Exkurs: Teilbarkeit und Primzahlen

Lässt sich eine natürliche Zahl a ohne Rest durch eine natürliche Zahl b teilen, so nennt man a ein Vielfaches von b oder b einen Teiler von a. Bisweilen schreibt man anstelle von “b ist Teiler von a” auch in Kurzform b\,|\,a.

Jede Zahl a hat die Zahl 1 als Teiler, denn es gilt stets 1 \cdot a = a. Ein Teiler, der sowohl zu einer Zahl a als auch zu einer Zahl b gehört, heißt gemeinsamer Teiler von a und b. Haben beide Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer der Zahl 1, so nennt man die Zahlen teilerfremd.

Die Primfaktorenzerlegung

Hat eine natürliche Zahl p > 1 nur zwei Teiler (1 und die Zahl p selbst), so heißt sie Primzahl. Die ersten Primzahlen (p <
100) sind:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97.

Jede Zahl, die keine Primzahl ist, wird zerlegbar genannt, denn sie lässt sich ohne Rest in mehrere andere Zahlen aufteilen. Hierzu ist folgendes Vorgehen nützlich:

  1. Zunächst wird geprüft, ob die zu prüfende Zahl a durch eine beliebige, betraglich kleinere Primzahl p < a teilbar ist.
  2. Wird eine Primzahl p gefunden ist, die ein Teiler von a ist, so wird diese Primzahl notiert und a durch p geteilt.
  3. Mit dem Ergebnis der Division wird erneut mit dem 1. Schritt begonnen. Diese Wiederholung wird so lange fortgesetzt, bis keine weitere Aufteilung in Primzahlen möglich ist.

Das obige Verfahren wird auch als “Primfaktorzerlegung” einer Zahl bezeichnet.

Beispiel:

17\,640 \; &= 2 \cdot 8820 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 4410 \\ &= 2 \cdot 2  \cdot 2
\cdot 2205 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 735 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2
\cdot 3 \cdot 3 \cdot 245 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2
\cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 49 \\ &= 2 \cdot 2 \cdot 2
\cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \\[10pt]
\Rightarrow 17\,640 \; &=  \quad  \; 2^3 \;\;\;  \cdot \;\; 3^2 \; \cdot 5^1 \cdot \, 7^2

Multipliziert man alle Primfaktoren einer Zahl miteinander, wobei einzelne Faktoren mehrfach auftreten dürfen, so erhält man als Ergebnis wiederum die ursprüngliche Zahl. Die gleiche Methode wird auch zur Ermittlung von Primzahlen mittels Computern eingesetzt.[1]

Weitere Teilbarkeitsregeln

Anhand der Ziffern einer Zahl lassen sich teilweise ebenfalls Teilbarkeitseigenschaften direkt ablesen.[2]
Eine ganze Zahl ist teilbar durch
  • 2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
  • 3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
  • 4, wenn die aus den beiden letzten Ziffern bestehende Zahl durch 4 teilbar ist.
  • 5, wenn die letzte Ziffer gleich 0 oder 5 ist.
  • 6, wenn die letzte Ziffer durch 2 und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
  • 8, wenn die aus den drei letzten Ziffern bestehende Zahl durch 8 teilbar ist.
  • 9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
  • 10, wenn ihre letzte Ziffer gleich 0 ist.

Die Quersumme bezeichnet dabei die Summe der Ziffern einer Zahl. Beispielsweise ist die Quersumme der Zahl 483 = 4 + 8 + 3 = 15; somit ist nach der obigen Regel 483 durch 3 teilbar. Für die Zahl 7 existiert keine triviale Teilbarkeitsregel.


Anmerkungen:

[1]Der als “Sieb des Eratosthenes” bekannte Algorithmus prüft dabei gemäß der obigen Methode für beliebig große natürliche Zahlen, ob diese bereits eine der bereits bekannten Primzahlen als Faktor enthalten. Ist dies der Fall, so wird die Zahl (und ihre Vielfachen) als Nicht-Primzahl markiert und die Prüfung mit der nächsten Zahl fortgesetzt. Enthält eine Zahl keine kleinere Primzahl als Faktor, so stellt sie eine Primzahl dar und wird in die Liste der bekannten Primzahlen aufgenommen.
[2]Der Beweis hierfür ist beispielsweise in [Bittner1979] auf Seite 33 ff. aufgeführt.