Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln

Im Folgenden sind die wichtigsten Ableitungsregeln der vorherigen Abschnitte nochmals kurz zusammengefasst.

Allgemeine Ableitungsregeln

Die folgenden Ableitungsregeln sind allgemein für beliebige Funktionen gültig:

  • Lässt sich eine Funktion f(x) als Summe einer anderen Funktion f_1(x) mit einem konstanten Summanden c darstellen, so ist ihre Ableitungsfunktion f'(x) mit der Ableitung f_1'(x) der anderen Funktion identisch:

    (1)f_1(x) = f_2(x) + c \quad \Rightarrow \quad f_1'(x) = f_2'(x) {\color{white} +c}

    Insbesondere ist die Ableitung beziehungsweise Steigung einer konstanten Funktion f(x) = c gleich Null.

  • Lässt sich eine Funktion f_1(x) als Produkt einer anderen Funktion f_2(x) mit einem konstanten Faktor c darstellen, so entspricht ihre Ableitungsfunktion f_1'(x) derjenigen der anderen Funktion f_2(x), wenn diese mit dem gleichen Faktor c multipliziert wird.

    (2)f_1(x) = c \, \cdot \; f _2(x) \quad \Rightarrow \quad f_{1}'(x) = c \cdot f_{2}'(x)

Für jede beliebige Funktion f(x), die man sich aus zwei Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x) zusammengesetzt denken kann, sind folgende Ableitungsregeln nützlich:

  • Additionsregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einer Summe zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f'(x):

    (3)\left[ f_1(x) + f_2(x) \right]' = f_1'(x) + f_2'(x) {\color{white} \quad \;\; \ldots}

  • Produktregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einem Produkt zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (4){\color{white} \ldots \quad \qquad} \left[ f_1(x) \, \cdot \; f_2(x) \right]' = f_1'(x) \, \cdot \; f_2(x) \, + \, f_2'(x) \, \cdot \; f_1(x)

  • Quotientenregel:

    Besteht eine Funktion f(x) aus einem Quotienten zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (5){\color{white} \ldots \qquad \qquad \quad \;\;\, } \left[ \frac{f_1(x)}{f_2(x)} \right]' = \frac{f_1'(x) \, \cdot \; f_2(x) \, - \, f_2'(x) \, \cdot \; f_1(x)}{ \left( f_2(x) \right)^2}

  • Kettenregel

    Besteht eine Funktion f(x) aus einer Verkettung zweier Teilfunktionen f_1(x) und f_2(x), so gilt für ihre Ableitung f(x):

    (6)\left[ f_1\big(f_2(x)\big) \right]' = f_1'\big(f_2(x)\big) \, \cdot \; f_2'(x)

    Hierbei wird zunächst die Ableitung f_1' der äußeren Funktion gebildet, wobei die innere Funktion unverändert gelassen wird. Der resultierende Term wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Satz von Rolle und Mittelwertsatz

Ist eine Funktion f(x) in einem Intervall ]a;b[ stetig differenzierbar und gilt zudem f(a) = f(b), so existiert mindestens eine Stelle x_0 innerhalb des Intervalls, für die f'(x_0) = 0 gilt. Dieser Zusammenhang wird „Satz von Rolle“ genannt.

Anschaulich bedeutet der Satz von Rolle, dass es entlang eines stetig verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Punkt gibt, an dem der Graph eine waagrechte Tangente (Steigung Null) besitzt; insbesondere muss sich damit zwischen zwei Nullstellen einer stetigen Funktion stets eine Extremstelle befinden.

Der Satz von Rolle kann auch allgemeiner formuliert werden: Ist eine Funktion f(x) in einem Intervall ]a ;\, b[ stetig differenzierbar, so existiert mindestens eine Stelle x_0 innerhalb des Intervalls, für die gilt:

f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Dieser so genannte Mittelwertsatz besagt anschaulich, dass es entlang eines stetig verlaufenden Graphen zwischen zwei Kurvenpunkten stets (mindestens) einen Punkt x_0 gibt, dessen Tangentensteigung gleich der Steigung der durch f(a) und f(b) verlaufenden Sekante ist. Der Mittelwertsatz kann somit als Erweiterung des Satzes von Rolle aufgefasst werden, da er diesen für f(a) = f(b) als Sonderfall enthält.

Ableitungsregeln wichtiger Funktionen

Bezeichnung f(x) f'(x) Bedingung(en)
Potenzfunktion x^n n \cdot x ^{n-1} n \in \mathbb{R}
Exponentialfunktion a^{x} a^{x} \cdot \ln{(a)} a > 0, a \ne 1
Natürliche Exponentialfunktion e^{x} e^{x}  
Logarithmusfunktion \log{(x)} \frac{1}{x \cdot \ln{(a)}} x > 0,\, a > 0,\, a \ne 1
Natürliche Logarithmusfunktion \ln{(x)} \frac{1}{x} x > 0
Sinusfunktion \sin{(x)} \cos{(x)}  
Cosinusfunktion \cos{(x)} -\sin{(x)}  
Tangensfunktion \tan{(x)} \frac{1}{\cos^2{(x)}} = 1 + \tan^2{(x)} x \ne (2\!\cdot\!n + 1) \cdot \frac{\pi}{2} mit n \in \mathbb{N}
Cotangensfunktion \cot{(x)} -\frac{1}{\sin ^2{(x)}} = -\left(1 + \cot^2{(x)}\right) x \ne n \cdot \pi mit n \in \mathbb{N}