Algebraische Gleichungen höheren Grades

Bei einer algebraischen Gleichung n-ten Grades tritt die Variable x in der Potenz x^n und gegebenenfalls in Potenzen niederen Grades auf; sie darf dabei nicht im Nenner stehen. Jede algebraische Gleichung kann durch äquivalente Umformungen in die allgemeine Form gebracht werden:

a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} + \ldots + a_1
\cdot x +  a_{\mathrm{0}} = 0

Der Term auf der linken Seite der obigen Gleichung, der aus einer Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen (meist x) besteht, wird allgemein als “Polynom” bezeichnet.

Algebraische Gleichungen lassen sich im Allgemeinen nur näherungsweise mit Hilfe eines geeigneten Computerprogramms[1] lösen. Eine Gleichung n-ten Grades hat dabei maximal n Lösungen. Unmittelbar rechnerisch lösbar sind Gleichungen dritten oder höheren Grades jedoch dann, wenn einer der folgenden Sonderfälle vorliegt:

  • Fehlt bei einer Gleichung n-ten Grades das x-freie Glied, so kann auf der linken Gleichungsseite x ausgeklammert werden. Damit ist x_1=0 als (erste) Lösung der Gleichung gefunden. Der verbleibende Term muss als Gleichung n-1-ten Grades separat gelöst werden.[2] Beispielsweise lassen sich auf diese Weise Gleichungen dritten Grades (“kubische Gleichungen”) auf quadratische Gleichungen zurückführen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel gelöst werden können.
  • Treten bei einer algebraischen Gleichung vierten Grades nur gerade Exponenten auf, d.h. gilt a \cdot x ^{4} + b \cdot x^{2} + c = 0, so kann die Gleichung durch die Einführung einer neuen Variablen u = x^2 auf eine quadratische Form gebracht werden. Dieses Verfahren wird als Substitution bezeichnet. Es gilt:

    a \cdot x^4 + b \cdot x^2 + c = 0 \quad
\overset{u=x^2}{\Longleftrightarrow} \quad a \cdot u^2 + b \cdot u + c = 0

    Ist die neue quadratische Gleichung für u gelöst (mit den Lösungen u_1 und u_2), so können anhand der Gleichung u = x^2 wiederum die Lösungen der ursprünglichen Gleichung berechnet werden (“Rücksubstitution”).[3] Es folgt:

    x_{\mathrm{1,2}} &= \pm \sqrt{u_1} \quad \text{und}\\
x_{\mathrm{3,4}} &= \pm \sqrt{u_2}

    Da Potenzieren und Wurzelziehen nicht unbedingt äquivalente Umformungen einer Gleichung darstellen, muss durch Einsetzen überprüft werden, ob die so gefundenen Werte tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind.

    Die Substitutions-Methode ist allgemein für Gleichungen der Form a
\cdot x^{2 \cdot n} + b \cdot x^n + c = 0 anwendbar, wenn u = x^n eingesetzt wird.

  • Ist eine Lösung x_1 einer algebraischen Gleichung höheren Grades bekannt oder kann sie durch Ausprobieren einfach ermittelt werden, so kann die Gleichung – wie bei einer Linearfaktorzerlegung – in ein Produkt aus (x - x_1) und einem Restterm zerlegt werden. Dieser Restterm kann in umgekehrter Weise berechnet werden, indem man den ursprünglichen Term durch (x-x_1) teilt. Es gilt somit:

    (a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1
\cdot n + a_0) : (x - x_1) = \text{Restterm}

    Diese so genannte “Polynomdivision” wird nach einem ähnlichen Verfahren durchgeführt wie die schriftliche Division:

    • Zunächst wird der erste Summand a_{\mathrm{n}} \cdot x^n des ursprünglichen Terms durch x geteilt. Das erste Teilergebnis a_{\mathrm{n}} \cdot x^{n-1} wird auf die rechte Seite des Istgleich-Zeichens geschrieben.
    • Das erste Teilergebnis wird mit (x-x_1) multipliziert, das Ergebnis dieser Rechnung unter den ersten Summanden des ursprünglichen Terms geschrieben und vom ursprünglichen Term abgezogen. Zu dem sich so ergebenden Rest werden weitere Summanden des ursprünglichen Terms hinzugenommen.
    • Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis kein Rest mehr übrig bleibt.[4]

    Der Restterm hat nur noch den Grad n-1 und kann üblicherweise leichter ausgewertet werden.


Anmerkungen:

[1]Siehe Abschnitt ref:Computer-Algebra-Systeme <Computer-Algebra-Systeme>.
[2]Hierbei ist wiederum die Überlegung grundlegend, dass ein Produkt nur dann gleich Null ist, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Lösungen des restlichen Terms sind somit auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
[3]Hierbei gilt zu beachten, dass für reelle Zahlen keine negativen Wurzeln definiert sind. Ist u_1 und/oder u_2 negativ, so entfallen die entsprechenden Lösungen.
[4]Bliebe bei der Polynomdivision ein Rest übrig, so wäre x_1 keine Lösung der ursprünglichen Gleichung.