Ganz- und gebrochenrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(1)y = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i = a_{\mathrm{n}} \cdot x^n +
a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} + \ldots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0

Hierbei bezeichnet man den größten Exponenten n \in \mathbb{N} des Polynoms als “Grad” der Funktion, die reellen Zahlen a_0 bis a_n nennt man Koeffizienten. Ganzrationale Funktionen haben allgemein folgende Eigenschaften:

  1. Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert, es gilt also \mathbb{D} = \mathbb{R}. Sie sind im gesamten Bereich stetig, d.h. der Funktionsgraph ergibt eine kontinuierliche Kurve ohne Sprünge.

  2. Jede Potenzfunktion x^n mit n \ge 1 wird für große x-Werte unendlich groß, da \lim_{x->\infty} x^n = \infty ist. Bei einer ganzrationalen Funktion richtet sich der Grenzwert nach der höchsten Potenz und hat das gleiche Vorzeichen wie der dazugehörige Koeffizient.

  3. Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades hat maximal n verschiedene Nullstellen.

    Ebenso ist es möglich, dass bei der Bestimmung der Nullstellen ein Wert mehrfach vorkommt. In diesem Fall ist die Nullstelle mehrfach zu zählen, wobei der Vielfachheit folgende Bedeutung zukommt:

    • Bei geradzahlig-mehrfachen Nullstellen berührt der Funktionsgraph die x-Achse, verbleibt allerdings auf der selben Seite der Achse.
    • Bei ungeradzahlig-mehrfachen Nullstellen schneidet der Funktionsgraph die x-Achse.

Aus Potenzfunktionen zusammengesetzte Funktionen sind meist weder gerade noch ungerade, außer sie bestehen ausschließlich aus nur geraden oder nur ungeraden Potenzfunktionen. Sowohl gerade als auch ungerade Funktionen haben besondere Stellen x_i (Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte), sofern x_i \ne 0 ist, stets paarweise. Die x-Werte der besonderen Stellen unterscheiden sich dabei nur in ihrem Vorzeichen, es ist also x_1
= -x_2. Zudem haben sie folgende Eigenschaften:

  • Ganzrationale Funktionen geraden Grades sind stets einseitig beschränkte Funktionen. Sie haben entweder keine oder eine gerade Anzahl an Nullstellen, die unter Umständen mehrfach zu zählen sind.
  • Ganzrationale Funktionen ungeraden Grades sind stets unbeschränkt und haben stets (mindestens) eine Nullstelle. Die Gesamtzahl der Nullstellen ist stets ungerade.

Im Folgenden werden die obigen und weitere Eigenschaften am Beispiel der häufig vorkommenden linearen und quadratischen Funktionen, also den einfachsten Vertretern von ganzrationalen Funktionen (mit n=1 beziehungsweise n=2), näher beschrieben.

Lineare Funktionen

Wenn eine Größe in gleichem Maß zunimmt wie auch eine andere Größe wächst, so nennt man den Zusammenhang direkt proportional oder linear. Die zugehörige mathematische Funktion hat folgende Form:

y = a \cdot x + b

Lineare Zusammenhänge zweier Größen treten im Alltag – beispielsweise bei Dreisatz-Aufgaben – sowie in den Naturwissenschaften sehr häufig auf.

Beispiele:

  • Je größer die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs ist, desto länger ist die Wegstrecke, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegt.
  • Je mehr Plätzchen auf Vorrat gebacken werden, desto länger kann man davon naschen (vorausgesetzt, jeden Tag werden gleich viele Plätzchen verspeist).
  • Je mehr Geld man ausgeben möchte, desto mehr muss man verdienen. Oder: Je sparsamer man mit einer bestimmten Menge Geld umgeht, desto länger kann man davon leben. Ähnlich ist es mit dem Benzinverbrauch eines Fahrzeugs.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, die umso steiler verläuft, je größer der Proportionalitätsfaktor a ist; a wird daher auch aus “Steigung” der linearen Funktion bezeichnet. Der Wert b stellt den Anfangswert dar (das Ergebnis der Funktion, wenn x=0 ist).

fig-lineare-funktionen

Graphen der linearen Funktionen y = a \cdot x bzw. y = x + b mit unterschiedlichen Parametern a (links) und b (rechts).

