Lösungen zu Gleichungen

Lineare Gleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Lineare Gleichungen.


  • Zur Lösung der Gleichung empfiehlt es sich, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner 2 \cdot 3 = 6 der auftretenden Terme zu multiplizieren.

    \frac{10 \cdot x+3}{3} -5 &= 11 - \frac{3 \cdot x + 4}{2} - \frac{2 \cdot x
+6}{3} \\[4pt]
6 \cdot \left( \frac{10 \cdot x+3}{3} -5 \right) &= 6 \cdot \left( 11 -
\frac{3 \cdot x + 4}{2} - \frac{2 \cdot x +6}{3} \right) \\[4pt]

    Multipliziert man die Klammern aus, so können die auftretenden Brüche durch Kürzen beseitigt werden. Man erhält dadurch:

    {\color{white}....}2 \cdot (10 \cdot x+3) \; - \; 30  = 66 - 3 \cdot (3
\cdot x + 4) - 2 \cdot (2 \cdot x +6) \\[4pt]

    Die Gleichung kann durch ein Ausmultiplizieren der Klammern weiter vereinfacht werden:

    20 \cdot x+6 \; - \; 30  = 66 - 9 \cdot x - 12 - 4 \cdot x - 12 \\[4pt]

    Zum Auflösen werden alle x-Terme auf eine Seite der Gleichung, alle anderen Terme auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Damit folgt:

    20 \cdot x + 13 \cdot x &= 66 -24 + 24 \\
33 \cdot x &= 66 \\ x &= 2 \\

    Die Lösung der Gleichung lautet somit x=2.

    Zurück zur Aufgabe


Quadratische Gleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Gleichungen.


  • Der Satz von Vieta ist insbesondere dann nützlich, wenn eine quadratische Gleichung der Form 1 \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 vorliegt und b sowie c ganze Zahlen sind.

    Man prüft dann als erstes, durch welche Produkt zweier Zahlen sich die Zahl c darstellen lässt. Im Fall c=20 ergeben sich folgende Möglichkeiten:

    20 &= 20 \cdot 1 \\
 &= 10 \cdot 2 \\
 &= 5 \cdot 4 \\

    Ebenfalls möglich sind die Produkte (-20) \cdot (-1), (-10)
\cdot (-2) und (-5) \cdot (-4). Eine dieser drei beziehungsweise sechs Möglichkeiten gibt die beiden Lösungen der Gleichung an.

    Um zu prüfen, welche der obigen Möglichkeiten die Gleichung löst, bildet man die Summen der einzelnen Wertepaare:

    20 + 1 &= 21 \\
10 + 2 &= 12 \\
5 + 4 &= 9 \\

    Das “richtige” Wertepaar erkennt man daran, dass die Summe einen Wert ergibt, der mit dem Wert von (-b) identisch ist. In dieser Aufgabe ist b = -9, also ist (-b) = 9. Die Lösung der Gleichung lautet somit:

    x_1 = 4 \quad ; \quad x_2 = 5

    Als Produktform lässt sich die Gleichung damit wie folgt schreiben:

    x^2 - 9 \cdot x + 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-4) \cdot (x-5) = 0

    Zurück zur Aufgabe


Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen.

Bruch- und Produktgleichungen


  • Bei der Gleichung handelt es sich um eine Produkt-Gleichung; für den Definitionsbereich gilt \mathbb{D} = \mathbb{R}, es dürfen also alle reellen Zahlen für x eingesetzt werden.

    Um die Gleichung zu lösen, ist es hilfreich, alle die Variable x beinhaltende Terme auf die linke Seite zu sortieren. Dadurch erhält man:

    3 \cdot x \cdot (x - 5) &= 6 \cdot (x - 5) \\
3 \cdot x \cdot (x - 5) - 6 \cdot (x - 5)&= 0

    Auf der linken Seite kann nun der Term (x-5) ausgeklammert werden. Daraus ergibt sich:

    (3 \cdot x - 6) \cdot (x - 5) &= 0

    Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Gleichung ist somit in den folgenden beiden Fällen erfüllt:

    3 \cdot x - 6 &= 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2 \\
x - 5 &= 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 5

    Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit \mathbb{L} = \{2;\,5\}.

    Hinweis: Würde man im ersten Schritt durch (x-5) dividieren, so bliebe nur noch die Lösung x=2 übrig. Bei einer Division einer Gleichung durch einen Term muss also stets darauf geachtet werden, dass dieser Term ungleich Null ist; gegebenenfalls muss eine Fallunterscheidung vorgenommen und dieser Fall – im obigen Beispiel x=5 – separat untersucht werden.

