Die Einteilung der Zahlen

Natürliche Zahlen

Die Zahlen 0 ,\, 1 ,\,  2 ,\,  3 ,\,  4 ,\,  5 ,\,  \ldots, die zum Abzählen von Dingen verwendet werden, bezeichnet man als Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N}:

(1)\mathbb{N} = \{ 0 ,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots \}

Die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl 0 wird mit dem Symbol \mathbb{N} ^{*} dargestellt.

Ordnung der natürlichen Zahlen

Mit Hilfe der natürlichen Zahlen kann man abzählen wie viele Elemente in einer Menge von Dingen enthalten sind, beispielsweise wie viele Äpfel sich in einer Kiste befinden.[1] Somit ist es auch möglich, die Anzahl an Elementen zweier verschiedener Mengen zu vergleichen, beispielsweise zu prüfen, ob sich in zwei Kisten jeweils gleich viele Äpfel befinden, oder in welcher Kiste mehr Äpfel enthalten sind.

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Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen.

Die Kisten können somit geordnet, d.h. anhand der Anzahl der darin enthaltenen Äpfel sortiert werden. Als graphische Darstellungsform wird hierfür häufig ein “Zahlenstrahl” gewählt, wobei die Zahlen ihrer Größe nach aufsteigend von links nach rechts angeordnet werden.

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Jede Menge von Dingen lässt sich durch Hinzufügen weiterer Elemente vergrößern. Rechnerisch entspricht dies einer Addition zweier natürlicher Zahlen. Das Ergebnis einer Addition wird Summe genannt.

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Beispiel einer einfachen Addition.

Ebenso kann eine Menge an Dingen durch Herausnehmen einzelner Elemente verkleinert werden, mit der Bedingung, dass nicht mehr Elemente aus der Menge herausgenommen werden können als in ihr enthalten sind. Rechnerisch entspricht dies einer Subtraktion zweier natürlicher Zahlen.[2] Das Ergebnis einer Subtraktion wird Differenz genannt.

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Beispiel einer einfachen Subtraktion.

Auch eine Multiplikation zweier natürlicher Zahlen ist stets möglich; sie entspricht rechnerisch einer mehrfachen Ausführung einer Addition. Das Ergebnis, Produkt genannt, ist erneut durch eine natürliche Zahl darstellbar, deren Größe dem jeweiligen Vielfachen der ursprünglichen Zahl entspricht.

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Beispiel einer einfachen Multiplikation.

Eine Division zweier natürlicher Zahlen, d.h. ein Aufteilen einer Menge von Dingen nur auf mehrere Posten, ergibt ein ganzzahliges Ergebnis genau dann, wenn die Anzahl der Elemente in der Menge einem Vielfachen der Anzahl an Posten entspricht – ansonsten bleibt ein Rest übrig, der sich als Ganzes nicht weiter aufteilen lässt.

Ganze Zahlen

Um auch ein Fehlen an Dingen zahlenmäßig darzustellen, reichen die natürlichen Zahlen nicht aus. Die Menge der natürlichen Zahlen \mathbb{N} lässt sich jedoch zur Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} erweitern.

Die ganzen Zahlen als Obermenge der natürlichen Zahlen

Alle natürlichen Zahlen sind als Teilmenge in der Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} enthalten. Zusätzlich kommt für jede natürliche Zahl eine entsprechende negative “Gegenzahl” hinzu, die ein Fehlen des entsprechenden Wertes ausdrückt. Zur Darstellung des Falles, dass kein Element vorhanden ist (aber auch keines fehlt), wird die Zahl Null verwendet.

(2)\mathbb{Z} = \{ \ldots,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots \}

Die ganzen Zahlen lassen sich somit in gleicher Weise wie die natürlichen Zahlen als Zahlenstrahl darstellen. Dabei werden wiederum die einzelnen Zahlen ihrer Größe nach aufsteigend von links nach rechts geordnet.

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Der Zahlenstrahl der ganzen Zahlen.

Während bei negativen Zahlen das Minus-Zeichen stets dazu geschrieben werden muss, kann bei positiven Zahlen das Plus-Zeichen weggelassen werden.

Rechnen mit ganzen Zahlen

Durch die Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen kann mit Hilfe der ganzen Zahlen nicht nur jede Addition und Multiplikation, sondern auch jede Subtraktion uneingeschränkt ausgeführt werden.

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Beispiel einer Subtraktion am Zahlenstrahl.