Eine Funktion heißt proportional, wenn das Verhältnis der Größen \frac{y}{x} immer einen konstanten Wert hat, d.h. wenn \frac{y}{x} = k gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn y = k
\cdot x ist. Bei proportionalen Funktionen handelt es sich folglich um lineare Funktionen, die üblicherweise durch den Koordinatenursprung verlaufen und eine positive Steigung aufweisen.

Quadratische Funktionen

In manchen Situationen wächst eine Größe durch den Einfluss einer anderen Größe stärker als proportional. Nimmt eine Messgröße um das 2,4,9,16,n^2-fache zu, während die Ausgangsgröße den 1,2,3,4,n-fachen Wert annimmt, so nennt man die zugehörige Funktion quadratisch.

Beispiele:

  • Ein Quadrat mit einer 2,3,4,\ldots-fachen Seitenlänge l besitzt einen 4,9,16,\ldots-fachen Flächeninhalt A_{\mathrm{Quadrat}}.

    A_{\mathrm{Quadrat}} = l^2

  • Die Fläche A_{\mathrm{Kreis}} eines Kreises wächst ebenfalls quadratisch mit zunehmendem Radius an. Zur exakten Berechnung muss der Radius r quadriert und mit der Kreiszahl \pi multipliziert werden.

    A_{\mathrm{Kreis}} = \pi \cdot r^2

  • Die Strecke, die ein Körper im freien Fall (ohne Reibung) zurücklegt, nimmt quadratisch mit der Zeit zu: Nach einer Sekunde hat der Körper knapp 5 Meter zurückgelegt, nach zwei Sekunden 20 Meter, nach drei Sekunden 45 Meter, nach vier Sekunden 80 Meter, usw. Allgemein gilt für die Fallstrecke s mit der Erdbeschleunigung g = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } folgende Formel:

    s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel bzw. ein Stück davon.

Die Normalparabel

Allgemein besitzt eine quadratische Funktion folgende Form:

(2)y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c

Im einfachsten Fall sind die beiden Parameter b,c = 0 sowie a =
1. Die Funktion vereinfacht sich damit zu:

(3)y = x^2

Den zu Gleichung (3) gehörigen Funktionsgraphen nennt man Normalparabel. Ihre Funktionswerte ergeben sich jeweils durch Quadrieren der eingesetzten x-Werte.

fig-normalparabel

Graph der Normalparabel y = x^2.

Die Besonderheiten einer Normalparabel sind:

  • Der Scheitel der Normalparabel liegt bei (0;0).
  • Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse. Der Grund hierfür ist, dass sich das Minuszeichen beim Quadrieren aufhebt – Minus mal Minus ergibt Plus.
  • Die Normalparabel besitzt nur nicht-negative y-Werte, d.h. sie bildet den Definitionsbereich D = \mathbb{R} auf den positiven Bereich der reellen Zahlen W = \mathbb{R}^{+} ab. Der Grund hierfür ist, dass für die Quadratzahl einer jeden reellen Zahl n \in \mathbb{R} gilt: n^2 \ge 0

Bedeutung der Parameter a,\,b und c

Durch Variation der Parameterwerte a,\, b und c ergeben sich gegenüber der Normalparabel folgende Veränderungen:

  • Ist der Parameter 0 < a < 1, so ist die Parabel gegenüber der Normalparabel gestaucht, d.h. ihre Werte wachsen langsamer als es bei der Normalparabel der Fall ist. Im umgekehrten Fall a > 0 ist die resultierende Parabel gegenüber der Normalparabel gestreckt.

    Gilt a < 0, so ist die Parabel nach unten hin geöffnet.

fig-parabel-a

Graphen der Parabelgleichung y = a \cdot x^2 für verschiedene Parameter a.

  • Lässt sich eine Parabelgleichung als binomische Formel schreiben, beispielsweise x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 oder allgemein (x \pm
b)^2, so bewirkt der in der quadrierten Klammer stehende Parameter b eine Verschiebung nach links (falls b>0) bzw. nach rechts (falls b<0).

