Folgen und Reihen

Folgen und ihre Eigenschaften

Ordnet man jeder natürlichen Zahl n \in \mathbb{N} eine reelle Zahl a_{\mathrm{n}} eindeutig zu, so entsteht eine unendliche (reelle) Folge (a_{\mathrm{n}}). Die einzelnen Werte der Folge heißen Folgenglieder und werden mit Indizes durchnummeriert:

( a_{\mathrm{n}} ) = a_1 ,\,  a_2 ,\, a_3 ,\, \ldots
,\, a_{\mathrm{n}} ,\, \ldots

Im Unterschied zu einer Menge kann bei einer Folge ein und das selbe Glied mehrere Male auftreten. Die Definition einer Folge kann auf zweierlei Arten erfolgen:

  • Viele Folgen lassen sich nach einem Bildungsgesetz mittels eines Terms aufstellen. Das Bildungsgesetz wird hierzu in runde Klammern geschrieben. Beispiel:

    (a_{\mathrm{n}}) = (2 \cdot n^2) = 2 ,\,  8 ,\,  18 ,\, 32 ,\, \ldots

  • Ist (mindestens) das erste Folgenglied bekannt und besteht eine Rechenvorschrift, wie sich ein Folgenglied aus einem vorhergehenden berechnen lässt, so sind alle Glieder einer Folge ebenfalls eindeutig festgelegt. Dieses Vorgehen wird als “Rekursion” bezeichnet. Beispiel:

    a_{\mathrm{n}} = 0 ,\, 1 ,\, 2 ,\, 3 ,\, 5 ,\, 8 ,\, 13 ,\, 21 ,\, \ldots

    Die obige Zahlenfolge wird auch zu Ehren von Leonardo Fibonacci als “Fibonacci-Folge” bezeichnet. Die Folgenglieder lassen sich dadurch berechnen, indem jeweils die Summe der beiden vorangehenden Folgenglieder gebildet wird. Das Bildungsgesetz der Folge lautet somit für n \ge 2:

    a_{\mathrm{n}} = a_{\mathrm{n-2}} + a_{\mathrm{n-1}}

Beschränkt man die Definitionsmenge auf die ersten n natürlichen Zahlen (n \ne 0), so erhält man eine endliche Folge mit dem Anfangsglied a_1 und dem Endglied a_{\mathrm{n}}.

Monotonie einer Zahlenfolge

Ein wichtiges Kriterium bei der Unterscheidung von Zahlenfolgen ist ihre so genannte Monotonie. Werden die Werte der Folgenglieder mit zunehmendem Index kontinuierlich (wenn möglicherweise auch in unterschiedlichem Maß) größer, so nennt man die Folge monoton wachsend zunehmend. Nehmen die Werte der Folgenglieder im umgekehrten Fall kontinuierlich (möglicherweise unterschiedlich stark) ab, so spricht man von einer monoton fallenden Folge. Bei einer konstanten Folge bleiben die Werte im Verlauf der Folge konstant.

Es gilt somit für jede Folge (a_{\mathrm{n}}):

a_{\mathrm{n + 1}} &\ge a_{\mathrm{n}} \text{\;\; für alle $n$} \quad
\Rightarrow \quad \text{$(a_{\mathrm{n}})$ ist monoton zunehmend. } \\
a_{\mathrm{n + 1}} &\le a_{\mathrm{n}} \text{\;\; für alle $n$} \quad
\Rightarrow \quad \text{$(a_{\mathrm{n}})$ ist monoton abnehmend. } \\
a_{\mathrm{n + 1}} &= a_{\mathrm{n}} \text{\;\; für alle $n$} \quad
\Rightarrow \quad \text{$(a_{\mathrm{n}})$ ist konstant. }

Gilt bei der obigen Unterscheidung anstelle der Kleiner-Gleich-Relation \le die Kleiner-Relation < beziehungsweise anstelle der Größer-Gleich-Relation \ge die Größer-Relation >, so nennt man die Folge streng monoton ab- beziehungsweise zunehmend.

