Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Das Potenzieren entspricht, wie bereits im Abschnitt Rechnen mit reellen Zahlen erwähnt, einem mehrfachen Multiplizieren; das Wurzelziehen hingegen der Umkehrung des Potenzierens. Auf einige der dafür relevanten Rechenregeln wird im folgenden Abschnitt näher eingegangen, ebenso auf das Logarithmieren als zweite Möglichkeit, einen Potenz-Term nach der gesuchten Variablen aufzulösen.

Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln

Der Wert einer Potenz entspricht stets einer reellen Zahl. Zwei Potenzen mit gleicher Basis a \ne 0 und gleichem Exponent n lassen sich somit nach den für reelle Zahlen üblichen Rechenregeln addieren und subtrahieren.
Stehen c_1 und c_2 für beliebige konstante Zahlen und n für eine natürliche Zahl[1], so gilt:

(1)c_1 \cdot a^n + c_2 \cdot a^n = (c_1 + c_2) \cdot a^n

Unterscheiden sich zwei Potenzen in ihrer Basis und/oder in ihrem Exponenten, so kann eine Addition oder Subtraktion beider Potenzen nicht weiter vereinfacht werden. Multiplikationen und Divisionen von Potenzen mit ungleicher Basis und/oder ungleichem Exponenten lassen sich hingegen mit Hilfe der folgenden Rechenregeln umformen.

Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen können miteinander multipliziert werden, wenn sie eine gemeinsame Basis besitzen. In diesem Fall werden die Exponenten addiert:

(2)a^{n_1} \cdot a^{n_2} = a^{n_1 + n_2}

Nach dem gleichen Prinzip können Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem man die Differenz ihrer Exponenten bildet:

(3)\frac{ a^{n_1} }{ a^{n_2} } = a^{n_1 - n_2}

Diese Gleichung erlaubt es, eine Potenz mit negativem Exponenten als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten aufzufassen. Ist nämlich n_1 = 0, so gilt a^{n_1} = a^0 = 1. Damit folgt allgemein:[2]

(4)a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Darüber hinaus gilt für mehrfache Produkte von Potenzen, also für “Potenzen von Potenzen”, folgende Formel[3]:

(5)\left(a^{n_1}\right)^{n_2} = a^{n_1 \cdot a^{n_2}}

Beispiele:

  • Multipliziert man 100 = 10^2 mit 1\,000 = 10^3, so lautet das Ergebnis:

    100 \cdot 1\,000 = 10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000

    Bei der Multiplikation von Zehnerpotenzen muss somit nur die Anzahl an Nullen addiert werden.

  • Teilt man 10 = 10^1 durch 1\,000 = 10^3, so lautet das Ergebnis:

    \frac{10}{1\,000} = \frac{10^1}{10^3} = 10^{1-3} = 10^{-2} =
\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}

    Bei der Division von Zehnerpotenzen wird die Anzahl an Nullen des Nenners von der Anzahl an Nullen des Zählers subtrahiert. Ergibt sich dabei eine negative Anzahl an Nullen, so gibt diese Zahl die Nachkommastelle des Ergebnisses an:

    10^{-2} = 0,01

  • Multipliziert man 32 = 2^5 mit sich selbst, so lautet das Ergebnis:

    32 \cdot 32 = 2^5 \cdot 2^5 = 2^{10} = 1\,024

    Wird eine Potenz quadriert, so wird ihr Exponent verdoppelt.

Rechenregeln für Potenzen mit gleichen Exponenten

Neben den Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis können auch Potenzen mit gleichen Exponenten durch Multiplikation bzw. Division zusammengefasst werden.[4] Es gilt:

(6)a_1\;\!^n \cdot  a_2\;\!^n = ( a_1 \cdot a_2)^n

und

(7)\left( \frac{a_1\,^n}{a_2\,^n}\right) = \left( \frac{a_1}{a_2}\right)^n

Produkte lassen sich somit potenzieren, indem jeder ihrer Faktoren mit dem gleichen Exponenten potenziert wird. Entsprechend lassen sich auch Brüche potenzieren, indem sowohl Zähler wie auch Nenner den gleichen Exponenten erhalten.

