Exkurs: Komplexe Zahlen¶
Die Menge der komplexen Zahlen stellt eine zusätzliche
Erweiterung der reellen Zahlen dar. Ein ursprüngliches Ziel dieser Erweiterung
war es, auch die Rechenoperation des Wurzelziehens uneingeschränkt mit allen
Zahlen des zugrunde liegenden Zahlenbereichs ausführbar zu machen, also auch
Wurzeln mit negativen Argumenten zu definieren.
Um eine Lösung für eine Wurzel mit negativem Argument angeben zu können, wird
formal eine „imaginäre Einheit“ eingeführt, welche die folgende
Gleichung erfüllt:
(1)¶
Die Menge der imaginären Zahlen entspricht der Menge an
Zahlen, die man erhält, wenn man die imaginäre Einheit
mit einem
beliebigen (reellen) Vielfachen
multipliziert:
Bildet man die Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären
Zahl
, so erhält man eine komplexe Zahl
:
(2)¶
Für die Menge der komplexen Zahlen gilt entsprechend:
Jede komplexe Zahl setzt sich somit aus einem „Realteil“
und
einem „Imaginärteil“
zusammen. Die Menge der reellen Zahlen
stellen dabei eine Teilmenge der komplexen Zahlen
dar, für die
gilt.
Rechnen mit komplexen Zahlen
Die Rechenregeln für reelle Zahlen lassen sich weitgehend auf komplexe Zahlen
übertragen, wenn man beziehungsweise die dazu äquivalente Beziehung
beachtet.
- Addiert beziehungsweise subtrahiert man zwei komplexe Zahlen
und
, so erhält man eine neue komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteil gleich der Summe beziehungsweise Differenz der Real- und Imaginärteile von
und
ist:
(3)¶
- Multipliziert man zwei komplexe Zahlen
und
miteinander, so erhält man eine neue komplexe Zahl, indem man alle Komponenten beider Zahlen miteinander multipliziert und hierbei
setzt.[1]
(4)¶
- Dividiert man eine komplexe Zahl
durch eine andere komplexe Zahl
miteinander, so erhält man eine neue komplexe Zahl, indem man den Bruch um die so genannte „komplex konjugierte“ Zahl
des Nenners erweitert:[2][3]
(5)¶
Gaußsche Zahlenebene und Polarform
Komplexe Zahlen lassen sich zwar nicht auf einer Zahlengeraden, dafür aber als Punkte einer Zahlenebene (zu Ehren von Carl Friedrich Gauss auch „Gauss’sche Ebene“ genannt) darstellen, die von einer reellen und dazu senkrecht stehenden imaginären Zahlenachse aufgespannt wird.
Eine komplexe Zahl lässt sich in der Gauss’schen Ebene entweder anhand ihrer
Koordinaten (Real- und Imaginärteil) oder anhand der Länge und
Richtung
ihres Zeigers bestimmen. Die Länge des Zeigers, die
vom Koordinatenursprung zum Ort der Zahl führt, ist eine nicht negative reelle
Zahl:
(6)¶
Hierbei wird wiederum genutzt, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl
gleich der reellen Zahl
ist. In der
Gauss’schen Ebene kann die komplex konjugierte Zahl
durch eine
vertikale Spiegelung von
an der reellen Zahlenachse bestimmt werden.
Der Zusammenhang zwischen dem Real- und Imaginärteil von , ihrem Betrag
und dem Winkel
ihres Zeigers kann mittels der
trigonomischen Größen
und
formuliert werden. Es
gilt:
Jede komplexe Zahl kann somit neben der Koordinatenform auch in einer so
genannten „Polarform“, also über die Angabe ihres Betrags und
Winkels
, in folgender Weise angegeben werden:
beziehungsweise
… to be continued …
Anmerkungen:
[1] | Explizit kommt Gleichung (4) folgendermaßen zustande: In der letzten Zeile wurde die Beziehung |
[2] | Die Multiplikation einer komplexen Zahl Hierbei wurde wiederum die Beziehung |
[3] | Mit Hilfe der Divisionsformel (5) kann beispielsweise auch der Kehrbruch einer komplexen Zahl bestimmt werden. Es gilt: |