Eine veranschaulichende Darstellung von negativen Zahlen ist nicht unmittelbar möglich, da die Anzahl an Elementen einer Menge stets größer oder gleich Null ist – vielmehr lassen sich negative Zahlen als Mengenanzahlen auffassen, die entsprechend große positive Mengenanzahlen auszugleichen vermögen – so wie ein Haufen Erde ein entsprechend großes Erdloch ausfüllen kann.

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Bildliche Darstellung einer Subtraktion ganzer Zahlen.

Als Einschränkung bleibt jedoch auch im erweiterten System der ganzen Zahlen bestehen, dass eine Division zweier Zahlen nur dann möglich ist, wenn die erste Zahl (der Dividend) ein ganzzahliges Vielfaches der zweiten Zahl (des Divisors) ist – ansonsten bleibt bei der Division ein nicht weiter teilbarer Rest übrig.

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen (manchmal auch “Bruchzahlen” genannt) stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs der ganzen Zahlen dar, um auch eine allgemeine Division zweier (oder mehrerer) Zahlen zu ermöglichen.

Die rationalen Zahlen als Obermenge der ganzen Zahlen

Alle ganzen Zahlen sind als Teilmenge in der Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} enthalten. Zusätzlich kommen als weitere Elemente alle Zahlen hinzu, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen m und n darstellen lassen:

(3)\mathbb{Q} = \{ \frac{z}{n} \; | \; z,n \in \mathbb{Z} \text{ und } n \ne 0 \}

Die Zahl z oberhalb des Bruchstrichs wird Zähler genannt, die Zahl n unterhalb des Bruchstrichs als Nenner des Bruchs bezeichnet. Die einzige Bedingung liegt darin, dass nicht durch Null geteilt werden darf, d.h. n \ne 0 ist.[3]

Auch die rationalen Zahlen lassen sich ihrer Größe nach als Zahlengerade anordnen; die ganzen Zahlen sind dabei als Teil der rationalen Zahlen an den entsprechenden Stellen eingebettet.[4]

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Der Zahlenstrahl der rationalen Zahlen.

Die rationalen Zahlen liegen “dicht” beieinander, d.h. in den “Lücken” zwischen je zwei ganzen Zahlen treten jeweils unendlich viele als rationale Zahlen darstellbare Werte auf. Anschaulich kann man sich dies dadurch erklären, dass beispielsweise jeder natürlichen Zahl n ein Kehrwert \frac{1}{n} zugeordnet werden kann, für den gilt:

\frac{1}{n} \le 1  \quad \text{ für alle } \quad n \in \mathbb{Z}

Betragsmäßig gilt das gleiche auch für Kehrwerte von negativen Zahlen; hierbei muss lediglich das Vorzeichen beachtet werden.[5]

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Darstellung von Stammbrüchen (1/n ,\, n \in \mathbb{N}) anhand eines Tortendiagramms.

Erweitern und Vereinfachen von Bruchzahlen

Eine Besonderheit rationaler Zahlen ist es, dass sich ein und die selbe Zahl q durch mehrere gleichwertige Brüche darstellen lässt. Es gilt:

\frac{z_1 }{n_1 } = \frac{z_2 }{n_2 } \quad \text{
falls } \quad n_1 \cdot z_2 = n_2 \cdot z_1

Allgemein kann jede Bruchzahl q = \frac{z}{n} in eine andere, gleich große Bruchzahl umgeformt werden, indem man sowohl den Zähler z als auch den Nenner n mit einer beliebigen ganzen Zahl multipliziert. Diese in der Praxis häufig vorkommende Methode wird als “Erweitern” einer Bruchzahl bzw. eines Bruches bezeichnet.

Beispiele:

  • Anlässlich einer Feier möchte man Tortenstücke verteilen. Soll beispielsweise ein Gast ein Viertel einer Torte bekommen, so kann man dieses ebenso gut halbieren und somit zwei Achtel-Stücke servieren.
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Kürzen und Erweitern (\frac{1}{4} = \frac{2}{8}) am Beispiel eines Tortendiagramms.

  • Die wohl am häufigsten genutzte Umrechnung bezieht sich auf die Umrechnung einer Bruchzahl q < 1 in eine wertgleiche Angabe mit dem Nenner 100 (“Einhundertstel” bzw. “Prozent” genannt).
    Ist z.B. q = \frac{1}{4}, so können Zähler und Nenner um den Faktor 25 erweitert werden, und man erhält:

    \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}

    Somit entspricht der Bruch \frac{1}{4} der Dezimalzahl 0,25 bzw. der Prozentangabe 25\%.

Im umgekehrten Fall kann eine Bruchzahl, deren Zähler und Nenner (mindestens) einen gemeinsamen Faktor besitzen, zu einer wertgleichen rationalen Zahl vereinfacht werden, indem der gemeinsame Faktor gekürzt wird (bzw. die gemeinsamen Faktoren gekürzt werden).

