Quadratische Gleichungen

Bei einer quadratischen Gleichung tritt die Variable x in der zweiten Potenz x^2 und gegebenenfalls zusätzlich in erster Potenz auf; sie darf dabei nicht im Nenner stehen. Jede quadratische Gleichung kann durch äquivalente Umformungen in die allgemeine Form gebracht werden:

(1)a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0

Hierbei sind a \ne 0, b und c beliebige Konstanten.

Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen. Wie viele und welche Lösungen eine quadratische Gleichung im konkreten Fall hat, kann direkt bestimmt werden, wenn die Gleichung in der allgemeinen Form vorliegt. Die Anzahl an Lösungen ist durch den Wert ihrer so genannten “Diskriminante” D = b^2 -
4 \cdot a \cdot c bestimmt, die anhand der allgemeinen Gleichungsform (1) unmittelbar berechnet werden kann. Damit lassen sich die folgenden drei Fälle unterscheiden:

(2)D > 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \mathbb{L} = \Big \lbrace
\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} ,\, \frac{-b +
\sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \Big \rbrace  \\[4pt]
D = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \mathbb{L} =
\Big \lbrace \frac{-b}{2 \cdot a} \Big \rbrace  \\[4pt]
D < 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \mathbb{L} = \big \lbrace \big \rbrace

Dieses Verfahren, anhand der Diskriminante D auf die Anzahl und die Werte der Lösungen schließen zu können, wird umgangssprachlich auch als “Mitternachtsformel” bezeichnet.[1][2] Sie lässt sich auf jede quadratische Gleichung anwenden, die in der allgemeinen Form (1) vorliegt.

Liegen Spezialfälle von quadratischen Gleichungen vor, so können auch andere, teilweise einfachere Lösungsverfahren genutzt werden:

  • Ist b = 0, so liegt eine quadratische Gleichung folgender Form vor:

    a \cdot x^2 + c = 0

    Diese Gleichung kann direkt nach x aufgelöst werden:

    a \cdot x^2 + c = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x _{\mathrm{1,2}} = \pm
\sqrt{-\frac{c}{a}}

    Die Gleichung hat nur dann die beiden obigen Lösungen, wenn a und c unterschiedliche Vorzeichen haben, andernfalls ist die Lösungsmenge gleich \lbrace 0 \rbrace (falls c = 0 ist) oder gleich der leeren Menge (falls c \ne 0 ist).

    Anschaulich ist die obige Gleichung daduch zu erklären, dass für das Quadrat jeder Zahl x stets x^2 \ge 0 gilt. Wird nun eine Quadratzahl mit einem positiven Faktor multipliziert, so kann man nicht eine weitere positive Zahl hinzu addieren, um als Ergebnis den Wert Null zu erhalten.

  • Ist c = 0, d.h. fehlt ein x-freies Glied, so liegt eine quadratische Gleichung folgender Form vor:

    a \cdot x^2 + b \cdot x = 0

    Die Mitternachtsformel liefert in diesem Fall die beiden Werte x_1 =0 und x_2 = - \frac{b}{a} als Lösungen. Die gleichen Lösungen erhält man, indem man auf der linken Seite der Gleichung x als gemeinsamen Faktor ausklammert:

    a \cdot x^2 + b \cdot x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \cdot (a \cdot x
+ b) = 0

    Da ein Produkt nur dann gleich Null ist, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren gleich Null ist, folgt aus der obigen Gleichungsform, dass entweder der x=0 oder a \cdot x + b = 0 gelten muss. Aus dem ersten Fall folgt x_1 = 0, aus dem zweiten Fall (einer linearen Gleichung) folgt x_2 = -\frac{b}{a}.

