.. _Exponential- und Logarithmusfunktionen: Exponential- und Logarithmusfunktionen ====================================== .. index:: Exponentialfunktion .. _Exponential-Funktion: .. _Exponentialfunktion: .. _Exponentialfunktionen: Exponentialfunktionen --------------------- Exponentialfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung: .. math:: :label: eqn-exponentialfunktion y = a ^x Dabei bezeichnet die "Basis" :math:`a>0` eine beliebige, konstante Zahl. Üblicherweise wird zudem der Fall :math:`a=1` ausgeschlossen, da :math:`1^x=1` eine konstante Funktion liefert. Am weitesten verbreitet sind die Exponentialfunktionen mit den Basen :math:`a=2`, :math:`a=e` und :math:`a=10`. [#]_ .. figure:: ../../pics/analysis/exponentialfunktionen.png :width: 60% :align: center :name: fig-exponentialfunktionen :alt: fig-exponentialfunktionen Beispiele von Exponentialfunktionen. .. only:: html :download:`SVG: Exponentialfunktionen <../../pics/analysis/exponentialfunktionen.svg>` Im Fall :math:`01` streng monoton steigend. Alle Exponentialfunktionen haben den Punkt :math:`(0,1)` gemeinsam und nähern sich asymptotisch der :math:`x`-Achse an, ohne diese jemals zu berühren. Exponentialfunktionen haben somit keine Nullstellen und :math:`s=0` als untere Schranke. Die Funktionen :math:`y=a^{-x}` und :math:`y=\left( \frac{1}{a}\right)^x` sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der :math:`y`-Achse symmetrisch zur Funktion :math:`y=a^x`. [#]_ Für Exponentialfunktionen sind die folgenden vier :ref:`Rechenregeln für Potenzen ` von Bedeutung: .. math:: :label: eqn-exponentialfunktion-rechenregeln a ^{x_1 + x_2} &= a ^{x_1} \cdot a ^{x_2} \\[4pt] a ^{x_1 - x_2} &= a ^{x_1} : a ^{x_2} \\[4pt] a ^{x_1 \;\cdot\, x_2} &= \left(a ^{x_1}\right)^{x_2} \\[4pt] {\color{white}1 \qquad\qquad }a ^{\frac{x_1}{x_2}} &= \sqrt[x_2\;]{a ^{x_1}} \quad \;(\text{mit } x_2 \ne 0) Eine besondere Bedeutung von Exponentialfunktionen :math:`a^x` mit :math:`a > 1` liegt darin, dass ihre Werte schneller wachsen als es bei einer Potenzfunktion :math:`x^n` mit beliebig großem (aber festem) :math:`n` der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte :math:`n \in \mathbb{R} ^{+}` und :math:`a >1`: .. math:: \lim _{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n} = \infty Der Grund dafür liegt darin, dass die :ref:`Ableitung einer Exponentialfunktion ` als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion selbst eine Exponentialfunktion ist: Nicht nur die Werte wachsen für :math:`a>1` somit exponentiell an, sondern auch die Zunahme der Werte nimmt in diesem Fall exponentiell zu. .. index:: Logarithmusfunktion .. _Logarithmus-Funktion: .. _Logarithmusfunktion: .. _Logarithmusfunktionen: Logarithmusfunktionen --------------------- Logarithmusfunktionen sind die :ref:`Umkehrfunktionen ` von Exponentialfunktionen. Sie haben allgemein folgende Funktionsgleichung: .. math:: :label: eqn-logarithmusfunktion y = \log_{a}{(x)} Da Exponentialfunktionen eindeutig umkehrbar sind, gibt es zu jeder Exponentialfunktion eine entsprechende Logarithmusfunktion. Da der Definitionsbereich jeder Umkehrfunktion gleich dem Wertebereich der Originalfunktion ist, sind Logarithmen nur für :math:`x>0` definiert. .. figure:: ../../pics/analysis/logarithmusfunktionen.png :width: 60% :align: center :name: fig-logarithmusfunktionen :alt: fig-logarithmusfunktionen Beispiele von Logarithmusfunktionen. .. only:: html :download:`SVG: Logarithmusfunktionen <../../pics/analysis/logarithmusfunktionen.svg>` Logarithmusfunktionen sind nur für :math:`a>0` und :math:`a \ne 1` definiert. Wie bei den Exponentialfunktionen, so sind auch bei den Logarithmusfunktionen die Basen :math:`a=2`, :math:`a=e` und :math:`a=10` am weitesten verbreitet; sie werden, wie bereits im Abschnitt :ref:`Rechenregeln für Logarithmen ` beschrieben, als binärer, natürlicher und dekadischer Logarithmus bezeichnet: .. math:: \text{lb}\,(x) &= \log_{2}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{dualer Logarithmus}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\;\; 1} \\ \ln{(x)} &= \log_{e}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{natürlicher Logarithmus} \\ \text{lg}\,(x) &= \log_{10}{(x)}: \quad \!