    Die Wirkung des Parameters b \cdot x lässt sich bestimmen, indem man mit Hilfe der ersten Ableitung den Wert des Parabelscheitels allgemein berechnet.[1] Je nach Größe der Werte von a und c bewirkt der Parameter b eine Verschiebung des Parabelscheitels um -
\frac{b}{2 \cdot a} in horizontaler und um - \frac{b^2}{4 \cdot a} +
c in vertikaler Richtung. Im Falle einer Normalparabel (a=1 und c=0) bewirkt b \cdot x eine Verschiebung um -
\frac{b}{2} in x-Richtung sowie eine Verschiebung um -
\frac{b^2}{4} in y-Richtung.

fig-parabel-b

Graphen der Parabelgleichung y = (x + b)^2 bzw. y = x^2 + b
\cdot x für verschiedene Parameter b.

  • Ist der Parameter c \ne 0, so ist die Parabel nach oben (c >
0) bzw. nach unten (c < 0) verschoben.
fig-parabel-c

Graphen der Parabelgleichung y = x^2 + c für verschiedene Parameter c.

Treten mehrere der oben genannten Fälle ein, so kombinieren sich entsprechend die Effekte.

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(4)y = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i}{\sum_{k=0}^{m}
b_k \cdot x^k} = \frac{a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x
^{n-1} +\ldots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0}{b_{\mathrm{m}} \cdot x^m
+b_{\mathrm{m-1}} \cdot x ^{m-1} + \ldots + b_2 \cdot x^2 + b_1 \cdot x +
a_0}

Gebrochenrationale Funktionen bestehen also aus einem Zählerpolynom Z(x) mit Grad n und einem Nennerpolynom N(x) mit Grad m. Ist n<m, so nennt man die Funktion “echt” gebrochenrational; andernfalls lässt sich die Funktion mittels Polynomdivision als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion schreiben.

Nullstellen und Polstellen

Gebrochenrationale Funktionen sollten stets auf folgende Punkte hin untersucht werden:

  • Als Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen werden alle x-Werte bezeichnet, für die der Zählerterm Z(x) gleich Null wird, ohne dass der Nennerterm N(x) ebenfalls gleich Null wird.
  • Als Polstellen von gebrochenrationalen Funktionen werden alle x-Werte bezeichnet, für die der Nennerterm N(x) gleich Null wird, ohne dass der der Zählerterm Z(x) ebenfalls gleich Null wird. Die Funktion ist (wegen der Division durch Null) an solchen Stellen nicht definiert. Der Graph der Funktion ist an Polstellen nicht stetig, sondern nähert sich asymptotisch einer durch entsprechenden x-Wert verlaufenden und zur y-Achse parallelen Geraden an.[2]

Beispiel:

  • Die folgende Funktion soll auf Nullstellen und Polstellen hin untersucht werden:

    y = \frac{x}{(x+1)(x-2)}

    Der Zählerterm ist nur für x_0 = 0 gleich Null, der Funktionsgraph hat somit nur dort eine Nullstelle. Um die Polstelle(n) zu bestimmen, muss der Nennerterm gleich Null gesetzt werden:

    (x+1) \cdot (x-2) \stackrel{!}= 0 \\[6pt]
\Rightarrow x_1 = -1 \quad ; \quad x_2 = +2

    Die Funktion hat also zwei Polstellen bei x_1 = -1 und x_2=2.

fig-gebrochenrationale-funktion-nullstellen-und-polstellen

Beispiel von Nullstellen und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion.

Werden sowohl der Zählerterm Z(x) als auch der Nennerterm N(x) für einen Wert x_i gleich Null, so ist die Funktion an dieser Stelle ebenfalls nicht definiert. Zähler und Nenner enthalten jedoch in diesem Fall einen gemeinsamen Faktor (x - x_i)^k, durch den der gebrochenrationale Term für x \ne x_i gekürzt werden kann.

Hyperbeln

Funktionen der Form \frac{1}{x^n} stellen die einfachsten gebrochenrationalen Funktionen dar; sie werden Hyperbeln genannt. Alle diese Funktionen haben bei x_0 = 0 eine Polstelle, die y-Achse ist also eine senkrechte Asymptote. Die zweite, waagrechte Asymptote der Funktion für x \to \pm \infty ist die x-Achse.

fig-hyperbeln

Beispiele von Hyperbelfunktionen.

