Kurvendiskussion¶

Als Kurvendiskussion bezeichnet man eine analytische Untersuchung einer gegebenen Funktion, um anhand charakteristischer Eigenschaften auf ihren Verlauf schließen zu können.

Dabei geht man, unabhängig von der Art der Funktion, immer nach einem im Wesentlichen gleichen Schema vor. Dieses Schema soll im Folgenden anhand der Beispielfunktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{5 \cdot x}$ im Detail vorgestellt werden.

1.: Bestimmung des Definitionsbereichs

Zunächst muss überprüft werden, für welche $x$ -Werte die Funktion definiert ist; beispielsweise muss ausgeschlossen werden können, dass durch Null dividiert wird.

Die $x$ -Werte dürfen zudem nicht außerhalb des Definitionsbereichs der jeweiligen Funktion liegen, beispielsweise muss darauf geachtet werden, dass die Argumente von Wurzel- oder Logarithmusfunktionen nicht negativ werden. Potenzfunktionen der Form $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ , ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen sowie die Sinus- und Cosinusfunktion sind für alle reelle Zahlen definiert, bei ihnen gilt also $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ .

Der Definitionsbereich einer zusammengesetzten Funktion ist gleich der Schnittmenge der Definitionsbereiche aller Teilfunktionen.

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ hat an der Stelle $x = 0$ eine Definitionslücke, da für diesen Wert der Nenner der Funktion gleich Null wird. Für alle anderen $x$ -Werte ist die Funktion definiert, es ist also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ .

2.: Bestimmung des Verhaltens an den Rändern des Definitionsbereichs

Sofern der Definitionsbereich der zu untersuchenden Funktion es zulässt, werden als nächstes die Grenzwerte der Funktion für unendlich große positive und negative $x$ -Werte untersucht. Bei Wurzel- und Logarithmusfunktionen allerdings kann beispielsweise nur der Grenzwert für unendlich große positive $x$ -Werte bestimmt werden, da diese beiden Funktionstypen nur für positive reelle Zahlen definiert sind.

Hat die Funktion Definitionslücken, so sind auch die Grenzwerte der Funktion an diesen Stellen zu bestimmen.

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ geht für sehr große positive $x$ -Werte gegen Unendlich, da in diesem Fall sowohl der Zähler wie auch der Nenner positive Werte annehmen, aber der Zähler schneller wächst als der Nenner. Es gilt also:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x} \right) = + \infty$

Für sehr große negative $x$ -Werte geht die Funktion gegen minus Unendlich, da in diesem Fall die höchste Potenz des Zählers einen positiven Wert, der Nenner aber einen negativen Wert liefert, und der Zähler schneller wächst als der Nenner. Es gilt also:

$\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x} \right) = - \infty$

Die Funktion hat zudem $x=0$ als Definitionslücke. Um die Grenzwerte für $x \to 0$ zu berechnen, kann man folgenden Trick nutzen: An jeder Stelle $x \ne 0$ kann im Funktionsterm $x$ gekürzt werden, da $x$ als gemeinsamer Faktor in jedem Zählerterm enthalten ist. Somit gilt:

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( x^3 - 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x\right) = 0$

Sowohl für sehr kleine negative wie für sehr kleine positive $x$ -Werte gehen alle Terme beim betrachteten Grenzwert gegen Null. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert identisch sind, ist die Funktion „stetig behebbar“: Man könnte die Funktion abschnittsweise mit $f(x) = 0$ für $x=0$ und $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ für $x \ne 0$ definieren, um eine „nahtlose“ Funktion zu erhalten, die für alle reellen Zahlen definiert ist.

Die Regel von L’Hospital

In manchen Fällen erhält man bei der Bestimmung des Grenzwerts an einer Definitionslücke $x_0$ ein nicht bestimmtes Ergebnis, beispielsweise bei der Funktion $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$ . Diese Funktion hat an der Stelle $x_0 = 0$ eine Definitionslücke, da der Nenner an dieser Stelle den Wert Null annimmt; gleichzeitig ist allerdings auch der Zähler $f_1(x) = \sqrt{x}$ an dieser Stelle gleich Null. In derartigen Fällen, wenn sich ein Grenzwert der Form $\frac{\text{\enquote{0}}}{\text{\enquote{0}}}$ ergibt, kann die sogenannte „Regel von L’Hospital“ angewendet werden:

$\lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \frac{\text{\enquote{0}}}{\text{\enquote{0}}} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f_1'(x)}{f_2'(x)}$

Für das oben genannte Beispiel $f(x) = \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \frac{\sqrt{x}}{x}$ gilt:

$f_1'(x) &= \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \quad \text{und} \\[4pt] f_2'(x) &= \;\left(x ^1 \right)'\; = 1$

Für die Stelle $x_0 = 1$ gilt somit $\frac{f_1'(1)}{f_2'(1)} = \frac{1}{1} = 1$ , der Grenzwert der Funktion für $x \to x_0$ ist also gleich $1$ .

