Differenzen und Differentiale

Das Steigungsdreieck

Um die Bedeutung der Steigung einer Funktion zu verstehen, wird zunächst die Steigung einer Geraden betrachtet. Ein anschauliches Beispiel bietet eine Holzleiste oder ein Lineal, das schräg auf einer geraden Unterlage aufgestellt wird.

fig-steigungsdreieck-modell

Modell eines Steigungsdreiecks. Durch Messen der Höhe h und Länge l kann die Steigung einer schrägen Holzleiste bestimmt werden.

Umso schneller die Höhe h entlang der horizontalen Wegstrecke l zunimmt, d.h. umso steiler das Lineal aufgestellt ist, desto größer ist die Steigung.

Ein solches “Steigungsdreieck” kann in einem gewöhnlichen Koordinatensystem an jede Gerade angelegt werden. Wandert man von einem (frei wählbaren) Punkt auf der Geraden beispielsweise fünf Kästchen horizontal nach rechts und zählt dann die Anzahl an Kästchen, die man horizontal nach oben oder unten zurücklegen muss um wieder auf die Gerade zu treffen, so hat man ein Maß für die Steigung der Gerade gewonnen.

Beispiele:

  • Eine Gerade, die entlang einer horizontalen Strecke von fünf Kästchen nach rechts um drei Kästchen nach oben ansteigt, ist weniger steil als eine Gerade, die entlang der gleichen horizontalen Strecke (fünf Kästchen) um sieben Kästchen nach oben steigt.
  • Eine Gerade, die entlang einer horizontalen Strecke von drei Kästchen nach rechts um vier Kästchen nach oben ansteigt, ist steiler als eine Gerade, die entlang der gleichen horizontalen Strecke (drei Kästchen) um zwei Kästchen nach oben steigt.
  • Eine Gerade, die entlang einer horizontalen Strecke von vier Kästchen nach rechts um acht Kästchen nach oben ansteigt, ist genauso steil wie eine Gerade, die entlang einer horizontalen Strecke von sechs Kästchen um zwölf Kästchen nach oben steigt.

Mathematisch kann das Verhältnis zwischen der vertikalen Änderung \Delta
y = y_2 - y_1 und der horizontalen Änderung \Delta x = x_2 - x_1 als Bruch geschrieben werden:

(1)\text{ Steigung } = \frac{ \text{ Vertikale Änderung }}{ \text{ Horizontale
Änderung }} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \equiv \frac{\Delta y}{\Delta x}

Da die beiden Änderungsgrößen \Delta y und \Delta x die gleiche Einheit (z.B. Kästchen oder cm) besitzen, besitzt die Steigung keine Einheit.

  • Der Wert der Steigung ist positiv, wenn mit zunehmenden x-Werten die zugehörigen y-Werte größer werden.
  • Die Steigung ist gleich Null, wenn mit zunehmenden x-Werten die zugehörigen y-Werte unverändert (konstant) bleiben.
  • Eine negative Steigung bedeutet entsprechend, dass mit zunehmenden x-Werten die zugehörigen y-Werte kleiner werden.
fig-verkehrszeichen-steigung

Das Verkehrszeichen weist auf einen Berg mit einer (durchschnittlichen) Steigung von 12 Prozent hin.

Die Steigung kann auch in Prozent angegeben werden. Eine Steigung von 100% bedeutet beispielsweise, dass die Gerade mit jedem Kästchen nach rechts um genau ein Kästchen nach oben steigt. Da jedes Steigungsdreiecks rechtwinklig ist, kann für beliebige Steigungen kann der Steigungswinkel \alpha mit Hilfe der trigonometrischen Beziehung \tan{\alpha } = \frac{\text{ Gegenkathete
}}{\text{ Ankathete }} berechnet werden:

\tan{\alpha } = \frac{\text{ Gegenkathete }}{\text{ Ankathete }} =
\frac{\Delta y}{\Delta x}

Eine Steigung von 1 oder 100\% bedeutet gerade, dass je horizontaler Wegdifferenz \Delta x eine ebenso große vertikale Wegdifferenz \Delta y vorliegt; dies ist genau dann der Fall, wenn \alpha = \text{atan}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) = 45 \degree ist.

