Exkurs: Zahlensysteme

Zahlen lassen sich in unterschiedlichen “Zahlensystemen” in verschiedener Form darstellen, ohne dass sich ihre mathematische Bedeutung verändert.

Historische Zahlensysteme

Die Kunst des Zählens begann wohl mit der Verwendung von Strichen zur Darstellung von Zahlen:

\large \mathrm{I ,\, II ,\, III ,\, IIII ,\, IIIII ,\, IIIIII ,\, \ldots }

Offensichtlich ist diese Darstellungsart für größere Zahlen sehr aufwendig und unübersichtlich. Ein Ziel der verschiedenen Zahlensysteme, die sich im Lauf der Zeit entwickelten, war es somit, die jeweiligen Ziffern so miteinander zu verbinden, dass eine möglichst einfache, übersichtliche und/oder zweckmäßige Darstellung der Zahlen ergibt. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten:

  • Additionssysteme:

    Bei Additionssystemen werden die Werte der hintereinander gestellten Ziffern durch Addition (und gegebenenfalls durch Subtraktion) verknüpft. Hierbei ist die Wahl bestimmter Symbole als Grundziffern von grundlegender Bedeutung,

    Beispiele:

    • Beim “Kerbholz”-System aus mittelalterlicher Zeit wurden Symbole in ein Stück Holz eingeritzt, beispielsweise in folgender Form:

      \cancel{\mathrm{IIII}} \;\cancel{\mathrm{IIII}} \;
\cancel{\mathrm{IIII}} \; \cancel{\mathrm{IIII}} \; \mathrm{III} = 23

    • Im römischen Additionssystem wurden folgende Grundziffern definiert:

      \mathrm{I} = 1 ,\; \mathrm{V} = 5 ,\; \mathrm{X} = 10 ,\; \mathrm{L} =
50 ,\; \mathrm{C} = 100 ,\; \mathrm{D} = 500 ,\; \mathrm{M} = 1000

      Die einzelnen Ziffern einer Zahl werden in dieser Notationsweise hintereinander geschrieben, wobei die größte Ziffer üblicherweise am Anfang steht. Ihre Werte werden addiert. Steht jedoch \mathrm{I} vor \mathrm{V} oder \mathrm{X}, \mathrm{X} vor \mathrm{L} oder \mathrm{C}, \mathrm{C} vor \mathrm{D} oder \mathrm{M}, so wird der voranstehende kleinere Wert vom nachfolgenden größeren subtrahiert, beispielsweise:[1]

      \mathrm{MCMLXIX} = 1969

    Additionssysteme haben allgemein den Nachteil, bei großen Zahlen schnell unleserlich zu werden.

  • Bei Positionssystemen werden die mit einem sich durch die Position ergebenden Stellenwert multiplizierten Werte der Ziffern addiert. Hierbei ist die Wahl der Basis und somit die Anzahl der Ziffern von grundlegender Bedeutung,

    Beispiele:

    • Die Babylonier nutzten bevorzugt ein Zahlensystem, das auf der Zahl 60 beruhte (“Sexagesimalsystem”). Noch heute wird es für Zeit- und Winkelangaben genutzt.
    • An das nicht mehr verwendete “Duodezimalsystem” erinnern heute noch im Warenhandel gebräuchliche Begriffe wie “Dutzend” (12) oder “Gros” (144 = 12 \cdot 12).
    • In der Mathematik sind weltweit Zahlensysteme mit der Basis 10 und ihren Potenzen am weitesten verbreitet. In der Informatik spielt die Basis 2 und ihre Potenzen eine entscheidende Rolle.

Praktisch werden heutzutage fast ausschließlich Positionssysteme verwendet, da sich hiermit auch große Zahlen sowie Bruchzahlen mit großer Genauigkeit darstellen lassen.

Das Dezimalsystem

Das Dezimalsystem ist ein Positionssystem mit der Basis 10. Daraus ergeben sich als Positionsfaktoren folgende Werte:

1 = 10^0 ,\; 10 = 10^1 ,\; 100 = 10^2 ,\; 1000 = 10^3 ,\; \ldots

Mit diesen Positionsfaktoren (“Stellenwerten”) werden die einzelnen Ziffern einer Zahl von rechts beginnend multipliziert.

