruck p \cdot V auf der linken Gleichungsseite entspricht nach der allgemeinen Gasgleichung gerade p
\cdot V = n \cdot R \cdot T. Anstelle der allgemeinen Gaskonstante R kann dabei auch R = N_{\mathrm{A}} \cdot k_{\mathrm{B}} gesetzt werden, wobei k_{\mathrm{B}} = \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}} die so genannte Boltzmann-Konstante ist.[1] Für n=\unit[1]{mol} eines Gases gilt also:

N \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T = \frac{2}{3} \cdot N \cdot
\bar{E}_{\mathrm{kin}}

Damit erhält man als Gesamtergebnis der kinetischen Gastheorie folgende Gleichung:

(1)\bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T

Die kinetische Energie der Gasteilchen nimmt somit direkt proportional mit der (absoluten) Temperatur des Gases zu. Mit Hilfe der Gleichung (1) kann einerseits bestimmt werden, welche kinetische Gesamtenergie die Teilchen einer Gasmenge bei einer bestimmten Temperatur aufweisen, andererseits allerdings auch berechnet werden, wie groß die durchschnittliche Geschwindigkeit der einzelnen Gasteilchen bei einer bestimmten Temperatur ist.

Beispiele:

  • Wie groß ist die kinetische Gesamtenergie aller Moleküle eines idealen Gases bei einer Temperatur von \unit[0]{\degree C} und einer Stoffmenge von n= \unit[1]{mol}?

    Nach der kinetischen Gastheorie gilt für die durchschnittliche kinetische Energie eines einzelnen Gasteilchens:

    \bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T =
\frac{3}{2} \cdot \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}} \cdot
\unit[273]{K} \approx \unit[5,65 \cdot \unit[10]{-21}]{J}

    Multipliziert man diesen Wert mit der Anzahl N_{\mathrm{A}} =
\unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} an Teilchen je Mol, so erhält man als Gesamtenergie für ein Mol an Teilchen:

    \bar{E}_{\mathrm{kin,ges}} = \unit[5,65 \cdot 10 ^{-21}]{J} \cdot
\unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx
\unit[3403]{\frac{J}{mol}}

    Unter Normalbedingungen nimmt ein Mol eines idealen Gases ein “Normalvolumen” von \unit[22,4]{l} ein. Die darin enthaltene kinetische Energie E_{\mathrm{kin,ges}} \approx
\unit[3,4]{kJ} aller Teilchen entspricht in etwa der kinetischen Energie eines m=\unit[1]{kg} schweren Gegenstands, der sich mit einer Geschwindigkeit von v=\unit[82,5]{\frac{m}{s}} \approx
\unit[297]{\frac{km}{h}} bewegt. Diese beachtliche Energiemenge ist beispielsweise der Grund dafür, weshalb Wärmepumpen einen Teil der kinetischen Teilchen-Energien einer kälteren Umgebung “abzapfen” und einer wärmeren Umgebung zuführen können.

  • Wie groß ist die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat \bar{v}^2 von Luftmolekülen bei T = \unit[20]{\degree C}?

    Nach der kinetischen Gastheorie gilt für die durchschnittliche kinetische Energie eines einzelnen Gasteilchens der Masse m:

    \bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar{v}^2 = \frac{3}{2}
\cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T \quad \Longleftrightarrow \quad \bar{v}^2 =
\frac{3 \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T}{m}

    Wie im Abschnitt Teilchenzahl und molare Masse gezeigt, beträgt die Masse von einem Mol an Stickstoff-Teilchen \unit[28]{g}, die Masse von einem Mol an Sauerstoff-Teilchen \unit[32]{g}. Teilt man diese Werte jeweils durch die Anzahl N
_{\mathrm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} an Teilchen je Mol, so erhält man als Masse eines Stickstoff- bzw. Sauerstoff-Teilchens:

    m_{\ce{N2}} = \frac{\unit[28]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10
^{-23}]{\frac{1}{mol}}} \approx \unit[4,65 \cdot 10 ^{-23}]{g} =
\unit[4,65 \cdot 10 ^{-26}]{kg}  \\
m_{\ce{O2}} = \frac{\unit[32]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10
^{-23}]{\frac{1}{mol}}} \approx \unit[5,31 \cdot 10 ^{-23}]{g} =
\unit[5,31 \cdot 10 ^{-26}]{kg}

    Setzt man diese Werte in die obige Gleichung ein, so erhält man für die Geschwindigkeiten der Stickstoff- und Sauerstoffmoleküle:

    \sqrt{\bar{v}_{\ce{N2}}^2} = \sqrt{\frac{3 \cdot \unit[1,38 \cdot 10
^{-23}]{\frac{J}{K}} \cdot \unit[(273+20)]{K}}{\unit[4,6 \cdot 10
^{-26}]{kg}}} \approx \unit[511]{\frac{m}{s}} \\
\sqrt{\bar{v}_{\ce{O2}}^2} = \sqrt{\frac{3 \cdot \unit[1,38 \cdot 10
^{-23}]{\frac{J}{K}} \cdot \unit[(273+20)]{K}}{\unit[5,3 \cdot 10
^{-26}]{kg}}} \approx \unit[478]{\frac{m}{s}} \\

    Die Stickstoffteilchen sind mit rund \unit[480]{\frac{m}{s}} \approx
\unit[1840]{\frac{km}{h}} somit schneller als die Sauerstoffteilchen mit \unit[511]{\frac{m}{s}} \approx \unit[1720]{\frac{km}{h}}.

Je geringer also die molare Masse eines Gases ist, desto höher ist bei einer bestimmten Temperatur die durchschnittliche Geschwindigkeit der enthaltenen Teilchen.


Anmerkungen:

[1]Mit N_{\mathrm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} ist die sogenannte Avogadro-Konstante gemeint, welche die Anzahl an Teilchen je mol eines chemischen Stoffes angibt.