Beschränktheit einer Zahlenfolge

Eine Folge (a_{\mathrm{n}}) wird beschränkt genannt, wenn es zwei reelle Zahlen s und S gibt, so dass die Werte aller Folgenglieder zwischen beiden begrenzenden Zahlen liegen, wenn also gilt:

s \le a_{\mathrm{n}} \le S \text{\;\; für alle $n$}

Hierbei wird s als untere Schranke und S als obere Schranke bezeichnet.

Grenzwert einer Zahlenfolge

Eine Folge (a_{\mathrm{n}}) hat einen Grenzwert a, wenn sich außerhalb einer beliebig großen Umgebung von a nur endlich viele Glieder der Folge befinden. Man sagt in diesem Fall, dass der Grenzwert (“Limes”) der Folge für gegen Unendlich gehende Werte von n gleich a ist; in mathematischer Kurzform schreibt man:

\lim_{n \to \infty} a_{\mathrm{n}} = a

Besitzt eine Folge einen Grenzwert, so nennt man sie konvergent, andernfalls divergent.

Bezüglich des Grenzwerts einer Folge gilt:

  • Der Grenzwert einer Folge ist stets eindeutig bestimmt; insbesondere ist \infty kein zulässiger Grenzwert.
  • Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent, besitzt also einen (eindeutigen) Grenzwert.
  • Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beispiele:

  • Die Folge \left( \frac{1}{n} \right) ist konvergent zum Grenzwert 0, also gilt:

    \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} = 0

  • Die Folge \left( \frac{n}{n+1} \right) ist konvergent zum Grenzwert 1, also gilt:

    \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n}{n + 1} = 1

  • Die Folge (n^2) ist divergent, sie hat keinen Grenzwert.

Folgen, die den Wert Null als Grenzwert haben, nennt man Nullfolgen. Ihnen kommt eine besondere Bedeutung zu, denn allgemein gilt die Aussage, dass eine Folge (a_{\mathrm{n}}) den Grenzwert a hat, wenn die Folge (a_{\mathrm{n}} - a) eine Nullfolge ist.

Dieses Konvergenzkriterium wurde von Augustin-Louis Cauchy in eine noch nützlichere Form gefasst, mittels derer sich die Konvergenz einer Folge auch dann nachweisen lässt, wenn der Grenzwert a nicht schon von vornherein bekannt ist. Das so genannte “Cauchy-Kriterium” besagt, dass jede Folge genau dann konvergiert, wenn sich zu jedem beliebig kleinen Wert \varepsilon eine Zahl n_0 > n finden lässt, so dass für alle Folgenglieder a_{\mathrm{i}}, a_{\mathrm{j}} ab a_{\mathrm{n_0}} gilt, dass |a_{\mathrm{i}} - a_{\mathrm{j}} | < \varepsilon ist.

Wichtige Grenzwerte

Für die Mathematik haben unter anderem folgende Grenzwerte für n gegen Unendlich (n \in \mathbb{N}) eine besondere Bedeutung:

\lim_{n \to \infty} \frac{a}{n} &= 0 \;\; \text{ für } a \in \mathbb{R} \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} a^n         &= 0 \;\; \text{ für } |a| < 1 \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} &= 1 \;\; \text{ für } a \in \mathbb{R}^{+} \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} &= 1  \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n  &= e \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n  &= \frac{1}{e} \\[4pt]
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{k}{n} \right)^n  &= e^{k} \\[4pt]

Die Zahl e \approx 2,71828... ist irrational und wird “Eulersche Zahl” genannt; sie ist insbesondere für Exponentialfunktionen von besonderer Bedeutung.

Arithmetische Folgen

Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz d zweier aufeinander folgender Glieder stets konstant ist. Für eine arithmetische Folge gilt also:

a_{\mathrm{n + 1}} - a_{\mathrm{n}} = d

Als Bildungsgesetz gilt:

(1)a_{\mathrm{n}} =  a_1 + (n - 1) \cdot d

Ist d > 0, so ist die Folge (streng) monoton steigend, bei d < 0 ist die Folge (streng) monoton fallend. Gilt d=0, so ist die Folge konstant.

