Ungleichungen¶
Quadratische Ungleichungen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Quadratische Ungleichungen.
Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung die Nullstellen und besitzt; man kann die Ungleichung also auch folgendermaßen darstellen:
Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
Für und :
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit .
Für und :
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also .
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit .
Betragsungleichungen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Betragsungleichungen.
Der Term ist, sofern ist, identisch mit , andernfalls identisch mit . Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
Für :
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit .
Für :
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit .
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit .