Integralrechnung

Um Flächen zu bestimmen, die von krummlinigen Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen werden, entwickelte der Mathematiker Bernhard Riemann die Integralrechnung. Der Grundgedanke hinter den so genannten “Riemann-Summen” ist, dass sich jede derartige Fläche in eine Vielzahl von schmalen Rechtecken zerlegen lässt, wobei die Grundseiten aller Rechtecke auf der x-Achse liegen und die Höhen der Rechtecke durch die Funktionswerte an den jeweiligen Stellen gegeben sind. Die Summe der Flächen aller Rechtecke ergibt dann die Fläche zwischen dem Funktionsgraph und der x-Achse.

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Untersumme und Obersumme als Näherungen für den Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse.

Je nachdem, ob man als Höhe jedes Rechtecks jeweils den kleineren oder größeren der Funktionswerte beider Randpunkte wählt, füllen die Rechtecke die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen entweder nicht ganz aus, oder sie ragen stets an einer Seite über den Funktionsgraphen hinaus. Die Summen der so gewählten Rechteck-Flächen werden dementsprechend als Untersumme U bzw. Obersumme O bezeichnet. Für n Unterteilungen mit einer Breite von jeweils \Delta x gilt:

U _{\mathrm{n}}(x) = \sum_{i=1}^{n} f(x _{\mathrm{i-1}})  \cdot  \Delta x \\
O _{\mathrm{n}}(x) = \sum_{i=1}^{n} f(x _{\mathrm{i}}) \cdot  \Delta x {\color{white}_{-1}}

Für die Fläche A_{\mathrm{[x_1; x_2]}} \left( f(x) \right) unterhalb des Funktionsgraphen f zwischen den zwei Punkten x_1 und x_2 gilt somit:[1]

U _{\mathrm{n}}(x) \; \le \; A _{\mathrm{[x_1;x_2]}}\left( f(x)\right) \;
\le \; O _{\mathrm{n}}(x)

Unterteilt man bei einer beliebigen Funktion den Bereich zwischen x_1 und x_2 in eine größere Zahl an schmaleren Rechtecken, so lassen sich die Abweichungen der einzelnen Rechteckshöhen von den jeweiligen Funktionswerten verringern und damit die Werte der Unter- und Obersumme angleichen. Bei einer (theoretischen) Unterteilung in unendlich viele, dafür beliebig schmale Rechtecke haben die Unter- und Obersumme den gleichen Grenzwert, der mit der gesuchten Fläche A_{\mathrm{[x_1; x_2]}} \left( f(x) \right) identisch ist.

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Integral als Riemann-Summe für infinitessimal kleine Unterteilungen von [x1;x2].

Mathematisch wird die Annäherung der Ober- und Untersumme bei unendlich vielen, infinitessimal kleinen Unterteilungen durch das so genannte Integralzeichen \int_{}^{} anstelle von \sum_{}^{} gekennzeichnet. Zudem wird anstelle von \Delta x für die Breite jedes einzelnen Rechtecks \mathrm{d} x geschrieben:

\lim _{n \to \infty} U _{\mathrm{n}}(x) = \int_{x_1}^{x_2} f(x) \cdot \mathrm{d}
x = \lim _{n \to \infty} O _{\mathrm{n}}(x)

Der Ausdruck \int_{x_1}^{x_2} f(x) \cdot \mathrm{d} x wird dabei Integral von f(x) über [x_1 ; x_2] genannt. Die Funktion f(x) wird als Integrand und x_1 bzw. x_2 als Integrationsgrenzen bezeichnet.

Integrierbarkeit und Stammfunktion

Ein Integral \int_{a}^{b} f(x) \cdot \mathrm{d} x einer Funktion f(x) über das Intervall [a;b] lässt sich immer dann eindeutig berechnen, wenn die Funktion stetig ist, der Funktionsgraph also keine Sprünge aufweist. Das gleiche gilt für bereichsweise definierte Funktionen, die in den einzelnen Bereichen Stetigkeit aufweisen und beschränkt sind, also keine Unendlichkeitsstellen besitzen. Jede Funktion, die diese Bedingung erfüllt, wird integrierbar genannt.