Da die einzelnen Folgenglieder immer um den gleichen Betrag zu- beziehungsweise abnehmen, ist das mittlere dreier Folgenglieder stets gleich dem arithmetischen Mittel der beiden benachbarten Folgenglieder. Es gilt also:[1]

(2)a_{\mathrm{n}} = \frac{a_{\mathrm{n + 1}} + a_{\mathrm{n-1}}}{2}

Wichtige arithmetische Folgen sind beispielsweise die natürlichen Zahlen 1 ,\, 2 ,\, 3 ,\, 4 ,\, \ldots, die geraden Zahlen 2 ,\, 4 ,\, 6
,\, 8 ,\, \ldots, die ungeraden Zahlen 1 ,\, 3 ,\, 5 ,\, 7 ,\,
\ldots, usw.

Will man zwischen zwei Werten a_1 und a_2 insgesamt n weitere Zahlen als eine arithmetische Folge einfügen, so gilt dabei für alle Differenzen der einzelnen Folgenglieder:

d_{\mathrm{i}} = \frac{a_2 - a_1}{n + 1}

Diese Formel kann beispielsweise hilfreich sein, um fehlende Werte in Wertetabellen (näherungsweise) zu ergänzen. Eine ähnliche Anwendung kann darin bestehen, n Objekte (beispielsweise Holzbalken) in jeweils gleichem Abstand voneinander zwischen zwei festen Grenzen a_1 und a_2 einzufügen; dabei gibt d_{\mathrm{i}} an, in welchem Abstand die Mittelpunkte der Objekte jeweils eingefügt werden müssen.

Geometrische Folgen

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder stets konstant ist. Für eine jede geometrische Folge gilt also:

\frac{a_{\mathrm{n + 1}}}{ a_{\mathrm{n}} } = q

Als Bildungsgesetz gilt:

(3)a_{\mathrm{n}} =  a_1 \cdot q ^{n-1}

Ist q > 1, so ist die Folge (streng) monoton zunehmend, bei 0 < q
< 1 ist die Folge (streng) monoton abnehmend und konvergiert gegen Null. Gilt q=0, so ist die Folge konstant, im Fall - \infty < q < 0 ist die Folge “alternierend”, die Werte der Folgenglieder sind also abwechselnd positiv und negativ.

Da die einzelnen Folgenglieder immer um den gleichen Faktor zu- beziehungsweise abnehmen, ist das mittlere dreier Folgenglieder stets gleich dem geometrischen Mittel der beiden benachbarten Folgenglieder. Es gilt also:[2]

(4)| a_{\mathrm{n}} | = \sqrt{a_{\mathrm{n+1}} \cdot a_{\mathrm{n-1}}}

Will man zwischen zwei Werten a_1 und a_2 insgesamt n weitere Zahlen als eine geometrische Folge einfügen, so gilt dabei für alle Quotienten der einzelnen Folgenglieder:

q_{\mathrm{i}} = \sqrt[n+1]{\frac{ a_2}{ a_1}}

Reihen und ihre Eigenschaften

Die Summe der Glieder einer Folge (oder eines Teils der Folgenglieder) wird als Reihe bezeichnet. Mathematisch wird die Summe s_{\mathrm{n}} der Glieder einer Folge (a_{\mathrm{n}}) durch das Summen-Symbol \Sigma ausgedrückt:

(5)s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{i}} = a_1 + a_2 + a_3 +
\ldots + a_{\mathrm{n}}

Hierbei wird unterhalb des Summenzeichens die Untergrenze und oberhalb die Obergrenze des Index i angegeben, wobei die Summengrenzen jeweils ganze Zahlen sind. Im obigen Fall werden alle Folgenglieder a_{\mathrm{i}} somit von i=1 bis i=n aufsummiert.

Ist die untere Summationsgrenze i=k gleich der oberen, so bedeutet dies, dass die Summe aus einer einzigen Zahl a_{\mathrm{k}} besteht:

\sum_{i=k}^{k} a_{\mathrm{i}} =  a_{\mathrm{k}}

Ist die untere Summationsgrenze größer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnis der Summe als Null definiert. Weitere wichtige Rechenregeln für das Summenzeichen sind:

