Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(1)y = a ^x

Dabei bezeichnet die “Basis” a>0 eine beliebige, konstante Zahl. Üblicherweise wird zudem der Fall a=1 ausgeschlossen, da 1^x=1 eine konstante Funktion liefert. Am weitesten verbreitet sind die Exponentialfunktionen mit den Basen a=2, a=e und a=10.[1]

fig-exponentialfunktionen

Beispiele von Exponentialfunktionen.

Im Fall 0<a<1 sind Exponentialfunktionen streng monoton fallend, im Fall a>1 streng monoton steigend. Alle Exponentialfunktionen haben den Punkt (0,1) gemeinsam und nähern sich asymptotisch der x-Achse an, ohne diese jemals zu berühren. Exponentialfunktionen haben somit keine Nullstellen und s=0 als untere Schranke. Die Funktionen y=a^{-x} und y=\left( \frac{1}{a}\right)^x sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der y-Achse symmetrisch zur Funktion y=a^x.[2]

Für Exponentialfunktionen sind die folgenden vier Rechenregeln für Potenzen von Bedeutung:

(2)a ^{x_1 + x_2} &= a ^{x_1} \cdot a ^{x_2} \\[4pt]
a ^{x_1 - x_2} &= a ^{x_1} : a ^{x_2} \\[4pt]
a ^{x_1 \;\cdot\, x_2} &= \left(a ^{x_1}\right)^{x_2} \\[4pt]
{\color{white}1 \qquad\qquad }a ^{\frac{x_1}{x_2}} &= \sqrt[x_2\;]{a ^{x_1}} \quad \;(\text{mit } x_2 \ne 0)

Eine besondere Bedeutung von Exponentialfunktionen a^x mit a > 1 liegt darin, dass ihre Werte schneller wachsen als es bei einer Potenzfunktion x^n mit beliebig großem (aber festem) n der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte n \in \mathbb{R} ^{+} und a >1:

\lim _{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n} = \infty

Der Grund dafür liegt darin, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion selbst eine Exponentialfunktion ist: Nicht nur die Werte wachsen für a>1 somit exponentiell an, sondern auch die Zunahme der Werte nimmt in diesem Fall exponentiell zu.

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Sie haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(3)y = \log_{a}{(x)}

Da Exponentialfunktionen eindeutig umkehrbar sind, gibt es zu jeder Exponentialfunktion eine entsprechende Logarithmusfunktion. Da der Definitionsbereich jeder Umkehrfunktion gleich dem Wertebereich der Originalfunktion ist, sind Logarithmen nur für x>0 definiert.

fig-logarithmusfunktionen

Beispiele von Logarithmusfunktionen.

Logarithmusfunktionen sind nur für a>0 und a \ne 1 definiert. Wie bei den Exponentialfunktionen, so sind auch bei den Logarithmusfunktionen die Basen a=2, a=e und a=10 am weitesten verbreitet; sie werden, wie bereits im Abschnitt Rechenregeln für Logarithmen beschrieben, als binärer, natürlicher und dekadischer Logarithmus bezeichnet:

\text{lb}\,(x) &= \log_{2}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{dualer Logarithmus}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\;\; 1} \\
\ln{(x)} &= \log_{e}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{natürlicher Logarithmus} \\
\text{lg}\,(x) &= \log_{10}{(x)}: \quad \!\!\text{dekadischer Logarithmus}

Im Fall 0 < a < 1 sind Logarithmusfunktionen streng monoton fallend, im Fall a > 1 streng monoton steigend. Die einzelnen Logarithmusfunktionen können jeweils durch einen Basiswechsel in einen Logarithmus mit einer anderen Basis umgeformt werden. Es gilt dabei:

(4)\log_{a}{(x)} =
\frac{\log_{b}{(x)}}{\log_{b}{(a)}}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\quad
\ldots}

Alle Logarithmusfunktionen sind unbeschränkt, haben den Punkt (0,1) als einzige Nullstelle gemeinsam und nähern sich für x \to 0 asymptotisch der y-Achse an. Die Funktionen y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)} und y=-\log_{a}{(x)} sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der x-Achse symmetrisch zur Funktion y=\log_{a}{(x)}.[3]

Für Logarithmusfunktionen sind die folgenden Rechenregeln von Bedeutung:

(5)\log_{a}{(x_1 \cdot x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} + \log_{a}{(x_2)} \\[4pt]
\log_{a}{(x_1 : x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} - \log_{a}{(x_2)} \\[4pt]
\log_{a}{(x_1)^{x_2}} &= x_2 \cdot \log_{a}{(x_1)} \\[4pt]
\log_{a}{(\sqrt[x_2\;]{x_1})} &= \frac{1}{x_2} \cdot  \log_{a}{(x_1)}  \quad
\;(\text{mit } x_1,\, x_2 \ne 0)

Eine besondere Bedeutung von Logarithmusfunktionen \log_{a}{(x)} mit a > 1 liegt darin, dass ihre Werte langsamer wachsen als es bei einer Potenz- bzw. Wurzelfunktion x^n mit beliebig kleinem (aber festem) n der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte n \in \mathbb{R}
^{+} und a >1:

\lim _{x \to \infty} \frac{\log_{a}{(x)}}{x^n} = 0

Der Grund dafür liegt darin, dass die Ableitung einer Logarithmusfunktion als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion sehr schnell gegen Null geht; beispielsweise ist für x =
1\,000\,000 der Wert der Wurzelfunktion f(x) = x ^{\frac{1}{2}} gleich (1\,000\,000) ^{\frac{1}{2}} = 1\,000, der Wert der Logarithmusfunktion \log_{2}{(x)} beträgt für diesen Wert hingegen nur \log_{2}{(1\,000\,000)} \approx 19,93. Dennoch ist der Grenzwert für x \to \infty bei jeder Logarithmus-Funktion f(x) = \log_{a}{(x)} mit a > 1 ebenfalls Unendlich.


Anmerkungen:

[1]Dabei bezeichnet e=2,71828182845... die “Eulersche Zahl”.
[2]Die Identität von y=a^{-x} und y=\left(
\frac{1}{a}\right)^x ergibt sich aus der Beziehung a^{-x} =
\frac{1}{a^x} = \left( \frac{1}{a}\right)^x.
[3]

Die Identität von y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)} und y=-\log_{a}{(x)} lässt sich mit Hilfe der folgenden beiden Beziehungen zeigen:

  • Als Spezialfall der Basisumrechnung von Logarithmen gilt für beliebige erlaubte Zahlen a und b:

    \log_{a}{(b)} = \frac{\log_{b}{(b)}}{\log_{b}{(a)}} =
\frac{1}{\log_{b}(a)}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1}

    Hierbei wird die Identität \log_{b}{(b)} = 1 genutzt.

  • Ein Quotient als Argument eines Logarithmus kann als Differenz zweier Logarithmen dargestellt werden. Somit gilt:

    \log_{b}{\left( \frac{1}{a}\right)} = \log_{b}{(1)} - \log_{b}{(a)}  =
0 - \log_{b}{(a)} = - \log_{b}{(a)}

    Hierbei wird die Identität \log_{b}{(1)} = 0 genutzt.

Insgesamt gilt somit:

\log_{\frac{1}{a}}{(b)} = \frac{1}{\log_{b}{\left( \frac{1}{a}\right)}}
= - \frac{1}{\log_{b}{(a)}} = - \log_{a}{(b)}\quad \checkmark