Der Wert eines Integrals \int_{a}^{b} f(x) \cdot \mathrm{d} x lässt sich am einfachsten berechnen, wenn man zur gegebenen Funktion f(x) eine so genannte “Stammfunktion” F(x) findet. Eine solche Stammfunktion hat die Eigenschaft, dass ihre erste Ableitung F'(x) gerade der ursprünglichen Funktion f(x) entspricht. Als Zusammenhang zwischen der Stammfunktion und der zu integrierenden Funktion gilt für alle x \in [a;b] also:

(1)F'(x) = f(x)

Die Integration kann also als Umkehrung der Differentiation angesehen werden. Während jedoch das Ableiten einer Funktion stets ein eindeutiges Ergebnis liefert, ist die Bestimmung der Stammfunktion nicht eindeutig: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist jede Funktion F(x) + C mit einer additiven Konstante C \in \mathbb{R} ebenfalls eine Stammfunktion von f(x), da ein konstanter Term beim Ableiten stets den Wert Null ergibt. Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird “unbestimmtes Integral” genannt und mittels \int_{}^{} f(x) \cdot \mathrm{d} x, also ohne konkrete Integrationsgrenzen geschrieben.

Anfangsbedingung und Integralfunktion

Aus der Menge aller Stammfunktionen soll üblicherweise eine bestimmt werden, die durch einen gegebenen Punkt P (x_1, y_1) verläuft. Eine solche Forderung nennt man Anfangsbedingung.

Soll das Integral von einer festen Grenze a bis zu einer variablen Grenze x verlaufen, so ist das Integral gleich Null, wenn x = a ist, da in diesem Fall keine Fläche aufgespannt wird. Die Anfangsbedingung besteht somit darin, dass die Stammfunktion an der Stelle x=a eine Nullstelle aufweisen muss. Es muss also gelten:

F(a) + C  = 0 \quad \Leftrightarrow \quad C = - F(a)

Dieser Gedanke folgt daraus, dass man F(x) = \int_{a}^{x} f(x) \cdot
\mathrm{d} x als so genannte Integralfunktion interpretiert, die jeweils den Wert des Integrals liefert, wenn die untere Grenze a und die oberen Grenze x entspricht. Mit der obigen Anfangsbedingung erhält man somit als Wert für das bestimmte Integral über die Funktion f(x) von a bis x=b:

(2)\int_{a}^{b} f(x) \cdot \mathrm{d} x = F(b) - F(a)

Als Kurzschreibweise ist hierbei F(x)\big | _{\mathrm{a}} ^{b} := F(x) -
F(a) üblich. Möchte man das Integral über eine Funktion f(x) zwischen zwei bestimmten Grenzen a und b berechnen, so genügt es also, die Stammfunktion zu bestimmen, die Werte a und b in die Stammfunktion einzusetzen und die Differenz beider Werte zu berechnen:

(3)\int_{a}^{b} f(x)  \cdot  \mathrm{d}x = F(x) \big | _{\mathrm{a}}^{b} = F(b) -
F(a)

Die Schwierigkeit bei der Integralrechnung besteht folglich darin, eine Stammfunktion F(x) zur gegebenen Funktion f(x) zu finden.

Grundintegrale

Von den elementaren Funktionen sowie einigen Kombinationen dieser Funktionen gibt es unmittelbare Lösungsformeln zur Bestimmung der jeweiligen Stammfunktion.

Integralregeln für Potenz- und Wurzelfunktionen

  • Ist die Funktion f(x) = c mit c \in \mathbb{R} eine konstante Funktion, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (4)f(x) = c \quad \Leftrightarrow \quad F(x) = c \cdot x + C

    Anschaulich entspricht der Wert von c \cdot x der Fläche des Rechtecks mit der Breite c, das zwischen der konstanten Funktion und der x-Achse liegt und die Länge x hat.

  • Ist die Funktion f(x) = x^n eine allgemeine Potenzfunktion mit der Einschränkung n \ne -1, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (5)f(x) = x^n \quad \Leftrightarrow \quad F(x) = \frac{x ^{n+1}}{n+1} + C

    Dieses Ergebnis folgt daraus, dass die Ableitung der Funktion x ^{n+1} dem Term (n+1) \cdot x^n entspricht. Die ursprüngliche Funktion f(x) = x^n unterscheidet sich lediglich um den Faktor \frac{1}{n+1} von diesem Ableitungsterm.