Beispiel:

  • Bei der Bruchzahl \frac{15}{20} enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner den gemeinsamen Faktor 5. Dieser kann “gekürzt” werden:

    \frac{15}{20} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4}

  • Bei der Bruchzahl \frac{30}{60} lässt sich der Zähler als Produkt der Faktoren 2 \cdot 3 \cdot 5, der Nenner als 2 \cdot 2 \cdot 3
\cdot 5 darstellen. Es können somit die Faktoren 2 ,\, 3 \text{ und }
5 (bzw. der Faktor 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30) gekürzt werden:

    \frac{30}{60} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} =
\frac{1}{2}

    Derartige Umrechnungen werden beispielsweise bei Zeitangaben genutzt (eine “halbe” Stunde usw).

Runden von Bruchzahlen

Jede rationale Zahl kann durch einen ganzzahligen Anteil und einen Restbruch dargestellt werden, dessen Wert kleiner als eins ist. Soll dieser Restbruch ebenfalls als Dezimalzahl angegeben werden, so können zwei unterschiedliche Fälle auftreten:

  • Manche Bruchzahlen lassen sich als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkomma-Stellen darstellen.

    Beispiel:

    \frac{1}{16} = 0,0625

  • Manche Bruchzahlen entsprechen einer Dezimalzahl mit einer endlichen Periode. Bei derartigen Zahlen wiederholen sich ab einer bestimmten Stelle eine oder mehrere Nachkomma-Stellen unendlich oft.

    Beispiele:

    \frac{1}{3} = 0,3\bar{3} = 0,3333 \ldots \\[8pt]

\frac{1}{7} = 0,\overline{142\,857} = 0,142\,857\,142\,857 \ldots

Bei der Rechnung mit Dezimalzahlen kann stets nur eine endliche Zahl an Nachkomma-Stellen berücksichtigt werden; rationale Zahlen werden daher entsprechend einer gewünschten Genauigkeit gerundet. Diese Genauigkeit wird durch die Angabe einer bestimmten Anzahl an “zählenden” Ziffern, d.h. Ziffern außer am Anfang oder am Ende stehenden Nullen, festgelegt.

Beispiele:

\underbracket[0.5pt][5.pt]{78\,255\,300,00}_{10\text{ zählende Ziffern}}
\\[10pt]

0,000\,\!\!\!\!\!\!\!\!\underbracket[0.5pt][5.pt]{420\,800}_{6\text{
zählende Ziffern}}

Übermäßig viele zählende Ziffern täuschen bei Ergebnissen von Messungen oder Schätzungen eine nicht gerechtfertigte Genauigkeit vor. Um dies zu vermeiden, werden die jeweiligen Zahlen auf- beziehungsweise. abgerundet. Hierzu werden zunächst die überflüssigen Ziffern durch Nullen ersetzt. Anschließend wird die letzte nicht überflüssige Ziffer entweder um eins erhöht (“Aufrunden”, falls die erste überflüssige Ziffer \ge 5 ist) oder unverändert gelassen (“Abrunden”).

Bei physikalischen Größen wird anhand der Anzahl der zählenden Ziffern implizit auch die Messgenauigkeit angegeben. Beispielsweise weist eine Längenangabe von \unit[2,170]{m} auf eine Messgenauigkeit im Millimeter-Bereich hin, während eine Angabe von \unit[2,17]{m} nur eine Messgenauigkeit im Zentimeter-Bereich bedeutet.[6]

Um zu große Rundungsfehler zu vermeiden, sollte allerdings bei jeder Rechnung auf ein frühzeitiges Runden verzichtet und das Runden stattdessen erst am Ende (im Ergebnis) durchgeführt werden.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Durch die Verwendung rationaler Zahlen lassen sich alle vier Grundrechen-Operationen – abgesehen von der Division durch Null – uneingeschränkt ausführen und beliebig miteinander kombinieren:

  • Die Addition zweier rationaler Zahlen q_1 und q_2 ist definiert als:

    q_1 + q_2 = \frac{z_1}{n_1} + \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1 \cdot n_2}{n_1
\cdot n_2} + \frac{z_2 \cdot n_1}{n_2 \cdot n_1} = \frac{z_1 \cdot n_2 +
z_2 \cdot n_1}{n_1 \cdot n_2}

    Um zwei rationale Zahlen q_1 und q_2 zu addieren, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner n_1 \cdot n_2 gebracht werden. Beide Zahlen werden hierzu jeweils mit dem Nenner der anderen Zahl erweitert; anschließend werden die (erweiterten) Zähler z_1 \cdot n_2 und z_2 \cdot n_1 miteinander addiert und auf den gemeinsamen Nenner geschrieben.