Eine wichtige Rolle hierbei spielt die Potenz (-1)^n. Je nachdem, ob n geradzahlig (durch 2 teilbar) ist oder nicht, hebt sich das Vorzeichen auf bzw. bleibt bestehen:

(-1)^n = \begin{cases}
+1 & \text{falls $n$ gerade}  \\
-1 & \text{falls $n$ ungerade} \\
\end{cases}

Diese Besonderheit ist mit der Multiplikationsregel “Minus mal Minus gibt Plus” identisch. Kombiniert man Gleichung (6) mit der obigen Gleichung, indem man a_1 = (-1) setzt und beide Seiten der Gleichung vertauscht, so gilt für beliebige Potenzen stets:

(-a)^{2 \cdot n \phantom{+1}} &= (-1)^{2 \cdot n \phantom{+1}} \cdot a^{2
\cdot n \phantom{+1}} = +a^{2 \cdot n} \\[2pt]
(-a)^{2 \cdot n + 1} &= (-1)^{2 \cdot n+1} \cdot a^{2 \cdot n+1} = -a^{2
\cdot n + 1}

Eine negative Basis verliert durch ein Potenzieren mit einem geradzahligen Exponenten 2 \cdot n somit stets ihr Vorzeichen. Durch Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten 2 \cdot n + 1 bleibt das Vorzeichen der Basis hingegen erhalten.

Rechenregeln für Wurzeln und allgemeine Potenzen

Neben der ersten Erweiterung des Potenzbegriffs auf negative Exponenten als logische Konsequenz aus Gleichung (3), die sich auf die Division zweier Potenzen bezieht, ist auch anhand Gleichung (5), die Potenzen von Potenzen beschreibt, eine zweite Erweiterung des Potenzbegriffs möglich. Im Allgemeinen lautet diese Gleichung:

\left(a^{n_1}\right)^{n_2} = a^{n_1 \cdot a^{n_2}}

Das Wurzelziehen stellt die Umkehrung des Potenzierens dar. Um die obige Rechenregel umzukehren, muss die Multiplikation des Exponenten umgekehrt werden. Setzt man n_1 = n und n_2 = \frac{1}{n}, so folgt:

\left(a^{n}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{n \cdot \frac{1}{n}} =
a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a

Das Ergebnis stimmt damit überein, dass die n-fache Wurzel einer n-fachen Potenz wieder die ursprüngliche Zahl ergibt:

\sqrt[n]{a^n} = a

Tatsächlich können folgende Umformungen als allgemeine Rechenregeln genutzt werden:

(8)\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

sowie

(9)\sqrt[n_2]{a^{n_1}} = a^{\frac{n_1}{n_2}}

Da Wurzeln somit nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten n
\in \mathbb{Q} darstellen, gelten die in den beiden vorherigen Abschnitten aufgeführten Rechenregeln (1) bis (7) gleichermaßen auch für Wurzeln.

Rechenregeln für Logarithmen

Das Logarithmieren stellt neben dem Wurzelziehen eine zweite Möglichkeit dar, eine Potenz a^n zu finden, die ein bestimmtes Ergebnis b liefert. Während beim Wurzelziehen der (Wurzel-)Exponent n vorgegeben ist und die zum Wert der Potenz passende Basis a gesucht wird, hilft das Logarithmieren dabei, den zu einer vorgegebenen Basis a passenden Exponenten n zu finden. Die Fragestellung lautet somit:

a^{n} = b \quad \Rightarrow \quad n = \, ?

Um dieses mathematische Problem zu lösen, muss der so genannte Logarithmus von b zur Basis a ermittelt werden.

Definition:

Der Logarithmus n = \log_{a}{b} ist diejenige Zahl, mit welcher die Basis a potenziert werden muss, um das Ergebnis b zu erhalten. Es gilt:

a^n = b \quad \Leftrightarrow \quad n = \log_{a}{b}

Beispielsweise gilt somit \log_{a}{a} = 1, wie sich durch Einsetzen in den linken Teil der obigen Äquivalenz-Gleichung überprüfen lässt, sowie \log_{a}{a^n} = n, da n genau der Zahl entspricht, mit der die Basis a potenziert werden muss, um das Ergebnis a^n zu erhalten.

Eine einfache Berechnung eines Logarithmus “von Hand” ist allgemein nur in seltenen Fällen möglich. Früher wurden daher Werte-Tabellen für Logarithmen in Lehrbüchern und Formelsammlungen abgedruckt, inzwischen haben Taschenrechner bzw. Computerprogramme mit entsprechenden Funktionen die Berechnung von Logarithmen wesentlich vereinfacht und Werte-Tabellen letztlich überflüssig gemacht.