Alle Hyperbeln haben, da der Zähler stets ungleich Null ist, keine Nullstellen. Zudem verlaufen die Funktionsgraphen aller Hyperbeln durch den Punkt (1,1). Aufgrund der Beziehung \frac{1}{x^n} = x^{-n} lassen sich Hyperbelfunktionen als Potenzfunktionen mit negativen Exponenten auffassen. Damit können auch Hyperbeln in gerade und ungerade Funktionen unterteilt werden:

  • Die Funktionsgraphen von Hyperbeln mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse, sie verlaufen also im ersten und zweiten Quadranten und gehen zusätzlich durch den Punkt (-1,1). Im Bereich x<0 sind gerade Hyperbeln streng monoton steigend, im Bereich x>0 streng monoton fallend. Nach unten sind gerade Hyperbeln mit der unteren Schranke s=0 beschränkt.
  • Die Funktionsgraphen von Hyperbeln mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (0,0), sie verlaufen also im ersten und dritten Quadranten und gehen zusätzlich durch den Punkt (-1,-1). Im gesamten Definitionsbereich sind ungerade Hyperbeln streng monoton steigend.

Aufgrund der Beziehung y = \frac{c}{x} \; \Leftrightarrow \; x
\cdot y = c können mit Hyperbeln indirekte Proportionalitäten zwischen x und y beschrieben werden.


Anmerkungen:

[1]

Für die erste Ableitung der Parabelgleichung (2) gilt:

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x + b

Der Parabelscheitel ist die einzige Stelle einer Parabel, an der ihre Steigung f'(x) gleich Null ist (Extremwert). Der x-Wert des Scheitelpunktes lässt sich somit bestimmen, wenn in Gleichung (?) f'(x) = 0 gesetzt wird:

f'(x) = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad 2 \cdot a \cdot x + b = 0 \\[6pt]
&\Rightarrow x = - \frac{b}{2 \cdot a}

Den zugehörigen y-Wert des Parabelscheitels erhält man, wenn man x_{\mathrm{S}} = - \frac{b}{2 \cdot a} in die ursprüngliche Parabelgleichung (2) einsetzt. Es ergibt sich:

y_{\mathrm{S}} = f\left(-\frac{b}{2 \cdot a}\right) &= a \cdot \left( -
\frac{b}{2 \cdot a}  \right)^2  + b \cdot \left( - \frac{b}{2 \cdot
a}  \right)  + c \\[6pt]
&= a \cdot \frac{b^2}{4 \cdot a^2}  - \frac{b^2}{2 \cdot a}  + c \\[6pt]
&= \frac{b^2}{4 \cdot a} - \frac{2 \cdot b^2}{4 \cdot a}  + c \\[6pt]
&= - \frac{b^2}{4 \cdot a} + c

[2]

Als Asymptote bezeichnet man allgemein eine Gerade oder Kurve, an die sich eine Funktion an einer Polstelle oder im Unendlichen annähert.

Bei einer gebrochenrationalen Funktion erhält man für x \to \pm
\infty eine schräg verlaufende Gerade als Asymptote, wenn der Grad des Zählers um 1 größer ist als der Grad des Nenners. Ist der Grad des Zählers um \ge 2 größer als der Grad des Nenners, so nähert sich die gebrochenrationale Funktion asymptotisch an eine schräge Kurve an. In beiden Fällen kann die Funktionsgleichung der Asymptote mittels einer Polynomdivision bestimmt werden.

Ist der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners, so hat die gebrochenrationale Funktion für x \to \pm \infty eine waagrechte Asymptote. Der y-Wert dieser Asymptote ist gleich dem Verhältnis der Koeffizienten der größten Potenzen des Zählers und des Nenners, beispielsweise \frac{5}{4} bei \frac{5 \cdot x^3 - x}{4 \cdot
x^3 + 2 \cdot x^2}. Ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners, so hat die gebrochenrationale Funktion für x \to \pm \infty die waagrechte Asymptote y=0.