    Ist beispielsweise n=1, also f(x) = x, so ist F(x) =
\frac{x^2}{2} eine Stammfunktion. Anschaulich entspricht der Term \frac{1}{2} \cdot x^2 der Fläche eines Dreiecks, das zwischen dem Graphen f(x)=x und der x-Achse liegt; diese Fläche ist gleich der Hälfte der Quadratfläche von f(x) \cdot x = x \cdot x = x^2.

    Integrale von linearen Funktionen treten in den Naturwissenschaften häufig auf, beispielsweise gilt für die zurückgelegte Wegstrecke s bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung {\color{white}1}v = a \cdot t \quad \Longleftrightarrow \quad s =
\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + s_0, wobei in diesem Fall die Integrationsvariable die Zeit t ist. Weitere Beispiele sind die Bewegungs- und Spannenergie, usw.

    Die obige Integrationsregel (5) gilt wegen des Zusammenhangs \sqrt{x} = x ^{\frac{1}{2}} auch für Wurzelfunktionen. Beispielsweise gilt im Fall f(x) = \sqrt{x} = x ^{\frac{1}{2}} mit n = \frac{1}{2}:

    f(x) = \sqrt{x} = x ^{\frac{1}{2}} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) =
\frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{x^3}}{3}

  • Ist f(x) = x ^{-1} = \frac{1}{x} mit x \ne 0, so ist eine Anwendung der obigen Regel (5) nicht möglich. Für diesen Sonderfall gilt vielmehr folgender Zusammenhang:

    f(x) = \frac{1}{x} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = \ln{(x)} + C

    Die Stammfunktion der Hyperbelfunktion f(x) =
\frac{1}{x} ist also die natürliche Logarithmusfunktion F(x) = \ln{(x)}.[2]

Integralregeln für Exponentialfunktionen

  • Ist f(x) = e^x mit e = 2.7182\ldots als Eulerscher Zahl, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (6)f(x) = e ^{x} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = e^x + C

    Ebenso wie die natürliche Exponentialfunktion beim Ableiten unverändert bleibt, so bleibt sie auch beim Integrieren unverändert.

  • Ist f(x) = a^x mit a > 0 und a \ne 1, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (7)f(x) = a ^{x} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{\ln{(a)}}
\cdot a ^{x}

    Auch die allgemeine Exponentialfunktion ergibt beim Integrieren wieder eine Exponentialfunktion, wobei der Vorfaktor \frac{1}{\ln{(a)}} berücksichtigt werden muss.

Integralregeln für trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen

  • Ist f(x) = \sin{(x)}, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (8)f(x) = \sin{(x)} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = -\cos{(x)} + C

    Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die Ableitung der Cosinusfunktion der negativen Sinusfunktion entspricht.

  • Ist f(x) = \cos{(x)}, so gilt für die Stammfunktion F(x):

    (9)f(x) = \cos{(x)} \quad \Longleftrightarrow \quad F(x) = +\sin{(x)} + C

    Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die Ableitung der Sinusfunktion der Cosinusfunktion entspricht.

Zusammenfassung wichtiger Integrationsregeln

Für jedes Integral gelten folgende Eigenschaften:

  • Vertauscht man die obere und die untere Integrationsgrenze, so ändert das Integral sein Vorzeichen:

    (10)\int_{x_1}^{x_2} f(x) \cdot \mathrm{d} x = - \int_{x_2}^{x_1} f(x) \cdot
\mathrm{d}x

    Der Grund dafür liegt darin, dass hierbei die Breiten aller Rechtecke \mathrm{d} x _{\mathrm{i}} = (x _{\mathrm{i+1}} - x _{\mathrm{i}}) für x
_{\mathrm{i+1}} < x _{\mathrm{i}} ein negatives Vorzeichen bekommen und somit bei der Auswertung des Integrals über gleich große, aber negative Werte summiert wird.

  • Ist die obere Integrationsgrenze x_2 gleich der unteren Grenze x_1, so ist das Integral für jede beliebige Funktion f(x) gleich Null:

    (11)\int_{x_1}^{x_1} f(x)  \cdot  \mathrm{d}x  = 0

    Anschaulich lässt sich dies dadurch erklären, dass die Fläche zwischen x_1 und x_1 eine Breite von Null hat.