Differenzen- und Differentialquotient

Die meisten Funktionen haben keine einheitliche Steigung. Vielmehr nimmt die Steigung an verschiedenen Stellen unterschiedliche Werte an, kann mitunter in unterschiedlichen Bereichen auch das Vorzeichen wechseln.

Um die durchschnittliche Steigung einer beliebigen Funktion f in einen bestimmten Bereich zwischen einem Startwert x_0 und einem Endwert x_0 + \Delta x angeben zu können, kann man die Funktionswerte f(x_0) und f(x_0 + \Delta x) an den Bereichsgrenzen mit einer Geraden verbinden und ein entsprechendes Steigungsdreieck einzeichnen. Die Steigung dieser – üblicherweise als “Sekante” – bezeichneten Geraden ist nach Gleichung (1) durch den “Differenzenquotient” \frac{\Delta
y}{\Delta x} einfach zu berechnen und entspricht der mittleren Steigung der Funktion f im betrachteten Bereich.

(2)\text{ Durchschnittliche Steigung } = \tan{(\alpha _{\mathrm{S}})} = \frac{\Delta
y}{\Delta x} = \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{\Delta x }

Dabei bezeichnet \alpha _{\mathrm{S}} den Winkel, den die Sekante mit der Horizontalen einschließt.

fig-differenzenquotient

Steigung der durch f(x_0) und f(x_0 + \Delta x) verlaufenden Sekante als Veranschaulichung des Differenzenquotienten.

Der Wert der Steigung einer Funktion f an einer einzigen Stelle x
_{\mathrm{0}} lässt sich mit zunehmender Genauigkeit ermitteln, wenn der Bereich um die Stelle x_0 immer kleiner (“feinmaschiger”) gewählt wird. Im Grenzfall ist \Delta x und somit auch das Steigungsdreieck winzig klein. Die Sekante wird hierbei zu einer Tangente, die den Funktionsgraphen augenscheinlich nur noch in einem einzigen Punkt berührt. Für die Steigung der Tangente gilt also:

(3)\text{ Punktuelle Steigung } = \tan{(\alpha _{\,\mathrm{T}})} = \lim _{\Delta x
\to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta x}\right) = \lim _{\Delta x \to 0}
\left( \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{\Delta x }\right)

Dabei bezeichnet \alpha _{\,\mathrm{T}} den Winkel, den die Sekante mit der Horizontalen einschließt.

fig-differentialquotient

Steigung der durch f(x_0) verlaufenden Tangente als Veranschaulichung des Differentialquotienten.

Das Schrumpfen des angelegten Steigungsdreiecks um einen bestimmten Punkt herum ähnelt gewissermaßen dem Zusammenziehen eines Knotens. In der mathematischen Symbolik wird bei “infinitesimal” kleinen Steigungsdreiecken anstelle des griechischen Großbuchstabens \Delta der Kleinbuchstabe \mathrm{d} geschrieben. Der Differenzenquotient \frac{\Delta
y}{\Delta x} wird dabei zum so genannten Differentialquotienten \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x }:

\frac{\Delta y}{\Delta x} \quad \stackrel{\text{ Grenzwertbildung }}{
\Rightarrow } \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

Differenzierbarkeit an einer Stelle x_0

Die Steigung einer Funktion f an einer Stelle x_0 ist nur dann eindeutig festgelegt, wenn die Steigungen in der unmittelbaren Umgebung links und rechts der Stelle gleich sind. Dies ist fast immer der Fall, doch es gibt Ausnahmen.

Beispiel:

  • Der Graph der Betragsfunktion y = |x| besitzt einen Knick an der Stelle x_0 = 0. Zeichnet man ein Steigungsdreieck links und rechts dieser Stelle ein, so besitzt die Steigungsgerade auf der linken Seite die Steigung -1, auf der rechten Seite hingegen den Wert +1. An der Stelle x_0 = 0 ist die Steigung nicht festgelegt – die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.
fig-betragsfunktion

Graph der Betragsfunktion y=|x|. An der Stelle x_0 = 0 ist die Funktion nicht differenzierbar.