    Zurück zur Aufgabe


  • Bei Bruchgleichungen muss ausgeschlossen sein, dass die Nenner der auftretenden Terme gleich Null werden; es muss also gelten:

    2 \cdot x + 10 \ne 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ne -5 \text{ und }\\
4 - 2 \cdot x \ne 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ne 2

    Um die Gleichung zu lösen, ist es empfehlenswert, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (2 \cdot x + 10) \cdot (4 - 2 \cdot x) zu multiplizieren. Nach dem Kürzen entfallen dadurch die Nenner:

    \frac{3 \cdot x + 13}{2 \cdot x + 10} &= \frac{4 - 3 \cdot x}{4 - 2\cdot
x} \\[8pt]
\frac{\cancel{(2 \cdot x + 10)} \cdot (4 - 2 \cdot x) \cdot (3 \cdot x +
13)}{\cancel{2 \cdot x + 10}} &= \frac{(4 - 3 \cdot x) \cdot (2 \cdot x +
10) \cdot \cancel{(4 - 2 \cdot x)}}{\cancel{4 - 2\cdot x}} \\[8pt]
\Rightarrow (4 - 2 \cdot x) \cdot (3 \cdot x + 13) &= (4 - 3 \cdot x)
\cdot (2 \cdot x + 10)

    Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, müssen die Terme auf beiden Seiten ausmultipliziert werden. Man erhält:

    12 \cdot x + 52 - 6 \cdot x^2 - 26 \cdot x &= 8 \cdot x + 40 - 6 \cdot x^2
- 30 \cdot x \\
- 6 \cdot x^2 -14 \cdot x + 52 &= -6 \cdot x^2 -22 \cdot x + 40 \\

    Sortiert man alle x-Terme auf die linke und alle übrigen Terme auf die rechte Seite, so entfällt der quadratische Term. Übrig bleibt eine lineare Gleichung mit folgender Lösung:

    8 \cdot x \; &= -12 \\
x \; &= -\frac{3}{2} \\

    Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit \mathbb{L} = \{ -\frac{3}{2} \}.

    Zurück zur Aufgabe


Wurzelgleichungen


  • Betrachtet man (ohne jegliche algebraische Umformung) den Definitionsbereich der Gleichung, so stellt man fest, dass dieser leer ist. Es gibt nämlich keinen Wert für die Variable x, so dass die beiden Bedingungen x-5 \ge 0 und 2-x \ge 0 gleichzeitig erfüllt sind. Da dies nicht möglich ist, kann die Gleichung folglich für keine reelle Zahl x
\in \mathbb{R} erfüllt werden.

    Zurück zur Aufgabe


  • Die Definitionsmenge ergibt sich, da reellwertige Wurzeln nicht negativ sein dürfen, aus folgenden Ungleichungen:

    \sqrt{x + 1} \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ge -1 \\
x - 5 \ge 0 \quad &\Longleftrightarrow \quad x \ge 5 \\

    Da beide Bedingungen zugleich gelten müssen und die zweite Bedingung x
\ge 5 die erste Bedingung x \ge -1 hinreichend mit einschließt, gilt für den Definitionsbereich der Gleichung \mathbb{D} = [5; \infty[.

    Um die Gleichung zu lösen, können die Terme auf beiden Seiten in einem ersten Rechenschritt quadriert werden. Man erhält hierbei:

    x + 1 = (x - 5)^2

    Diese Gleichung entspricht nun einer quadratischen Gleichung. Um sie zu lösen, werden alle Terme auf die linke Seite sortiert und anschließend Klammer der quadratische Term (x-5)^2 ausgewertet:

    (x-5)^2 \quad - x - 1 &= 0 \\
(x^2 - 10 \cdot x + 25) - x - 1 &= 0 \\

    Da in der resultierenden Gleichung alle Operatoren die gleiche Priorität haben und vor der Klammer kein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden. Die x-Terme sowie die Zahlenwerte können noch folgendermaßen zusammengefasst werden:

    x^2 - 11 \cdot x + 24 \quad  &= 0 \\

    Diese Gleichung kann beispielsweise mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Mit a=1, b=-11 und c=24 erhält man:

    x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{11 -
\sqrt{121 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = 3\\
x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{11 +
\sqrt{121 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = 8\\

    Man könnte nun annehmen, dass die Lösungsmenge gleich \mathbb{L} = \{
3;\,5 \} ist – doch das ist falsch! Die Definitionsmenge \mathbb{D} =
[5;\,\infty[ der ursprünglichen Gleichung schließt die Lösung x_1 = 3 der späteren quadratischen Gleichung aus. Der Grund für das Hinzukommen der “Scheinlösung” liegt im ersten Rechenschritt, nämlich dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Da diese Umformung keine Äquivalenz-Umformung ist, können – wie in diesem Beispiel – weitere Lösungen hinzukommen.

    Neben einem Blick auf den Definitionsbereich hätte auch ein Einsetzen der erhaltenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung die Scheinlösung x_1=3 ausgeschlossen. Die Lösungsmenge lautet also \mathbb{L} =
\{ 8 \}.

    Zurück zur Aufgabe


Exponential- und Logarithmusgleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Exponential- und Logarithmusgleichungen.


  • Die Definitionsmenge der Gleichung ist \mathbb{D} = \{ x \,|\, x > 0,\;
x \ne 1 \}.

    Gemäß der Definition eines Logarithmus kann die Gleichung auch wie folgt geschrieben werden:

    \log_{x}{(125)} = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{3} = 125

    Zieht man bei der Gleichung auf der rechten Seite die dritte Wurzel, so erhält man:

    x = \sqrt[3]{125} = \pm 5

    Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge lautet die Lösung somit \mathbb{L} = \{ 5 \}.

    Zurück zur Aufgabe


Zurück zum Skript