  • Jedes Integral lässt sich auf folgende Weise in zwei Teilintegrale zerlegen:

    (12)\int_{x_1}^{x_3} f(x)  \cdot \mathrm{d}x =
\int_{x_1}^{x_2} f(x)  \cdot \mathrm{d}x +
\int_{x_2}^{x_3} f(x)  \cdot \mathrm{d}x

    Ist x_1 < x_2 < x_3, so ist umittelbar einleuchtend, dass die Fläche zwischen x_1 und x_3 gleich der Summe der Teilflächen sein muss, da sich das Intervall [x_1 ; x_3] in zwei Teilintegrale [x_1;x_2] \cup [x_2;x_3] zerlegen lässt und die entsprechenden Teilsummen gebildet werden können.

    Die Regel gilt jedoch auch dann, wenn x_2 außerhalb von [x_1;x_3] liegt; ist beispielsweise x_2 > x_3, so wird die – gegenüber dem Gesamtintegral – mit dem ersten Teilintervall zusätzlich addierte Fläche aufgrund der Vorzeichenregel (10) durch das zweite (negative) Teilintegral wieder subtrahiert.

  • Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Summe zweier Funktion f_1 und f_2 darstellen, so ist das Ergebnis gleich der Summe der Integrale beider Funktionen:

    (13)\int_{x_1}^{x_2} \big(f_1(x) + f_2(x)\big) \cdot \mathrm{d} x =
\int_{x_1}^{x_2} f_1 (x) \cdot \mathrm{d} x + \int_{x_1}^{x_2} f_2(x)
\cdot \mathrm{d} x

    Die obige Regel entspricht formal dem Distributivgesetz.

  • Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Produkt einer Funktion f(x) und eines konstanten Faktors c darstellen, so kann dieser vor das Integral gezogen werden:

    (14)\int_{x_1}^{x_2} c \cdot f(x) \cdot \mathrm{d} x = c \cdot
\int_{x_1}^{x_2} f(x)  \cdot  \mathrm{d}x

    Die obige Regel entspricht dem Assoziativgesetz der Multiplikation. Anschaulich kann man sich jeden Funktionswert und damit die Höhe aller zu addierenden Rechtecke um den Faktor c gestreckt denken.

  • Erfüllen zwei Funktionen f_1(x) und f_2(x) für jeden beliebigen Wert x innerhalb des Intervalls [x_1;x_2] die Bedingung f_1(x) < f_2(x), so gilt:

    f_1(x) < f_2(x) \text{ für alle } x \in [x_1;x_2] \quad \Leftrightarrow
\quad \int_{x_1}^{x_2} f_1(x) < \int_{x_1}^{x_2} f_2(x)

Bestimmung der Fläche zwischen zwei Graphen

Mittels der Integralrechnung kann nicht nur die Fläche zwischen einem Funktionsgraph und der x-Achse, sondern auch die zwischen zwei Funktionsgraphen f_1(x) und f_2(x) in einem Intervall [a;b] eingeschlossene Fläche berechnet werden. Verläuft der Graph von f_2(x) oberhalb des Graphen von f_1(x), gilt also f_2(x)
> f_1(x) für alle x \in [a;b], so entspricht die gesuchte Fläche folgendem Integral:[3]

(15)\int_{a}^{b} f_2(x) \cdot \mathrm{d} x - \int_{a}^{b}  f_1(x) \cdot
\mathrm{d} x = \int_{a}^{b} \big(f_2(x) -f_1(x)\big) \cdot \mathrm{d} x

Schneiden sich Schnittpunkte zweier Funktionen, so müssen zunächst die Schnittstellen berechnet werden; anschließend kann einzeln von Schnittstelle zu Schnittstelle integriert werden. In jedem einzelnen Teilintervall wird dabei die Funktion mit den niedrigeren Funktionswerten von der Funktion mit den höheren Funktionswerten subtrahiert.

Integrationsmethoden

In vielen Fällen, insbesondere bei zusammengesetzten Funktionen, lässt sich eine Integration nicht mittels der oben genannten Grundintegrale durchführen. In solchen Fällen können allerdings oftmals weitere Integrationsmethoden angewendet werden.