In der Praxis sind insbesondere Logarithmen zur Basis 10 (“dekadische” Logarithmen, Symbol: \mathrm{lg}), zur Basis e (“natürliche” Logarithmen, Symbol: \mathrm{ln}) und zur Basis 2 (“binäre” oder duale” Logarithmen, Zeichen \mathrm{lb} oder \mathrm{ld}) von Bedeutung.[5] Um einen Logarithmus auf eine andere Basis umzurechnen, kann folgende Formel angewendet werden:

(10)\log_{a_2}{b} = \frac{\log_{ a_1}{b}}{\log_{a_1}{a_2}}

Die obige Formel ermöglicht es beispielsweise, einen dekadischen Logarithmus ( a_1 = 10) in einen binären Logarithmus (a_2 = 2) umzurechnen, indem man diesen durch \log_{10}{2} \approx 0,301 teilt.

Summen und Differenzen von Logarithmen

Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich addieren oder subtrahieren. Das Ergebnis einer Logarithmus-Addition ist ein Logarithmus mit gleicher Basis, dessen Argument gleich dem Produkt der Argumente beider zu addierenden Logarithmen ist:

(11)\log_{a}{b_1} + \log_{a}{ b_2} = \log_{a}{ (b_1 \cdot b_2) }

Entsprechend ist das Ergebnis einer Logarithmus-Subtraktion ein Logarithmus mit gleicher Basis, dessen Argument gleich dem Quotienten der Argumente beider zu subtrahierender Logarithmen ist:

(12)\log_{a}{b_1} - \log_{a}{b_2} = \log_{a}{ \left( \frac{b_1}{b_2} \right) }

Wird ein Logarithmus mit einem konstanten Faktor c multipliziert, so entspricht dies einer c-Fachen Addition des Logarithmus mit sich selbst. In diesem Fall entspricht das Ergebnis somit einem Logarithmus mit gleicher Basis a, dessen Argument c-fach mit sich selbst multipliziert werden muss:

(13)c \cdot \log_{a}{b}  = \log_{a}{\left( b^c \right)}

Weitere Eigenschaften von Logarithmen werden in den Abschnitten Logarithmusgleichungen und Logarithmusfunktionen behandelt.


Anmerkungen:

[1]Auch allgemeine Potenzen (mit beliebigem Exponenten n \in
\mathbb{R}) lassen sich auf diese Art addieren bzw. subtrahieren. Die Einschränkung a \ne 0 ist dabei notwendig, da die Potenz 0^0 nicht definiert ist.
[2]

Auf diese Weise lässt sich eine plausible Erklärung angeben, warum a^0 = 1 für alle a \ne 0 ist. Es gilt beispielsweise für a=10

10^{-3} &= \frac{1}{1\,000} = 0,001 \\[2pt]
10^{-2} &= \frac{1}{\phantom{\,}100\phantom{0}} = 0,01 \\[2pt]
10^{-1} &= \frac{1}{\phantom{\,\,\,}10\phantom{\,\,\,\,}} = 0,1 \\[2pt]
10^{\pm0} &= \frac{1}{\phantom{0\,\,}1\phantom{0\,\,}} = 1 \\[2pt]
10^{+1} &= \frac{\phantom{\,\,\,}10\phantom{\,\,\,\,}}{1} = 10 \\[2pt]
10^{+2} &= \frac{\phantom{\,}100\phantom{0}}{1} = 100 \\[2pt]
10^{+3} &= \frac{1\,000}{1} = 1\,000

[3]

Die Gleichung für Potenzen von Potenzen folgt aus der Gleichung für Potenz-Multiplikationen. Setzt man in Gleichung (2) für n_1 und n_2 gleiche Werte ein, d.h. n_1 = n_2 = n, so gilt:

\underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{\text{$m$ mal}} =
a \underbrace{^{n + n + \ldots + n}}_{\text{$m$ mal}} = a^{n \cdot m}

[4]Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit ungleicher Basis lassen sich nicht weiter zusammenfassen.
[5]Für dekadische Logarithmen (\mathrm{lg}) und natürliche Logarithmen (\mathrm{ln}) besitzen Taschenrechner häufig entsprechende Funktionstasten.