(6)\sum_{i=1}^{n} ( a_{\mathrm{i}} +  b_{\mathrm{i}} ) &= \sum_{i=1}^{n}   a_{\mathrm{i}}
+  \sum_{i=1}^{n}   b_{\mathrm{i}} \\[4pt]
\sum_{i=1}^{n} ( a_{\mathrm{i}} -  b_{\mathrm{i}} ) &= \sum_{i=1}^{n}   a
_{\mathrm{i}} -  \sum_{i=1}^{n}   b_{\mathrm{i}} \\[4pt]
\sum_{i=i}^{n} c  \cdot   a_{\mathrm{i}} &= c  \cdot  \sum_{i=1}^{n}   a
_{\mathrm{i}} \\[4pt]

Die oberen beiden dieser Rechenregeln entsprechen einem Umsortieren der Summanden, das letzte einem Ausklammern des Faktors c aus jedem Summanden. Diese Regel findet auch Anwendung, wenn man n Folgenglieder mit konstantem Wert aufsummiert:

(7)\sum_{i=1}^{n} c = c  \cdot  \sum_{i=1}^{n} 1 = c \cdot \underbrace{(1 + 1 +
\ldots + 1)}_{\text{$n$-mal}} = n \cdot c

Nach der obigen Gleichung funktionieren auch digitale Zählmaschinen, die eine Reihe von (meist elektrischen) “Eins”-Signalen aufaddieren und den entsprechenden Wert n anzeigen.

Zwei weitere Rechentricks werden im Umgang mit Reihen oftmals nutzvoll eingesetzt:

  • Eine Reihe lässt sich in zwei (oder mehrere) Teilsummen zerlegen. Werden in der ursprünglichen Reihe Folgenglieder von 1 bis n aufsummiert, so können in äquivalenter Weise zunächst nur die Folgenglieder bis zu einem zwischen beiden Grenzen liegenden Wert k summiert werden, und anschließend die restlichen Folgenglieder von k+1 bis n addiert werden.[3] Es gilt also:

    (8)\sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{i}} = \sum_{i=1}^{k} a_{\mathrm{i}} + \sum_{i=k+1}^{n}
a_{\mathrm{i}}

  • Der Wert einer Reihe bleibt durch eine Indexverschiebung unverändert. Hierunter versteht man ein Verfahren folgender Art:

    \sum_{i=1}^{2} a_{\mathrm{i} } =  a_1 +  a_2 = a_{\mathrm{3-2}}
+ a_{\mathrm{4-2}} = \sum_{i=3}^{4} a_{\mathrm{i-2}}

    Wird der Index der Summationsgrenzen im allgemeinen Fall um +k angehoben, so muss der Index der Folgenglieder auf i-k reduziert werden.[4] Es gilt somit:

    (9)\sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{i} } = \sum_{i=1+k}^{n+k} a_{\mathrm{i-k}}

    Eine Verminderung der Summationsgrenze um -k bewirkt in entsprechender Weise eine Anhebung des Index der Folgenglieder auf i+k:

    (10)\sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{i} } = \sum_{i=1-k}^{n-k} a_{\mathrm{i+k}}

Arithmetische Reihen

Addiert man alle Glieder einer arithmetischen Folge, also eine Folge von Zahlen, die sich untereinander stets um den gleichen Wert d unterscheiden, so ergibt sich eine arithmetische Reihe. Für den Wert der wohl bekanntesten arithmetischen Reihe, bei der alle natürlichen Zahlen von 1 bis n addiert werden, hat Carl Friedrich Gauss bereits in jungem Alter die folgende Formel gefunden, die bisweilen auch “Kleiner Gauss” genannt wird:[5][6]

(11)s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} i =  \frac{n \cdot (n+1)}{2}

Im allgemeinen Fall lässt sich der Wert einer arithmetischen Reihe folgendermaßen berechnen:[7]

(12)s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} a_{\mathrm{i}} = \sum_{i=1}^{n} \big( a_1 +
(i-1) \cdot d \big)  = n \cdot  a_1 + \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot d

Geometrische Reihen

Addiert man alle Glieder einer geometrischen Folge, also eine Folge von Zahlen, die sich untereinander stets um den gleichen Faktor q unterscheiden, so ergibt sich eine geometrische Reihe. Der Wert s_{\mathrm{n}} einer endlichen geometrischen Reihe lässt sich folgendermaßen berechnen:[8]

(13)s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} a_1 \cdot q ^{i-1} =  a_1 \cdot
\frac{q ^n -1}{q-1}

Ob eine unendliche geometrische Reihe konvergiert, hängt vom Wert von q ab. Ist |q| > 1, so divergiert die Reihe; ist hingegen |q|<1, so konvergiert die Reihe, und es gilt:

\lim_{n \to \infty} a_1 \cdot \frac{q ^n -1}{q-1} = \frac{a_1}{1-q}

Mittels geometrischen Reihen können beispielsweise Zinseszinsen berechnet werden.