Haben also zwei Funktionen $f_1(x)$ und $f_2(x)$ an einer Stelle $x_0$ beide den Grenzwert $0$ , so besagt die Regel von L’Hospital, dass in diesem Fall der Grenzwert gleich dem Quotienten der Ableitungen von $f_1(x)$ und $f_2(x)$ ist, sofern beide Funktionen differenzierbar sind und die Ableitung der Nennerfunktion an der Stelle $x_0$ nicht gleich Null ist.

Die Regel von L’Hospital kann ebenfalls angewendet werden, wenn $\lim_{x \to \infty} f_1(x) = \lim_{x \to \infty} f_2(x) = 0$ ist:

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \frac{\text{\enquote{0}}}{\text{\enquote{0}}} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1'(x)}{f_2'(x)}$

Weiterhin gilt die Regel von L’Hospital auch, wenn die Grenzwerte von $f_1(x)$ und $f_2(x)$ beide für $x \to x_0$ oder $x \to \pm \infty$ gegen Unendlich gehen:

$\lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} &= \frac{\text{\enquote{$\infty$}}}{\text{\enquote{$\infty$}}} \quad \Rightarrow \quad \;\;\lim_{x \to x_0} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \;\;\lim_{x \to x_0} \frac{f_1'(x)}{f_2'(x)} \\[6pt] \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} &= \frac{\text{\enquote{$\infty$}}}{\text{\enquote{$\infty$}}} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1(x)}{f_2(x)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f_1'(x)}{f_2'(x)}$

Die Regel von L’Hospital ist somit in vielen Fällen nützlich, wenn ein Grenzwert auf andere Weise nicht bestimmt werden kann.

3.: Untersuchung auf Symmetrie

Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur $x$ -Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ -Werte des Definitionsbereichs gilt. Dies ist der Fall, wenn alle im Funktionsterm auftretenden Potenzen gerade sind.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung $(0,0)$ , wenn $-f(-x) = f(x)$ für alle $x$ -Werte des Definitionsbereichs gilt. Dies ist der Fall, wenn alle im Funktionsterm auftretenden Potenzen ungerade sind.

Enthält eine Funktion Terme mit sowohl geraden wie auch ungeraden Exponenten, liegt keine Symmetrie vor.

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ hat Terme mit sowohl geraden wie auch ungeraden Exponenten, sie ist somit nicht symmetrisch.

4.: Bestimmung von Nullstellen

Als Nullstellen bezeichnet man diejenigen $x$ -Werte, deren zugehörige Funktionswerte gleich Null sind, für die also $f(x) = 0$ gilt.

Beispiel:

Bei der Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ als gebrochen-rationaler Funktion entsprechen die Nullstellen den Nullstellen des Zählers. Es muss somit geprüft werden, für welche $x$ -Werte der Term $x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2$ gleich Null ist, also folgende Gleichung gelöst werden:

$x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2 = 0$

Auf der linken Seite kann $x^2$ als gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Es folgt:

$x^2 \cdot \left(x^2 - 3 \cdot x^1 + 2 \right) = 0$

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Es wäre somit $x=0$ eine Nullstelle des Zählers, doch dieser Wert ist nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten. Zu untersuchen bleibt, für welche $x$ -Werte der zweite Faktor $x^2 - 3 \cdot x + 2$ gleich Null wird:

$x^2 - 3 \cdot x + 2 = 0$

Diese Gleichung kann mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Mit $a = 1$ , $b=-3$ und $c = 2$ folgt:

$x_{\mathrm{1,2}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Die Funktion hat also die zwei Nullstellen $x_1 = 1$ und $x_1 = 2$ .

5.: Bestimmung von Extremstellen

Bei der Untersuchung von Extremstellen wird geprüft, für welche $x$ -Werte der Funktionsgraph Hochpunkte, Tiefpunkte oder Terrassenpunkte besitzt. Hierzu muss die erste Ableitung der Funktion bestimmt und gleich Null gesetzt werden. Um zu prüfen, um welchen Extremstellen-Typ es sich handelt, kann man zu jeder Extremstelle $x_0$ einen etwas kleineren und einen etwas größeren $x$ -Wert in die erste Ableitungsfunktion $f'(x)$ einsetzen und aus den erhaltenen Steigungswerten den Krümmungsverlauf betrachten: Beispielsweise bedeutet eine erst positive und dann negative Steigung einen Hochpunkt an der Stelle $x_0$ .

