Eigenschaften von Gleichungen

Eine Gleichung entspricht einer Aussageform, bei der zwei Terme T_1 und T_2 durch die Gleichheits-Relation = miteinander verbunden sind:

(1)T_1 = T_2

Als Aussageform ist eine Variablengleichung weder wahr noch falsch. Belegt man allerdings die Variablen mit zulässigen Werten, so nehmen die einzelnen Terme bestimmte Werte an.[1] Die Gleichung wird hierbei zu einer wahren oder falschen Aussage. Ergibt sich eine wahre Aussage, so wird die Gleichung durch die eingesetzten Zahlen erfüllt. Diese Zahlen werden als Lösungen der Gleichung bezeichnet, die Gesamtheit aller Lösungen wird Lösungsmenge \mathbb{L} genannt.

Im einfachsten Fall entsprechen die beiden Terme T_1 und T_2 zwei einzelnen Elementen x_1 und x_2 einer Menge \mathbb{M}. Diese können entweder gleich (x_1 = x_2) oder ungleich (x_1 \ne x_2) sein. Im ersten Fall stehen die Variablen x_1 und x_2 für das selbe Objekt.

Lösbarkeit von Gleichungen

Ob eine Gleichung lösbar ist, hängt von der Gleichung selbst sowie von dem vorgegebenen Variablenbereich (“Definitionsmenge” \mathbb{D}) ab.

  • Ist die Lösungsmenge leer (\mathbb{L} = \emptyset), so ist die Gleichung bezüglich \mathbb{D} unerfüllbar.
  • Ist die Lösungsmenge gleich der Definitionsmenge (\mathbb{L} =
\mathbb{D}), so ist die Gleichung bzgl. \mathbb{D} stets erfüllt (“allgemeingültig”).
  • Grundsätzlich ist die Lösungsmenge eine Teilmenge der Definitionsmenge (\mathbb{L} \subseteq \mathbb{D}).

Allgemeingültige Gleichungen (auch “Identitäten” genannt) werden oftmals als Rechenregeln verwendet, da sie unabhängig vom Wert der Variablen stets wahr sind und somit zur Vereinfachung einzelner Terme genutzt werden können. Gilt nämlich a=b, so kann in jeder Aussage nach Belieben a durch b ersetzt werden (Ersetzbarkeits-Theorem von Leibniz).

Ebenfalls können nach diesem Prinzip auch zwei Terme, die jeweils mit einem dritten übereinstimmen, gleichgesetzt werden. Gilt nämlich a=b und b=c, so folgt aus der Äquivalenz der Gleichheitsrelation automatisch auch a=c:

(2)a = b \quad \text{und} \quad b = c \quad \Rightarrow \quad a = c

Bei algebraischen Aufgaben muss die Lösungsmenge einer Gleichung meist erst bestimmt werden. Als Unterscheidung zu den stets wahren Identitäten werden derartige Gleichungen, deren Lösungsmenge erst gefunden werden muss, auch “Bestimmungsgleichungen” genannt.

Beispiele:

  • Folgende Gleichung ist für jede reelle Zahl x \in \mathbb{R} unerfüllbar:

    x = x + 1

    Für die Lösungsmenge gilt somit \mathbb{L} = \emptyset.

  • Folgende Gleichung ist für jede reelle Zahl x \in \mathbb{R} allgemeingültig:

    x - x = 0

    Für die Lösungsmenge gilt somit \mathbb{L} = \mathbb{R}.

  • Folgende Gleichung liefert nicht für jedes x \in \mathbb{R} eine wahre Aussage:

    3 \cdot x = 2 \cdot x + 5

    Die Lösungsmenge ist somit eine Teilmenge des Definitionsbereichs. Konkret gilt \mathbb{L} = \{ 5 \}.

Ist die Lösungsmenge einer Gleichung nicht unmittelbar erkennbar, so kann diese durch entsprechende Umformungen in eine einfacher zu lösende Form gebracht werden.

Äquivalentes Umformen von Gleichungen

Manchmal lässt sich die Lösungsmenge einer Gleichung durch Einsetzen von konkreten Werten in die Variablen (“Probieren”) ermitteln. Im Allgemeinen jedoch muss man eine Gleichung durch schrittweises Umformen lösen. Wesentlich hierfür ist in diesem Zusammenhang die Äquivalenz von Gleichungen.