Produktfolgen

Neben gewöhnlichen Reihen als Summenfolgen können auch Produktfolgen gebildet werden. In der Praxis sind jedoch meist nur so genannte Partialproduktfolgen von Bedeutung, deren Ergebnis das Produkt von n Folgengliedern ist. Mathematisch wird ein solches Produkt p_{\mathrm{n}} der Glieder einer Folge (a_{\mathrm{n}}) durch das Produkt-Symbol \Pi ausgedrückt:

p(n) = \prod_{i=1}^{n}a_{\mathrm{i}} = a_1  \cdot a_2  \cdot a_3  \cdot  \ldots
a_{\mathrm{n}}

Hierbei wird unterhalb des Produktzeichens die Untergrenze und oberhalb die Obergrenze des Index i angegeben, wobei die Produktgrenzen jeweils ganze Zahlen sind.

Für die insbesondere in der Kombinatorik häufig auftretende Partialproduktfolge der natürlichen Zahlen ist eine besondere Notation üblich:

p_1 &= 1! = 1 \\
p_2 &= 2! = 1 \cdot 2 \\
p_3 &= 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3\\ \vdots \\
p_{\mathrm{n}} &= n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \\

Der Ausdruck n! wird dabei als “n Fakultät” gelesen; für den Sonderfall n=0 ist dabei 0! = 1 definiert.


Anmerkungen:

[1]

Bei einer arithmetischen Folge gilt:

a_{\mathrm{n+1}} - a_{\mathrm{n}} = d = a_{\mathrm{n}} - a_{\mathrm{n-1}}

Setzt man in der obigen Gleichung die linke und die rechte Seite gleich und löst diese Gleichung nach a_{\mathrm{n}} auf, so erhält man die Rechenregel zur Berechnung des arithmetischen Mittels. Diese Formel kann auch in der Statistik verwendet werden, um das Arithmetische Mittel einer Messreihe zu bestimmen.

[2]

Bei einer geometrischen Folge gilt:

\frac{ a_{\mathrm{n+1}} }{ a_{\mathrm{n}}   } = q =
\frac{ a_{\mathrm{n}}   }{ a_{\mathrm{n-1}} }

Setzt man in der obigen Gleichung die linke und die rechte Seite gleich und löst diese Gleichung nach a_{\mathrm{n}} auf, so erhält man die Rechenregel zur Berechnung des geometrischen Mittels. Diese Formel kann auch in der Statistik verwendet werden, um das Geometrische Mittel einer Messreihe zu bestimmen.

[3]

Im umgekehrten Fall lässt sich eine Zerlegung in Teilsummen auch nutzen, um den Wert einer Reihe zu berechnen, deren Glieder von k >
1 bis n aufsummiert werden. Hierbei gilt stets:

\sum_{i=k}^{n}  a_{\mathrm{i}} = \sum_{i=1}^{n}  a_{\mathrm{i}} -
\sum_{i=1}^{k-1} a_{\mathrm{i}}

[4]Diese Ersetzung ist vorzunehmen, bevor irgendeine weitere Auswertung erfolgt. Darauf ist insbesondere dann zu achten, wenn sich vor dem Index i einer Reihe ein Minuszeichen befindet. Durch eine Verschiebung der Summationsgrenzen um +k wird beispielsweise 1-i zu 1
- (i+k) = 1-i-k.
[5]Die Gültigkeit von Gleichung (11) wurde bereits als Beispiel im Abschnitt Die vollständige Induktion gezeigt.
[6]

Ähnliche Sonderfälle arithmetischer Reihen sind die Reihen der geraden und ungeraden Zahlen:

