Ungleichungen

Quadratische Ungleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Ungleichungen.


  • Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung x^2 + 9 \cdot x + 14 = 0 die Nullstellen x_1=2 und x_2=7 besitzt; man kann die Ungleichung also auch folgendermaßen darstellen:

    x^2 + 9 \cdot x + 14 &< 0 \\[4pt]
\Longleftrightarrow (x-2) \cdot (x-7) &< 0 \\[4pt]

    Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:

    • Für (x-2) > 0 und (x-7) < 0:

      x - 2 > 0  \quad \text{ und } \quad x - 7 < 0 \\[4pt]
x > 2  \quad \text{ und } \quad x < 7 \\[4pt]

      Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit \mathbb{L}_1 = \; ]2;\; 7[.

    • Für (x-2) < 0 und (x-7) > 0:

      x - 2 < 0  \quad \text{ und } \quad x - 7 > 0 \\[4pt]
x < 2  \quad \text{ und } \quad x > 7 \\[4pt]

      Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also \mathbb{L}_2 = \emptyset.

    Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]2;\; 7[.

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Betragsungleichungen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Betragsungleichungen.


  • Der Term |x-1| ist, sofern x \ge 1 ist, identisch mit x-1, andernfalls identisch mit -(x-1). Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:

    • Für x \ge 1:

      x-1 < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x < 5

      Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit \mathbb{L}_1 = \;[1;\; 5[.

    • Für x < 1:

      -(x-1) < 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -x < 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x > -3

      Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit \mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 1[.

    Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \; ]\!-3;\; 5[.

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