Ungleichungen¶
Quadratische Ungleichungen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Ungleichungen.
Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung
die Nullstellen
und
besitzt; man kann die Ungleichung also auch folgendermaßen darstellen:
Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
Für
und
:
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit
.
Für
und
:
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also
.
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit
.
Betragsungleichungen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Betragsungleichungen.
Der Term
ist, sofern
ist, identisch mit
, andernfalls identisch mit
. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
Für
:
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit
.
Für
:
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit
.
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit
.