  • Die Folge der geraden Zahlen 2 ,\, 4 ,\, 6 ,\, 8 ,\, \ldots lässt sich als (a_{\mathrm{n}}) = 2 \cdot n ausdrücken. Für die entsprechende Reihe s_{\mathrm{n}} gilt:

    s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} 2 \cdot i = n \cdot (n+1)

  • Die Folge der ungeraden Zahlen 1 ,\, 3 ,\, 5 ,\, 7 ,\, \ldots lässt sich als (a_{\mathrm{n}}) = 2 \cdot n - 1 ausdrücken. Für die entsprechende Reihe s_{\mathrm{n}} gilt:

    s_{\mathrm{n}} = \sum_{i=1}^{n} 2 \cdot i -1 = n ^2

Nach der obigen Gleichung lässt sich somit jede Quadratzahl als arithmetische Reihe darstellen:

1^2 &= 1 \\
2^2 &= 1 + 3 \\
3^2 &= 1 + 3 + 5 \\
4^2 &= 1 + 3 + 5 + 7 \\
&\ldots \\
n^2 &= 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + (2 \cdot n - 1) \\

[7]

Hierfür muss die Reihe zunächst aufgeteilt werden:

\sum_{i=1}^{n} \big( a_1 + (i-1) \cdot d \big) = \sum_{i=1}^{n}
a_1 + \sum_{i=1}^{n} (i-1) \cdot d

In der ersten Teilreihe wird der konstante Wert a_1 aufsummiert; ihr Wert ist nach Gleichung (7) gleich n \cdot  a_1. Bei der zweiten Teilreihe kann der konstante Faktor d nach Gleichung (6) ausgeklammert werden. Somit gilt:

\sum_{i=1}^{n} \big( a_1 + (i-1) \cdot d \big) = n \cdot  a_1 + d \cdot
\sum_{i=1}^{n} (i-1)

Die zweite Teilreihe kann mittels einer Indexverschiebung gemäß Gleichung (10) umgeschrieben werden. Es gilt:

\sum_{i=1}^{n} (i-1) = \sum_{i = 0}^{n-1} i

Nach Gleichung (11) gilt für den Wert dieser Reihe

\sum_{i = 0}^{n-1} i = \frac{(n-1) \cdot (n-1+1)}{2} = \frac{n \cdot
(n-1)}{2}

Addiert man beide Teilreihen und berücksichtigt dabei den Faktor d (zweite Gleichung dieser Anmerkung), so erhält man Gleichung (12).

[8]

Die Formel (13) zur Berechnung einer geometrischen Reihe kann auf zweierlei Arten dargestellt werden, denn es gilt:

\frac{q^n -1}{q-1} = \frac{-(q^n -1)}{-(q-1)} =
\frac{1-q^n}{1-q\phantom{^n}}

Die erste Darstellung wird im Fall q > 1, die zweite im Fall q<1 genutzt.

Um die Gültigkeit von Formel (13) zu demonstrieren, wird die Differenz von s_{\mathrm{n}} und q \cdot s_{\mathrm{n}} betrachtet. Es gilt:

s_{\mathrm{n}} &=  a_1 \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + \ldots + q ^{n-1})
\\[2pt]
q \cdot s_{\mathrm{n}} &=  a_1 \cdot (q + q^2 + q^3 + q^4 + \ldots + q
^{n}) \\[5pt]
\Rightarrow s_{\mathrm{n}} - q \cdot s_{\mathrm{n}}  &=  a_1 \cdot ( 1 +
q + q^2 + q^3 + \ldots + q ^{n-1} \\ & \phantom{ = a_1 \cdot ( 1 \,} - q
- q^2 - q^3 - \ldots - q ^{n-1} - q^n) \\

Auf der linken Seite kann s_{\mathrm{n}} ausgeklammert werden, auf der rechten Seite heben sich alle Summanden bis auf 1 und -q^n auf. Folglich gilt:

s_{\mathrm{n}} \cdot (1-q) =  a_1 \cdot (1 - q^n)

Löst man diese Gleichung nach s_{\mathrm{n}} auf, so erhält man als Ergebnis s_{\mathrm{n}} = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q\phantom{^n}}, was nach der ersten Gleichung dieser Anmerkung mit Formel (13) übereinstimmt.