Beispiel:

4\,538 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0

Im umgekehrten Fall kann man eine Zahl durch wiederholte Division durch die Basis in Form ihrer Divisionsreste darstellen:

Beispiel:

4\,538 &= 453 \cdot 10 + 8 \\
453  &= \phantom{3}45 \cdot 10 + 3  \\
45 &= \phantom{53}4 \cdot 10 + 5 \\
4 &=  \phantom{53}0 \cdot 10 + 4 \\

Die Dezimalziffern der darzustellenden Zahl entsprechen den Divisionsresten, sofern diese von unten nach oben abgelesen werden. Diese Darstellungsweise wird insbesondere bei der Konvertierung angewendet, d.h. der Übertragung einer Zahl aus einem Zahlensystem in ein anderes.

Das Binärsystem

Das Binärsystem (auch “Dualsystem” genannt) ist ein Positionssystem mit der Basis 2. Daraus ergeben sich als Positionsfaktoren folgende Werte:

1 = 2^0 ,\; 2 = 2^1 ,\; 4 = 2^2 ,\; 8 = 2^3 ,\; 16 = 2^4 ,\; \ldots

Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, wird die im vorherigen Abschnitt beschriebene Methode der Division mit Rest angewendet. Die Binärzahl ergibt sich aus der Dezimalzahl durch wiederholte Division mit 2, wobei das Ergebnis an den Divisionsresten von unten nach oben abgelesen werden kann.

Beispiel:

4\,538 &= 2\,269 \cdot 2 + 0 \\
2\,269 &= 1\,134 \cdot 2 + 1 \\
1\,134 &= \phantom{1\,}567 \cdot 2 + 0 \\
567 &= \phantom{1\,}283 \cdot 2 + 1 \\
283 &= \phantom{1\,}141 \cdot 2 + 1 \\
141 &= \phantom{1\,1}70 \cdot 2 + 1 \\
70 &= \phantom{1\,1}35 \cdot 2 + 0 \\
35 &= \phantom{1\,1}17 \cdot 2 + 1 \\
17 &= \phantom{1\,11}8 \cdot 2 + 1 \\
8 &= \phantom{1\,11}4 \cdot 2 + 0 \\
4 &= \phantom{1\,11}2 \cdot 2 + 0 \\
2 &= \phantom{1\,11}1 \cdot 2 + 0 \\
1 &= \phantom{1\,11}0 \cdot 2 + 1 \\[8pt]
\quad \Rightarrow \quad 4\,538_{10} &= 1000110111010_{2}

Um den Wechsel des Zahlensystems klar erkennbar zu machen, wird häufig die jeweilige Zahlenbasis (2 \text{ bzw. } 10) über einen entsprechenden Index angedeutet.

Soll im umgekehrten Fall eine Binärzahl in eine Dezimalzahl konvertiert werden, so müssen die auftretenden Ziffern mit ihren jeweiligen Positionsfaktoren multipliziert und die Ergebnisse anschließend aufsummiert werden.

Beispiel:

1000110111010_{2} &= 1 \cdot 2^{12} + 0 \cdot 2^{11} + 0 \cdot 2^{10} + 0
\cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 \\ &\phantom{=} + 0 \cdot 2^6 + 1
\cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot
2^0 \\[2pt] &= (4096 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 2)_{10} \\[2pt]
&= 4\,538_{10}

Auch wenn die langen Abfolgen von Einsen und Nullen im ersten Moment als ungewöhnlich erscheinen, so haben sie sich insbesondere bei der Entwicklung von Computer-Systemen als fundamental wichtig erwiesen. Auch nach dem heutigen Stand der Technik erleichtern Binärzahlen das Speichern und Übertragen von Daten erheblich und machen ihre Verarbeitung mit Hilfe von Microcontrollern überhaupt erst möglich.


Anmerkungen:

[1]Die “Hilfsziffern” \mathrm{V ,\, L} \text{ und } \mathrm{D} werden niemals größeren vorangestellt und kommen auch höchstens einmal je Zahl vor.