  • Die Subtraktion zweier rationaler Zahlen funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie die Addition, es sind lediglich die Plus-Zeichen durch Minus-Zeichen zu ersetzen:

    q_1 - q_2 = \frac{z_1}{n_1} - \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1 \cdot n_2}{n_1
\cdot n_2} - \frac{z_2 \cdot n_1}{n_2 \cdot n_1} = \frac{z_1 \cdot n_2 -
z_2 \cdot n_1}{n_1 \cdot n_2}

  • Die Multiplikation zweier rationaler Zahlen q_1 und q_2 ist definiert als:

    q_1 \cdot q_2 = \frac{z_1}{n_1} \cdot \frac{z_2 }{n_2} = \frac{z_1 \cdot
z_2}{n_1 \cdot n_2}

    Um zwei rationale Zahlen q_1 und q_2 miteinander zu multiplizieren, werden beide Zähler z_1 und z_2 miteinander multipliziert und das Ergebnis z_1 \cdot z_2 auf den gemeinsamen Nenner n_1 \cdot n_2 geschrieben.

  • Die Division zweier rationaler Zahlen q_1 = \frac{z_1}{n_1} und q_2 = \frac{z_2}{n_2} entspricht einer Multiplikation der ersten Zahl (des Dividenden) mit dem Kehrbruch der zweiten Zahl (des Divisors). Die Division erfolgt somit nach dem gleichen Prinzip wie die Multiplikation, nur müssen Zähler und Nenner der zweiten Zahl vertauscht werden:

    \frac{q_1}{q_2} = \frac{z_1}{n_1} : \frac{z_2}{n_2} = \frac{z_1}{n_1}
\cdot \frac{n_2}{z_2} = \frac{z_1 \cdot n_2}{n_1 \cdot z_2}

Weitere Hinweise zum Rechnen mit rationalen Zahlen sind im Abschnitt Bruchrechnung beschrieben.

Reelle Zahlen

Eine Vielzahl an mathematischen Problemen kann nicht mit Hilfe der rationalen Zahlen gelöst werden. Beispielsweise gibt es keine rationale Zahl x, welche die Gleichung x^2 = 3 löst; ebenso gibt es keine rationale Zahl, die das Verhältnis d/l aus der Diagonale eines Quadrates und seiner Seitenlänge bzw. das Verhältnis u:d aus dem Umfang u und dem Durchmesser d eines Kreises ausdrücken könnte. Um derartige “Mängel” zu beseitigen, lässt sich der Bereich der rationalen Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen erweitern.

fig-irrationale-zahlen-beispiele

Anschauliche Beispiele für \sqrt{2} und \pi als irrationale Zahlen.

Die neu hinzukommenden Zahlen, beispielsweise \sqrt{2} ,\, \pi oder \sin{20 °}, werden dabei als “irrationale” Zahlen bezeichnet. Sie lassen sich zwar ihrem Wert nach in den Zahlenstrahl einordnen, lassen sich jedoch durch keine rationale Zahl ausdrücken und besitzen in der Darstellung als Dezimalzahl unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen.

Für zwei besonders wichtige reelle Zahlen werden spezielle Symbole benutzt:

  • Die Zahl \pi = 3,141592653589\ldots wird als “Kreiszahl” bezeichnet. Sie gibt den Zusammenhang zwischen dem Durchmesser d und dem Umfang u eines Kreises an:

    u = \pi \cdot d

Rechnen mit reellen Zahlen

Mit Hilfe der reellen Zahlen lassen sich somit nicht nur alle vier Grundrechenarten – abgesehen von der Division durch Null – uneingeschränkt ausführen; auch das Potenzieren beliebiger und das Wurzelziehen nicht-negativer reeller Zahlen liefert stets eindeutige Ergebnisse.

  • Für die Potenz x ^{n} einer reellen Zahl x gilt mit n
\in \mathbb{N}:

    x^{n} = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \cdot x}_{n \text{ Faktoren }}

    Eine Potenz x ^{n} mit Exponent n entspricht somit einer n-fachen Multiplikation der Grundzahl (“Basis”) x mit sich selbst. Das wohl bekannteste Beispiel hierfür sind die so genannten “Zehner-Potenzen” 10^1 ,\, 10^2 ,\, 10^3 ,\, \ldots. Sie lassen sich als Zehner-Stange, Hunderter-Quadrat und Tausender-Würfel darstellen.