Anschaulich sind Funktionen dann differenzierbar, wenn sich die Steigung ihrer Graphen kontinuierlich ändert, die Graphen also keinen “Knick” besitzen. Hierauf ist insbesondere an den Bereichsgrenzen von abschnittsweise definierten Funktionen (z.B. Signumsfunktion, Betragsfunktion, Stufenfunktion, usw.) sowie an Polstellen von gebrochen-rationalen Funktionen zu achten.

Besitzt eine Funktion eine Definitionslücke, so kann an dieser Stelle nichts über die Differenzierbarkeit der Funktion ausgesagt werden.

Um die Steigung unmittelbar links und unmittelbar rechts der Stelle x_0 berechnen zu können, wählt man die Stelle x_0 selbst als Bereichsgrenze. Wählt man als zweite Bereichsgrenze x-Werte, die nur ein wenig kleiner bzw. größer als x_0 sind, so erhält man Steigungsdreiecke, die unmittelbar links bzw. rechts der untersuchten Stelle an der Funktion anliegen.

Mathematisch lassen sich die beiden unmittelbar angrenzenden Steigungen wie folgt ausdrücken:

\text{ Steigung links von $x_0$: } = \lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} }
\left( \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right) \\[12pt]
\text{ Steigung rechts von $x_0$: } = \lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x > 0 \;} }
\left( \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right)

Stimmen die beiden Grenzwerte auf linken und auf der rechten Seite der Stelle x_0 überein, so ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar, und der Wert ihre Steigung ist gleich dem Steigungswert der beiden Grenzwerte.

Beispiel:

  • Die Funktion f(x) = |x| soll auf Differenzierbarkeit an der Stelle x_0=0 hin untersucht werden.

    Um die Betragstriche weglassen zu können, zerlegt man die Funktion in zwei Teilfunktionen f(x) = -x \text{ für } x < 0 und f(x) = +x
\text{ für } x \ge 0. An der Stelle x_0 = 0 gilt somit für den linksseitigen Grenzwert:

    \lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left(
\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right) &= \lim
_{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left( \frac{|x_0 +
\Delta x| - |x_0|}{\Delta x}\right)  = \lim _{\substack{\Delta x \to
0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left(\frac{-\Delta x}{\Delta x}\right)  =
-1 \\[6pt]
\lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x > 0\;} } \left(
\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right) &= \lim
_{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x > 0\;} } \left( \frac{|x_0 +
\Delta x| - |x_0|}{\Delta x}\right) = \lim _{\substack{\Delta x \to
0,\\[3pt] \Delta x > 0\;} } \left( \frac{+\Delta x}{\Delta x}\right) =
+1 \\[6pt]

    Hierbei wurde jeweils x_0 = 0 eingesetzt und die Betragsfunktion in Abhängigkeit des Vorzeichens von \Delta x ausgewertet. Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert stimmen nicht überein, die Funktion ist somit an der Stelle x_0 = 0 nicht differenzierbar.

    An jeder anderen Stelle, beispielsweise x_0 = -5, ist die Funktion f(x) = |x| jedoch differenzierbar, denn dabei gilt:

    \lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left(
\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right) &= \lim
_{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left(\frac{|x_0 +
\Delta x| - |x_0|}{\Delta x}\right) \\[4pt] = \lim _{\substack{\Delta x
\to 0,\\[3pt] \Delta x < 0\;} } \left( \frac{|-5 + \Delta x| -
|-5|}{\Delta x}\right) &=  \lim _{\substack{\Delta x \to 0,\\[3pt] \Delta
x < 0\;} } \left(\frac{+5 - \Delta x - 5}{\Delta x}\right) = -1 \\[6pt]

    Dieser Wert des Differentialquotienten gilt in diesem Fall sowohl für positive wie für negative \Delta x-Werte, da diese im Vergleich zu x_0 klein sind und daher keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Betragsfunktion haben.