Partielle Integration

Die Methode der partiellen Integration entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der Produktregel bei Ableitungen:

(16)\int_{a}^{b} f_1(x) \cdot f_2'(x) = \Big(f_1(x) \cdot
f_2(x)\Big)\Big|_{\mathrm{a}}^b - \int_{a}^{b} f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot
\mathrm{d} x

Diese Methode kann immer dann genutzt werden, wenn die zu integrierende Funktion als Produkt zweier Teilfunktionen geschrieben werden kann. Lässt sich eine dieser Funktionen leicht integrieren, so setzt man diese als f_2'(x); die andere Teilfunktion, die sich möglichst leicht ableiten lassen sollte, wird als f_1(x) gesetzt. Das Integral kann dann berechnet werden, indem man zunächst als Zwischenergebnis das Produkt von f_1(x) und der Stammfunktion von f_2'(x) bildet, die obere und untere Integrationsgrenze als x-Werte einsetzt und beide Werte voneinander subtrahiert. Anschließend muss das Integral \int_{a}^{b} f_1'(x) \cdot
f_2(x) \cdot \mathrm{d} x berechnet werden und dessen Wert vom Zwischenergebnis subtrahiert werden.

Die Methode der partiellen Integration wird insbesondere dann verwendet, wenn eine der beiden Teilfunktionen eine Potenzfunktion x^n mit n \in
\mathbb{N} ist. Bei einer derartigen Funktion ist die n-te Ableitung ein konstanter Wert, der beim Integrieren gemäß Gleichung (14) als konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden kann. Gegebenenfalls muss folglich die Methode der partiellen Integration wiederholt angewendet werden (maximal n mal), um die jeweils auf der rechten Seite stehenden (Teil-)Integrale der Form \int_{a}^{b}
f_1'(x) \cdot f_2(x) \cdot \mathrm{d} x schrittweise zu berechnen.

Integration durch Substitution

Die Methode der Integration durch Substitution entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der Kettenregel bei Ableitungen:

\int_{}^{} f_1\big(f_2(x)\big) \cdot f_2'(x) \cdot \mathrm{d} x =
\int_{}^{} f_1(z) \cdot \mathrm{d} z

Hierbei wurde z = f_2(x) geschrieben. Man kann mit dieser Substitution nach einer Stammfunktion F_1(z) von f_1(z) suchen, in gleicher Weise als würde man lediglich z anstelle von x schreiben und somit eine Stammfunktion F_1(x) zu f_1(x) suchen. Hat man eine solche Stammfunktion F_2(z) gefunden, so genügt es, bei dieser Stammfunktion wiederum z durch den Ausdruck f_2(x) zu ersetzen.

Möchte man mit dieser Methode ein bestimmtes Integral von a bis b berechnen, so müssen allerdings auch die Integralgrenzen umgerechnet werden. Es gilt:

\int_{a}^{b} f_1\big(f_2(x)\big) \cdot f_2'(x) \cdot \mathrm{d} x =
\int_{f_2(a)}^{f_2(b)} f_1(z) \cdot \mathrm{d} z

Da f_2(x) bekannt ist, müssen lediglich die Integrationsgrenzen in diese Funktion eingesetzt werden, um die neuen Integrationsgrenzen zu erhalten.

Integrale der Form \int_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)}

Soll das Integral einer zusammengesetzten Funktion berechnet werden, deren Zähler der Ableitung des Nenners entspricht, so kann folgende Regel verwendet werden:

\int_{}^{} \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right) \cdot \mathrm{d} x =
\ln{(|f(x)|)} + C

Hat die Funktion f(x) im Intervall [a;b] keine Nullstelle, so gilt für das bestimmte Integral über f(x) von a bis b:

\int_{a}^{b} \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right) \cdot \mathrm{d} x =
\ln{(|f(x)|)}\Big | _{\mathrm{a}}^b

Weitere Integrale können Integraltabellen entnommen werden, beispielsweise Integraltabelle (HS Esslingen).


Anmerkungen:

[1]Das Gleichheitszeichen in der obigen Gleichung gilt nur für konstante y-Werte, also Funktionen der Form y = f(x) = \text{konst.}
[2]Auch in diesem Fall ist die Integration die Umkehrung der Differentiation, denn die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion f(x) =
\ln{(x)} ist gerade f'(x) = \frac{1}{x}.
[3]Formal ist Gleichung (15) zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen mit Gleichung (13) als Distributivgesetz der Integralrechnung identisch.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.