Ungleichungen

Sind zwei Terme T_1 und T_2 durch die Kleiner-als-Relation < oder die Größer-als-Relation > miteinander verbunden, so spricht man von einer Ungleichung.[1]

(1)T_1 < T_2  \quad \text{oder} \quad  T_1 > T_2

Für Ungleichungen gilt ebenso wie für Gleichungen, dass man durch Belegung der Variablen mit konkreten Werten eine wahre oder falsche Aussage erhält. Die Definitionsmenge \mathbb{D} einer Ungleichung ist, sofern durch die Terme T_1 und T_2 keine Einschränkung vorgegeben ist, gleich der Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen.

Ungleichungen können keine, eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen haben. Im Allgemeinen besteht die zu bestimmende Lösungsmenge \mathbb{L} aus so genannten Intervallen, d.h. aus Teilbereichen von \mathbb{R}. Jedes Intervall hat eine untere Grenze a und eine obere Grenze b und umfasst somit alle Zahlen a < b, die zwischen diesen Grenzen liegen.

Intervalle lassen sich auf einfache Weise durch eckige Klammern angeben. Je nachdem, ob die Grenzen eines Intervalls noch zum Intervall gehören sollen oder nicht, unterscheidet man folgende Fälle:

  • Für ein geschlossenes Intervall gilt a \le x \le b.
    Man schreibt dafür [a \,;\, b].
  • Für ein halboffenes Intervall gilt entweder a \le x < b oder a < x \le b.
    Man schreibt dafür [a \,;\, b[ beziehungsweise ]a \,;\, b].
  • Für ein offenes Intervall gilt a < x < b.
    Man schreibt dafür ]a \,;\, b[.

Lösen von Ungleichungen

Ungleichungen lassen sich ebenso wie Gleichungen durch schrittweises Umformen lösen. Auch hierfür spielen äquivalente Umformungen eine wesentliche Rolle. Beispielsweise lassen sich die linke und die rechte Seite einer Ungleichung vertauschen, wenn gleichzeitig auch das Relationszeichen “umgedreht” wird:

T_1 < T_2 \quad \Leftrightarrow \quad T_2 > T1

Termumformungen, die sich nur auf eine Seite einer Gleichung auswirken, beispielsweise Zusammenfassen und Ausmultiplizieren bzw. Ausklammern von Summentermen sowie Kürzen und Erweitern von Bruchtermen, dürfen ohne Änderung des Relationszeichens jederzeit vorgenommen werden.

Eine Ungleichung bleibt zudem unverändert, wenn man auf beiden Seiten einen beliebigen Term T addiert oder subtrahiert.

T_1 < T_2 \quad &\Leftrightarrow  \quad T_1 + T < T_2 + T \\[2pt]
T_1 < T_2 \quad &\Leftrightarrow  \quad T_1 - T < T_2 - T \\[2pt]

Multipliziert oder dividiert man eine Gleichung mit bzw. durch einen Term T, so muss zum einen – wie bei Gleichungen – auf die Bedingung T \ne 0 geachtet werden, da ansonsten zusätzliche Lösungen hinzukommen bzw. ursprünglich gültige Lösung verschwinden können. Zum anderen ist zu beachten, dass das Relationszeichen umgedreht werden muss, wenn T < 0 ist. Somit gilt:

T_1  < T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, \cdot \; T < T_2 \, \cdot
\; T \qquad (T > 0)\\[2pt]
T_1  < T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, : \, T < T_2 \, : \, T
\qquad (T > 0)

bzw.

T_1  < T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, \cdot \; T > T_2 \, \cdot
\; T \qquad (T < 0)\\[2pt]
T_1  < T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, : \, T > T_2 \, : \, T
\qquad (T < 0)

Werden neben den vier grundlegenden Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) weitere Rechenoperationen (z.B. Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren) angewendet, so sind wiederum zusätzliche Überlegungen nötig.

Lineare Ungleichungen

Eine Ungleichung heißt linear, wenn sie in folgender allgemeiner Form dargestellt werden kann:

(2)a \cdot x + b < 0

Die Lösung einer linearen Ungleichung ist x < - \frac{b}{a}, falls a > 0 ist. Wenn andernfalls a < 0 gilt, so ist die Lösung x > - \frac{b}{a}.
(Die Division durch eine negative Zahl dreht das Ungleichungszeichen um.)

Beispiel:

  • Für welche x-Werte gilt die folgende Ungleichung?

    3 \cdot x -4 < -5 \cdot x + 9

    Zunächst wird die Gleichung in die allgemeine Form a \cdot x + b < 0 gebracht:

    8 \cdot x - 13 < 0

    Da in diesem Fall der Koeffizient a=8 positiv ist, folgt mit b
= -13 für die Lösung x < -\frac{b}{a}:

    x < \frac{13}{8}

    Die Ungleichung ist somit für alle x-Werte kleiner als \frac{13}{8} = 1,625 erfüllt.

Löst man eine lineare Ungleichung mit Papier und Bleistift, so kann es einfacher sein, alle x-Terme auf die eine Seite und alle anderen Terme auf die andere Seite zu sortieren und anschließend die Ungleichung durch den Koeffizienten des x-Terms zu teilen. Dies funktioniert jedoch einerseits nur bei linearen Ungleichungen, andererseits verlangen auch Computer-Algebra-Systeme wie Sympy teilweise explizit die in Gleichung (2) angegebene Darstellung.