  • Ist a = 1, so liegt eine “normierte” quadratische Gleichung vor:

    1 \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0

    Jede allgemeine quadratische Gleichung mit a \ne 1 kann ebenfalls mittels Division durch a ebenfalls in eine normierte Form gebracht werden. Setzt man p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a}, so lässt sich jede quadratische Gleichung in normierter Form darstellen:

    (3)x^2 + p \cdot x + q = 0

    Sind p und q ganze Zahlen, so lassen sich die Lösungen der Gleichung bisweilen auch schnell mit Hilfe des nach dem Mathematiker François Viète benannten “Satz von Vieta” bestimmen. Hierbei wird genutzt, dass zwischen den beiden möglichen Lösungen x_1 und x_2, für die auch x_1 = x_2 gelten kann, folgender Zusammenhang besteht:[3]

    x_1 \, \cdot \, x_2 &= +q \quad \text{und} \\ x_1 + x_2 &= -p

    Kennt man die möglichen ganzzahligen Faktoren der Zahl q, so lässt sich durch Kopfrechnen oftmals ein Zahlenpaar finden, das als Summe genau den negativen Wert von p ergibt. Dieses Zahlenpaar stellt dann die gesuchten Lösungen von Gleichung (3) dar.[4]

Sind x_1 und x_2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung, wobei auch x_1 = x_2 zulässig ist, so kann diese allgemein auch in folgender Form dargestellt werden:

a \cdot x^2 + b \cdot x + c &= 0 \\
\Rightarrow a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) &= 0

Eine solche Aufteilung einer Gleichung in mehrere lineare Faktoren wird als Linearfaktorzerlegung oder Produktform bezeichnet. Diese Darstellung spielt für quadratische Gleichungen nur eine untergeordnete Rolle, sie kann jedoch in nützlicher Weise auch bei Gleichungen höheren Grades angewendet werden.


Anmerkungen:

[1]

Im ersten Fall (D > 0) können die beiden Lösungen x_1 und x_2 mittels des Plus-Minus-Zeichens \pm auch verkürzt in folgender Form dargestellt werden:

D > 0 \quad \Rightarrow \quad x _{\mathrm{1,2}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4
\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Im Fall D=0 fallen die Lösungen x_1 und x_2 wegen \sqrt{D} = \pm 0 zusammen. Man spricht daher bisweilen auch von einer “doppelten” Lösung.

[2]

Die Gleichung (2) gilt, sofern mit reellen Zahlen x \in \mathbb{R} gerechnet wird. Rechnet man mit komplexen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung auch im Fall D<0 zwei Lösungen. In diesem Fall gilt:

\sqrt{D} = \sqrt{(-1) \cdot (-D)} = \sqrt{i^2 \cdot (-D)} = i \cdot \sqrt{-D}

Damit ergeben sich als Lösungen:

x _{\mathrm{1,2}} = \frac{-b}{2 \cdot a} \pm i \cdot \frac{\sqrt{-(b^2 - 4
\cdot a \cdot c)}}{2 \cdot a}

[3]

Nach der Mitternachtsformel (2) gilt mit a=1 und D = p^2 - 4 \cdot q:

x_1 \cdot x_2 &= \frac{-p + \sqrt{D}}{2} \cdot \frac{-p -
\sqrt{D}}{2} \\[2pt]
&= \left(-\frac{p}{2} + \frac{\sqrt{D}}{2} \right) \cdot \left(- \frac{p}{2} -
\frac{\sqrt{D}}{2} \right) \\[2pt]
&= \Bigg( \!\! -\frac{p}{2} \; \Bigg)^2 - \left( \frac{\sqrt{D}}{2}\right)^2 \\
&= \;\; + \frac{p^2}{4} \quad \;\, - \quad \; \frac{D}{4} \\[2pt]
&= \;\; + \frac{p^2}{4} \quad \;\, - \left(\frac{p^2}{4} - q \right) \\[2pt] &= + q \qquad \checkmark

Ebenso gilt:

x_1 + x_2 &= \frac{-p + \sqrt{D}}{2} + \frac{-p -
\sqrt{D}}{2} \\[2pt]
&= \left(-\frac{p}{2} + \frac{\sqrt{D}}{2} \right) + \left(- \frac{p}{2} -
\frac{\sqrt{D}}{2} \right) \\[2pt]
&= -p \qquad \checkmark

[4]Die Mitternachtsformel (2) kann selbstverständlich ebenso zur Lösung von Gleichung (3) genutzt werden.