Herleitung von Ableitungsregeln

Um die Steigung einer Funktion f(x) für beliebige Punkte angeben zu können, ist es nützlich, eine Funktion f'(x) zu finden, deren Funktionswerte eben den Werten der Steigungen von f(x) entsprechen. Die Funktion f'(x) wird dabei als “Ableitung” von f(x), die Bestimmung von f(x) als “Ableiten” von f(x) bezeichnet.

Um eine allgemeine Ableitungsregel für beliebige x-Werte herzuleiten, wird zunächst der Differentialquotient für die betrachtete Funktion aufgestellt. Durch geschickte Umformungen versucht man anschließend, den zu untersuchenden Term auf bekannte Grenzwerte hin zurückzuführen (beispielsweise gegen Null konvergierende Terme). Als Ergebnis erhält man dann einen Ausdruck, der die Ableitung f'(x) der Funktion angibt.

Beispiele:

  • Die Ableitung für die Funktion f(x) = x^2 soll anhand des Differentialquotienten bestimmt werden.

    Der Differentialquotient für diese Funktion lautet allgemein:

    &\phantom{=\;} \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x + \Delta x) -
f(x)}{\Delta x}\right) = \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{(x + \Delta
x)^2 - x^2}{\Delta x}\right) \\[6pt]
&= \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{x^2 + 2 \cdot x \cdot \Delta x +
(\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} \right) = \lim _{\Delta x \to 0} \left(2
\cdot x + \Delta x \right) = 2 \cdot x

    In der zweiten Zeile wurde hierbei zunächst die binomische Formel ausmultipliziert, wobei sich die x^2-Terme wegen des unterschiedlichen Vorzeichens aufheben. Anschließend wurde im Zähler \Delta x ausgeklammert und gekürzt.

    Für die Funktion f(x) = x^2 ist die zugehörige Ableitungsfunktion somit f'(x) = 2 \cdot x.

  • Die Ableitung für die Funktion f(x) = 4 \cdot x^3 - 5 \cdot x soll anhand des Differentialquotienten bestimmt werden.

    Der Differentialquotient für diese Funktion lautet allgemein:

    &\phantom{=\;} \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(x + \Delta x) -
f(x)}{\Delta x}\right) = \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{\big(4 \cdot
(x + \Delta x)^3 - 5 \cdot  (x+ \Delta x)\big) - \big(4 \cdot x^3 - 5
\cdot x\big)}{\Delta x}\right) \\[6pt]
&= \lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{\big(4 \cdot (x^3 +
3\!\cdot\!x^2\!\cdot\!\Delta x + 3\!\cdot\!x\!\cdot \!(\Delta x)^2 +
(\Delta x)^3 - 5\!\cdot\!x  - 5\!\cdot\!\Delta x \big) - (4 \cdot x^3
-5 \cdot x)}{\Delta x} \right) \\[6pt]
&=\lim _{\Delta x \to 0} \left( \frac{12\!\cdot\!x^2\!\cdot\!\Delta x
+12\!\cdot\!x\!\cdot\!(\Delta x)^2- 5 \cdot \Delta x}{\Delta x}\right)
=\lim _{\Delta x \to 0} \left( 12  \cdot x^2 + 12  \cdot x \cdot
\Delta x - 5 \right) = 12 \cdot x^2 - 5

    In der zweiten Zeile wurde hierbei wiederum die binomische Formel ausmultipliziert, wobei sich die 4\!\cdot\!x^3-Terme und 5\!\cdot\! x-Terme jeweils wegen der unterschiedlichen Vorzeichen aufheben. Anschließend wurde im Zähler \Delta x ausgeklammert und gekürzt; im resultierenden Ausdruck geht der Term 12 \cdot x \cdot
\Delta x wegen \Delta x \to 0 gegen Null.

    Für die Funktion f(x) = 4 \cdot x^3 - 5 \cdot x ist die zugehörige Ableitungsfunktion somit f'(x) = 12 \cdot x^2 - 5.

Glücklicherweise wurden, wie in den nächsten Abschnitten näher beschrieben ist, mit Hilfe der obigen Methode für alle elementaren Funktionen allgemeine Ableitungsregeln hergeleitet, so dass man die Ableitung einer Funktion in praktischen Anwendungen sehr häufig mit deutlich weniger Rechenaufwand bestimmen kann.