Quadratische Ungleichungen

Eine Ungleichung heißt quadratisch, wenn sie in folgender allgemeiner Form dargestellt werden kann:

(3)a \cdot x^2 + b \cdot x + c < 0

Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, zerlegt man den Term auf der linken Seite, sofern möglich, in ein Produkt aus zwei Linearfaktoren. Dieses Produkt kann nur dann negativ sein, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Mittels zweier Fallunterscheidung wird also geprüft, für welche x-Werte jeweils ein Linearfaktor positiv und der andere negativ ist; die Lösung der quadratischen Ungleichung ist dann die Vereinigungsmenge beider Teillösungen.

Lässt sich der Term auf der linken Seite nicht in Linearfaktoren zerlegen, so ist die Ungleichung entweder für alle x-Werte wahr oder für alle x-Werte falsch. Welcher Fall zutrifft, lässt sich durch ein probeweises Einsetzen eines beliebigen x-Wertes leicht ermitteln.

Betragsungleichungen

Ungleichungen, die einen in Betragszeichen stehenden Term T enthalten, erfordern eine Fallunterscheidung hinsichtlich dieses Terms:

  • Für alle x-Werte, die als Bedingung T \ge 0 erfüllen, können die Betragsstriche durch runde Klammern ersetzt werden.
  • Für alle x-Werte, die T<0 zur Folge haben, werden die Betragsstriche durch runde Klammern ersetzt und mit (-1) multipliziert.

Nach dieser Fallunterscheidung wird die verbleibende Ungleichung gelöst. In beiden Fällen ist die Teil-Lösungsmenge gleich der Schnittmenge aus der Menge an x-Werten, für die T \ge 0 beziehungsweise T <0 ergibt, und der jeweiligen Lösung der resultierenden Ungleichung. Die Gesamt-Lösungsmenge ist schließlich gleich der Vereinigungsmenge beider Teil-Lösungsmengen.

Bruchungleichungen

Jede Bruchungleichung kann in eine der zwei folgenden Formen gebracht werden:

(4)\frac{a}{b} > 0 \quad \text{oder} \quad \frac{a}{b} < 0

Im ersten Fall ist nur dann eine Lösung möglich, wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind. Im zweiten Fall muss entweder a negativ und b positiv sein, oder umgekehrt a positiv und b negativ. Führen die sich ergebenden Fallunterscheidungen zu keinem Ergebnis, so ist die Ungleichung nicht lösbar.

Beispiel:

  • Für welche x-Werte gilt die folgende Ungleichung?

    \frac{x-2}{x+3} < 6

    Zunächst wird die Gleichung in die allgemeine Form (4) gebracht:

    \frac{x-2}{x+3} - 6 &< 0 {\color{white}\qquad 1}\\[3pt]
\frac{x-2}{x+3} - \frac{6 \cdot (x+3)}{x+3} &<0 \\[3pt]
\frac{x-2-6\cdot x-18}{x+3} &<0 \\[3pt]
\frac{-5 \cdot x -20}{x+3} &< 0

    Die erste Möglichkeit, dass die Ungleichung erfüllt wird, besteht darin, dass der Zähler positiv und der Nenner negativ ist. Dabei muss gelten:

    -5 \cdot x - 20 > 0 \quad &\text{und} \quad x + 3 < 0 \\
-5 \cdot x > 20 \quad & \text{und} \quad x < -3 \\
x < -4 \quad & \text{und} \quad x < -3

    Die erste Teillösung lautet somit x < -4, da nur diese x-Werte beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

    Die zweite Möglichkeit, dass die Ungleichung erfüllt wird, besteht darin, dass der Zähler negativ und der Nenner positiv ist. Dabei muss gelten:

    -5 \cdot x - 20 < 0 \quad &\text{und} \quad x + 3 > 0 \\
-5 \cdot x < 20 \quad & \text{und} \quad x > -3 \\
x > -4 \quad & \text{und} \quad x > -3

    Die zweite Teillösung lautet somit x > -3, da nur diese x-Werte beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

    Die Gesamt-Lösung ist gleich der Vereinigungsmenge beider Teillösungen, also ]\!-\!\infty \,;\, -4[ \;\; \cup \;\; ]\! -\!3 \,;\, +\!\infty[.

Ebenso wäre es möglich, die ursprüngliche Gleichung \frac{a}{b} < c mit dem Nenner des Bruchterms zu multiplizieren; hierbei muss jedoch ebenso mittels einer Fallunterscheidung geprüft werden, für welche x-Werte der Nenner positiv bzw. negativ ist; anschließend muss die sich ergebende Ungleichung mittels weiterer Fallunterscheidungen gelöst werden. Der insgesamte Rechenaufwand wird durch dieses Verfahren also meist nicht verringert.


Anmerkungen:

[1]Eine Ungleichung der Form T_1 \le T_2 stellt eine Vereinigung der Fälle T_1 < T_2 und T_1 = T_2 dar. Entsprechendes gilt für Ungleichungen mit der Größer-als-Relation \ge.