Potenz- und Wurzelfunktionen

Eine Potenzfunktion hat allgemein folgende Funktionsgleichung:

(1)f(x) = x^n

In praktischen Anwendungen treten Potenzfunktionen sehr häufig auf; beispielsweise werden durch sie Proportionalitäten zwischen einer Größe y und der n-ten Potenz der Ausgangsgröße x beschrieben. Wichtige Sonderfälle sind hierbei mit f(x)=x^0 = 1 die konstante Funktion und mit f(x)=x die lineare Funktion. Wurzelfunktionen lassen sich ebenfalls als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten auffassen.

Einige wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen werden im Folgenden näher beschrieben.

Gerade und ungerade Potenzfunktionen

Potenzfunktionen auch höheren Grades – also allgemein Funktionen der Form f(x) = x^n mit n \in \mathbb{N} – lassen sich in gerade und ungerade Funktionen unterteilen.

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten

Eine Funktion heißt “gerade”, wenn für alle x \in \mathbb{D} folgende Bedingung gilt:

(2)f(-x) = f(x)

Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert in diesem Fall ein zweiter Kurvenpunkt, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Diese Bedingung wird von allen Potenzfunktionen mit geradzahligen Exponenten erfüllt, da sich bei diesen die Minuszeichen der negativen x-Werte beim Potenzieren gegenseitig aufheben. Die konstante Funktion f(x)=c wird ebenfalls zu den geraden Funktionen gezählt, da x^0 = 1 ist.

fig-potenzfunktionen-gerade

Beispiele von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten.

Zusätzlich haben alle geraden Potenzfunktionen folgende Eigenschaften:

  • Die Funktionsgraphen verlaufen stets durch die Punkte (-1,1), (0,0) und (1,1).
  • Die Funktionen sind streng monoton fallend für x < 0 und streng monoton steigend für x > 0.[1]
  • Der Definitionsbereich der Funktionen ist \mathbb{R}, ihr Wertebereich \mathbb{R}_0 ^{+}; sie sind also nach unten beschränkt, und für die untere Schranke gilt s=0.

Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Eine Funktion heißt “ungerade”, wenn für alle x \in \mathbb{D} folgende Bedingung gilt:

(3)-f(-x) = f(x)

Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert somit ein zweiter Kurvenpunkt, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (0,0) ist. Diese Bedingung wird von allen Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten erfüllt, da sich die Funktionswerte von negativen x-Werte gegenüber den Funktionswerten von betragsgleichen positiven x-Werten nur im Vorzeichen unterscheiden.[2]

fig-potenzfunktionen-ungerade

Beispiele von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten.

Zusätzlich haben alle ungeraden Potenzfunktionen folgende Eigenschaften:

  • Der Funktionsgraph verläuft stets durch die Punkte (-1,-1), (0,0) und (1,1).
  • Die Funktion ist für alle x-Werte entweder streng monoton fallend oder streng monoton steigend.
  • Der Definitionsbereich sowie der Wertebereich der Funktion ist \mathbb{R}.

Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(4)f(x) = \sqrt[n]{x}

Dabei ist der Wurzelexponent n eine feste natürliche und die Variable x eine beliebige positive reelle Zahl.[3] Da die Wurzel einer beliebigen positiven Zahl ebenfalls eine positive Zahl ist, ist \mathbb{W} =
\mathbb{D} = \mathbb{R}_0^{+}. Aufgrund der Beziehung \sqrt[n]{x} = x ^{\frac{1}{n}} lassen sich Wurzelfunktionen als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten auffassen. Zugleich ist die n-te Wurzelfunktion y=\sqrt[n]{x} die Umkehrfunktion der n-ten Potenzfunktion y = x^n, da gilt:

x = f_{\mathrm{U}}(y) = \sqrt[n]{x^n} = x ^{\frac{n}{n}} = x^1 = x

fig-wurzelfunktionen

Beispiele von Wurzelfunktionen.

Alle Wurzelfunktionen sind stetig, streng monoton steigend und haben x_0
= 0 als (einfache) Nullstelle. Die Funktionsgraphen haben neben dem Punkt (0,0) auch den Punkt (1,1) gemeinsam; sie entstehen durch Spiegelung der jeweiligen Potenzfunktion x^n an der Geraden y=x.


Anmerkungen:

[1]Steht eine Potenzfunktion in Betragszeichen, ist also f(x) =
| x^n|, so ist diese Funktion in jedem Fall gerade, da mögliche negative Vorzeichen von Funktionswerten dadurch aufgehoben werden (siehe beispielsweise Abbildung Betragsfunktion).
[2]Um die Umkehrfunktion einer geraden Potenzfunktion zu bilden, muss somit der Definitionsbereich eingeschränkt werden (meist auf \mathbb{R}_0
^{+}).
[3]
Diese Einschränkung ist zumindest für reellwertige Funktionen notwendig, da in diesem Fall keine Wurzeln mit negativen Argumenten definiert sind.
Im Bereich der komplexen Zahlen gilt die Beziehung \sqrt{-1} = i.