Eine zweite Möglichkeit zur Bestimmung des Nullstellentyps bietet die zweite Ableitungsfunktion $f''(x)$ . Da man diese für eine Bestimmung der Wendepunkte ohnehin berechnen muss, kann man dies auch gleich an dieser Stelle tun und die $x$ -Werte der Extremstellen einsetzen. Ergibt sich für eine Stelle $x_0$ ein positiver Wert, so handelt es sich um einen Tiefpunkt, ergibt sich ein negativer Wert, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ergibt sich der Wert Null, so handelt es sich um einen Terrassenpunkt.[1]

Die zu den Extremstellen gehörenden Funktionswerte erhält man durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ .

Beispiel:

Für $x \ne 0$ kann die Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ als $\tilde{f}(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x)$ geschrieben werden. Die erste Ableitung dieser Funktion lautet:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( 3 \cdot x^2 - 6 \cdot x + 2\right)$

Diese (Ableitungs-)Funktion ist gleich Null, wenn der Term $3 \cdot x^2 - 6 \cdot x + 2$ gleich Null ist:

$3 \cdot x^2 - 6 \cdot x + 2 = 0$

Diese Gleichung kann mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Mit $a = 3$ , $b=-6$ und $c = 2$ folgt:

$x_{\mathrm{3,4}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}$

Die Funktion besitzt also die zwei Extremstellen $x_3 \approx 0,42$ und $x_4 \approx 1,58$ . Um zu überprüfen, um welche Art von Extremstellen es sich handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:

$f''(x) = \frac{1}{2} \cdot (6 \cdot x - 6)$

Für $x_3 \approx 0,42$ ergibt sich beim Einsetzen ein Wert kleiner als Null, die Funktion hat an dieser Stelle also einen Hochpunkt. Für $x_4 \approx 1,58$ ergibt sich beim Einsetzen ein Wert größer als Null, die Funktion hat an dieser Stelle also einen Tiefpunkt.

Ein Einsetzen von $x_3$ und $x_4$ in die Funktion $f(x)$ ergibt die zugehörigen Funktionswerte $f(x_3) \approx 0,19$ und $f(x_4) \approx -0,19$ .

6.: Bestimmung von Wendepunkten

Bei der Untersuchung hinsichtlich Wendepunkten wird geprüft, für welche $x$ -Werte die zweite Ableitung der Funktion gleich Null ist. Hat man eine (oder mehrere) solche Stelle $x_0$ gefunden, kann man anschließend durch Einsetzen eines etwas kleineren und eines etwas größeren $x$ -Werts in die zweite Ableitungsfunktion $f''(x)$ prüfen, ob die jeweiligen Ergebnisse ein unterschiedliches Vorzeichen besitzen. In diesem Fall handelt es sich tatsächlich um einen Wendepunkt, andernfalls nicht.

Beispiel:

Für $x \ne 0$ kann die Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ als $\tilde{f}(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^3 - 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x)$ geschrieben werden. Die zweite Ableitung dieser Funktion lautet:

$f''(x) = \frac{1}{2} \cdot (6 \cdot x - 6)$

Setzt man diese Funktionsgleichung gleich Null, so erhält man $6 \cdot x - 6 = 0$ oder $x=1$ als einzige Wendestelle des Funktionsgraphen.

Dass es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, kann durch Einsetzen beispielsweise der Werte $x=0$ und $x=2$ in die zweite Ableitung $f''(x)$ überprüft werden: Es ist $f''(0) = -3$ und $f''(2) = 3$ , die Krümmung ändert also bei $x=1$ ihr Vorzeichen, somit hat der Funktionsgraph dort eine Wendestelle.

Setzt man $x=1$ in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein, erhält man $f(1)=0$ . Die Funktion hat also einen Wendepunkt bei $(1,0)$ .

7.: Erstellung eines Funktionsgraphen

Die bis zu diesem Schritt im Rahmen der Kurvendiskussion erarbeiteten Ergebnisse reichen grundsätzlich aus, um den Verlauf des Funktionsgraphen qualitativ richtig zeichnen zu können; ergänzend können bei Bedarf einige weitere $x$ -Werte in die Funktion $f(x)$ eingesetzt werden, um weitere Punkte des Funktionsgraphen zu erhalten.

Beispiel:

Bei der Funktion $f(x) = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ sind nach den vorherigen Rechenschritten die Nullstellen, Extrem- und Wendestellen sowie das Verhalten im Unendlichen bekannt. Der Funktionsgraph sieht damit etwa so aus:

Funktionsgraph der Beispielfunktion $y = \frac{x^4 - 3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2}{2 \cdot x}$ .

SVG: Funktionsgraph (Beispielfunktion)

Das genannte Schema für Kurvendiskussionen lässt sich allgemein für beliebige Kombinationen elementarer Funktionen anwenden.

Anmerkungen:

[1]	Als einfache Merkregel kann man an die Normalparabel $f(x)=x^2$ denken. Deren erste Ableitung ist $f'(x) = 2 \cdot x$ , die zweite Ableitung ist $f''(x)=2$ . Die Normalparabel hat einen Tiefpunkt bei $x_0=0$ , wobei der Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle positiv ist.

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