\!\text{dekadischer Logarithmus} Im Fall :math:`0 < a < 1` sind Logarithmusfunktionen streng monoton fallend, im Fall :math:`a > 1` streng monoton steigend. Die einzelnen Logarithmusfunktionen können jeweils durch einen Basiswechsel in einen Logarithmus mit einer anderen Basis umgeformt werden. Es gilt dabei: .. math:: :label: eqn-logarithmusfunktion-basiswechsel \log_{a}{(x)} = \frac{\log_{b}{(x)}}{\log_{b}{(a)}}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\quad \ldots} Alle Logarithmusfunktionen sind unbeschränkt, haben den Punkt :math:`(0,1)` als einzige Nullstelle gemeinsam und nähern sich für :math:`x \to 0` asymptotisch der :math:`y`-Achse an. Die Funktionen :math:`y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)}` und :math:`y=-\log_{a}{(x)}` sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der :math:`x`-Achse symmetrisch zur Funktion :math:`y=\log_{a}{(x)}`. [#]_ Für Logarithmusfunktionen sind die folgenden Rechenregeln von Bedeutung: .. math:: :label: eqn-logarithmusfunktion-rechenregeln \log_{a}{(x_1 \cdot x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} + \log_{a}{(x_2)} \\[4pt] \log_{a}{(x_1 : x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} - \log_{a}{(x_2)} \\[4pt] \log_{a}{(x_1)^{x_2}} &= x_2 \cdot \log_{a}{(x_1)} \\[4pt] \log_{a}{(\sqrt[x_2\;]{x_1})} &= \frac{1}{x_2} \cdot \log_{a}{(x_1)} \quad \;(\text{mit } x_1,\, x_2 \ne 0) Eine besondere Bedeutung von Logarithmusfunktionen :math:`\log_{a}{(x)}` mit :math:`a > 1` liegt darin, dass ihre Werte langsamer wachsen als es bei einer Potenz- beziehungsweise Wurzelfunktion :math:`x^n` mit beliebig kleinem (aber festem) :math:`n` der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte :math:`n \in \mathbb{R} ^{+}` und :math:`a >1`: .. math:: \lim _{x \to \infty} \frac{\log_{a}{(x)}}{x^n} = 0 Der Grund dafür liegt darin, dass die :ref:`Ableitung einer Logarithmusfunktion ` als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion sehr schnell gegen Null geht; beispielsweise ist für :math:`x = 1\,000\,000` der Wert der Wurzelfunktion :math:`f(x) = x ^{\frac{1}{2}}` gleich :math:`(1\,000\,000) ^{\frac{1}{2}} = 1\,000`, der Wert der Logarithmusfunktion :math:`\log_{2}{(x)}` beträgt für diesen Wert hingegen nur :math:`\log_{2}{(1\,000\,000)} \approx 19,93`. Dennoch ist der Grenzwert für :math:`x \to \infty` bei jeder Logarithmus-Funktion :math:`f(x) = \log_{a}{(x)}` mit :math:`a > 1` ebenfalls Unendlich. .. raw:: html
.. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Dabei bezeichnet :math:`e=2,71828182845...` die "Eulersche Zahl". .. [#] Die Identität von :math:`y=a^{-x}` und :math:`y=\left( \frac{1}{a}\right)^x` ergibt sich aus der Beziehung :math:`a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \left( \frac{1}{a}\right)^x`. .. [#] Die Identität von :math:`y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)}` und :math:`y=-\log_{a}{(x)}` lässt sich mit Hilfe der folgenden beiden Beziehungen zeigen: * Als Spezialfall der :ref:`Basisumrechnung ` von Logarithmen gilt für beliebige erlaubte Zahlen :math:`a` und :math:`b`: .. math:: \log_{a}{(b)} = \frac{\log_{b}{(b)}}{\log_{b}{(a)}} = \frac{1}{\log_{b}(a)}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1} Hierbei wird die Identität :math:`\log_{b}{(b)} = 1` genutzt. * Ein Quotient als Argument eines Logarithmus kann als :ref:`Differenz zweier Logarithmen ` dargestellt werden. Somit gilt: .. math:: \log_{b}{\left( \frac{1}{a}\right)} = \log_{b}{(1)} - \log_{b}{(a)} = 0 - \log_{b}{(a)} = - \log_{b}{(a)} Hierbei wird die Identität :math:`\log_{b}{(1)} = 0` genutzt. Insgesamt gilt somit: .. math:: \log_{\frac{1}{a}}{(b)} = \frac{1}{\log_{b}{\left( \frac{1}{a}\right)}} = - \frac{1}{\log_{b}{(a)}} = - \log_{a}{(b)}\quad \checkmark