Eine Gleichung heißt äquivalent (gleichwertig) zu einer anderen Gleichung, wenn beide die gleiche Lösungsmenge \mathbb{L} bei gleicher Definitionsmenge \mathbb{D} besitzen. Eine Umformung, durch die eine Gleichung in eine zu ihr äquivalente Gleichung übergeht, heißt äquivalente Umformung. Beispielsweise dürfen aufgrund der Symmetrie der Gleichheits-Relation stets die linke und die rechte Seite einer Gleichung vertauscht werden:

Termumformungen, die sich nur auf eine Seite einer Gleichung auswirken, beispielsweise Zusammenfassen und Ausmultiplizieren bzw. Ausklammern von Summentermen sowie Kürzen und Erweitern von Bruchtermen, dürfen ebenso jederzeit vorgenommen werden.

Addiert oder subtrahiert man auf beiden Seiten einen beliebigen Term T, so ist die neue Gleichung äquivalent zur ursprünglichen. Der Wahrheitswert einer Gleichung bleibt auch unverändert, wenn beiden Seiten mit einem Term T
\ne 0 multipliziert oder durch einen solchen dividiert werden. Somit gilt:[2]

(4)T_1  = T_2 \quad &\Leftrightarrow  \quad T_1 + T = T_2 + T \\[2pt]
  T_1  = T_2 \quad &\Leftrightarrow  \quad T_1 - T = T_2 - T \\[2pt]
  %\phantom{\qquad (T \ne 0) T + + T}
  T_1  = T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, \cdot \; T = T_2 \, \cdot
  \; T \qquad (T \ne 0)\\[2pt]
  T_1  = T_2  \quad &\Leftrightarrow \quad T_1 \, : \, T = T_2 \, : \, T
  \qquad (T \ne 0)

Während eine Addition oder Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten der Gleichung jederzeit problemlos möglich ist, ist bei der Multiplikation und Division einer Gleichung mit bzw. durch einen Term T stets Vorsicht geboten. Wird hierbei die Bedingung T \ne 0 nicht beachtet, so können in der neuen Gleichung zusätzliche Lösungen hinzukommen bzw. ursprünglich gültige Lösung verschwinden.

Beispiele:

  • Die Gleichung 2 \cdot x - 3 = 4 \cdot x + 1 hat, wie man durch Einsetzen überprüfen kann, die Lösungsmenge \mathbb{L} = \{ -2 \}. Multipliziert man beide Seiten mit x, so erhält man folgende Gleichung:

    x \cdot (2 \cdot x -3) = x \cdot (4 \cdot x + 1)

    Die neue Gleichung hat neben der ursprünglichen Lösung (-2) auch die Lösung x=0; die Lösungsmenge der neuen Gleichung ist also \mathbb{L} = \{ -2;\, 0 \}. Somit ist die neue Gleichung nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.

  • Die Gleichung (3 \cdot x + 1) \cdot (x + 2) = (2 \cdot x - 6) \cdot (x
+2) hat, wie man durch Einsetzen überprüfen kann, die Lösungsmenge \mathbb{L} = \{ -7;\, -2 \}. Teilt man beide Seiten der Gleichung durch den Term (x+2), so erhält man folgende Gleichung:

    3 \cdot x + 1 = 2 \cdot x - 6

    Die neue Gleichung hat die Lösungsmenge \mathbb{L} = \{ -7 \}; bei der Division ist die zweite ursprüngliche Lösung x = -2 entfallen. Somit ist die neue Gleichung nicht äquivalent zur ursprünglichen Gleichung.

Die äquivalenten Umformungs-Verfahren von Gleichungen beziehen sich auf die Anwendung der vier grundlegenden Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Werden weitere Rechenoperationen (z.B. Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren) angewendet, sind oft zusätzliche Überlegungen nötig.

Eine Kontrolle der Lösungsmenge kann durch Einsetzen der Elemente in die Ausgangsgleichung (“Probe”) erfolgen. Bei einer Probe ist jede Gleichungsseite getrennt auszurechnen, d.h. es dürfen keine Gleichungsumformungen vorgenommen werden.


Anmerkungen:

[1]Tritt eine Variable in einem Term bzw. in einer Gleichung mehrfach auf, so muss sie beim Ersetzen durch einen konkreten Wert an jeder Stelle durch ein und den selben Wert ersetzt werden. In Termen oder Gleichungen mit mehreren Variablen können unterschiedliche Variablen mit beliebigen (gleichen oder verschiedenen) Werten belegt werden.
[2]T ist eine Zahl oder ein Term, der für alle Elemente des Definitionsbereichs der Ausgangsgleichung T_1 = T_2 definiert sein muss.