  • Das Wurzelziehen (“Radizieren”) entspricht der Umkehrung des Potenzierens. Für eine beliebige reelle Zahl a \ge 0 gelte folgende Gleichung:

    a = x ^{n}

    Dann ist mit gegebenem n \in \mathbb{N} dem Wert nach genau eine reelle Zahl x bestimmt, welche die Gleichung löst.
    Hierfür schreibt man:[7]

    x = \sqrt[n]{a}

    Unter der n-ten Wurzel aus einer nicht-negativen Zahl a versteht man somit diejenige Zahl x, deren n-te Potenz gleich a ist.

    Wohl am häufigsten treten die so genannten “Quadrat-Wurzeln” einer Zahl a auf. Hierbei wird diejenige Zahl x gesucht, die, mit sich selbst multipliziert, die Gleichung x^2 = a löst. Beim Ergebnis x = \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} kann der “Wurzelexponent” n=2 weggelassen werden.

Berechnet man Quadrat-, Kubik- und allgemeinen Wurzeln mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers, so werden die häufig irrationalen Ergebnisse in gleicher Weise wie beim Runden von Bruchzahlen entsprechend der möglichen Anzeige-Genauigkeit gerundet.

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen stellen eine Erweiterung des Zahlenbereichs der reellen Zahlen dar. Grundlegend hierfür waren Überlegungen von Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli, auf welche Weise sich Wurzeln negativer Zahlen definieren ließen.

Der so geschaffene Zahlenbereich \mathbb{C} der komplexen Zahlen hat sich für vielerlei Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen. Eine komplexe Zahl lässt sich allerdings nicht mehr durch eine einzelne Zahl darstellen, sondern bildet vielmehr ein geordnetes Paar (a,b) eines zweidimensionalen Vektorraums.

Da komplexe Zahlen in den derzeitigen Lehrplänen keine Beachtung finden, wird an dieser Stelle für interessierte Leser lediglich auf den Exkurs: Komplexe Zahlen verwiesen.


Anmerkungen:

[1]Eine Zahl, welche die Mächtigkeit einer endlichen Menge angibt, wird auch als Kardinalzahl bezeichnet.
[2]Die Subtraktion stellt somit die “Umkehrung” der Addition dar.
[3]

Eine Division durch n=0 ist grundsätzlich unmöglich:

  • Gäbe es eine rationale Zahl q = \frac{z}{n} mit n = 0 und z \ne 0, so müsste ebenfalls q \cdot n  = q \cdot 0 = z gelten. Es gilt jedoch für jede beliebige Zahl q \cdot 0 = 0 und somit q \cdot 0 \ne z.
  • Im Fall n = 0 und z = 0 würde zwar q \cdot n = q
\cdot 0 = 0 = z gelten. Hierbei wäre allerdings q nicht eindeutig bestimmt, da q \cdot 0 = 0 auf jede beliebige Zahl zutrifft.
[4]

Die ganzen Zahlen können als so genannte “Scheinbrüche” aufgefasst werden, d.h. Brüche, deren Nenner n gleich eins ist; für jede ganze Zahl z gilt somit:

z = \frac{z}{1}

Ein Scheinbruch liegt ebenfalls vor, wenn der Zähler z ein ganzzahliges Vielfaches n \cdot z des Nenners n ist:

z = \frac{n \cdot z}{n}

[5]

Das Minus-Zeichen einer negativen rationalen Zahl wird für gewöhnlich vor den Bruchstrich geschrieben. Es ist allerdings genauso richtig, stattdessen entweder den Zähler oder den Nenner mit einem Minus-Zeichen zu versehen:

-\frac{z}{n}  = \frac{-z\phantom{-}}{n} = \frac{z}{-n\phantom{-}}

Tragen sowohl Zähler als auch Nenner ein Minus-Zeichen, so ist der Wert des Bruches positiv.

[6]In der Physik richtet sich die Genauigkeitsangabe stets nach der ungenauesten Messung, d.h. die Anzahl an zählenden Ziffern des Ergebnisses ist immer gleich der Anzahl der zählenden Ziffern der ungenauesten Messung bzw. Maßangabe.
[7]Genau genommen gilt dies nur, wenn n eine ungerade Zahl ist. Für Wurzeln mit geradzahligen n erfüllt neben x =
\sqrt[n]{a} auch x = - \sqrt[n]{a} die Bedingung a = x^n. In diesem Fall heben sich beim Potenzieren, d.h. beim mehrfachen Multiplizieren, die negativen Vorzeichen paarweise gegenseitig auf. (Siehe auch Rechenregeln für Potenzen)