Kraftwandler und Getriebe¶
Hebel¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Hebel.
Das Funktionsprinzip einer Balkenwaage beruht darauf, eine unbekannte Masse mit einer oder mehreren Massen bekannter Größe zu vergleichen. Da die Masse überall den gleichen Wert hat und die Gewichtskraft der unbekannten Masse in gleichem Maß vom Ort abhängt wie die der Vergleichs-Masse(n), funktioniert eine Balkenwaage an jeder beliebigen Stelle, also auch auf dem Mond.
Bei einer Federkraftwaage wird die Gewichtskraft einer unbekannten Masse mit der (bekannten) Spannkraft der Feder verglichen. Da auf dem Mond die Gewichtskraft der unbekannten Masse geringer ist, die Spannkraft der Feder jedoch gleich bleibt, zeigt eine Federkraftwaage auf dem Mond einen „falschen“ Wert an – die Skala müsste neu kalibriert werden.
Beim Öffnen einer Farbdose dient ein Schraubenzieher als Hebel. Die Länge des Kraftarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und dem Griff des Schraubenziehers. Die Länge des Lastarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und der Spitze des Schraubenziehers. Umso länger der Kraftarm im Vergleich zum Lastarm ist, desto weniger Kraft ist nötig, um den Deckel zu heben.
Beispiel:
Wenn der Abstand zwischen dem Dosenrand (der Drehachse) und Spitze des Schraubenziehers
und der Abstand zum Griff
beträgt, dann bewirkt eine Kraft
am Griff eine Kraft von
.
Damit die Balkenwaage als zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht ist, müssen die auf der linken und auf der rechten Seite wirkenden Drehmomente
und
gleich groß sein:
Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe
aufgelöst werden:
Die beiden wirkenden Kräfte
und
entsprechen jeweils den Gewichtskräften
der beiden an der Balkenwaage hängenden Lasten. Eingesetzt ergibt sich mit
und
:
Die zweite Last, deren Masse nur ein Viertel der ersten Last beträgt, muss somit vier mal so weit entfernt von der Drehachse aufgehängt werden, damit die Balkenwaage im Gleichgewicht ist.
Beim Unterarm handelt es sich um einen einseitigen Hebel. Das in der Hand im Abstand
vom Ellenbogen gehaltene Gewicht hat eine Gewichtskraft von
.
Das vom Gewicht bewirkte Drehmoment
muss durch die im Abstand
wirkende Kraft
des Muskels ausgeglichen werden. Da alle Kräfte senkrecht auf den Unterarm einwirken, muss gelten:
Der Muskel muss mit
somit eine sieben mal grössere Kraft aufbringen, als wenn das gleiche Gewicht bei vertikal gehaltenem Unterarm getragen würde.
Damit sich der Hebel im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der Drehmomente auf der linken Seite gleich der Summe der Drehmomente auf der rechten Seite des Hebels sein. Dies kann überprüft werden, indem man die jeweiligen Werte in die Drehmoment-Gleichung einsetzt und die erhaltenen Werte der Drehmomente miteinander vergleicht:
Die Drehmomente auf der linken und auf der rechten Seite sind gleich groß, der Hebel befindet sich somit im Gleichgewicht.
Schiefe Ebene¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Schiefe Ebene.
Entlang einer schiefen Ebene gilt als Kraftverhältnis:
Die Höhe
der schiefen Ebene sowie ihre Länge
sind gegeben, auch die Gewichtskraft
der Schubkarre ist bekannt. Löst man die obige Gleichung nach der Kraft
auf, so erhält man nach Einsetzen der gegeben Werte die gesuchte Kraft.
Die zum Schieben der Schubkarre nötige Kraft beträgt somit
.
Flaschenzüge und Rollen¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Flaschenzüge und Rollen.
Bei einem Flaschenzug mit
losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf
Seilstücke verteilt. Die nötige Zugkraft
am losen Seilende beträgt, von Reibungskräften abgesehen, folglich auch nur
der Gewichtskraft
der Last. Zur Masse
der Last muss allerdings die Masse
der losen Rollen hinzu addiert werden, da diese ebenfalls mit angehoben werden.
Anstelle
muss somit nur etwas mehr als ein Achtel des Kraftwertes, also
, aufgewendet werden. Gleichzeitig muss das Seil um die
-fache Weglänge, also um
, angehoben werden.
Bei einem Flaschenzug mit
losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf
tragende Seilstücke verteilt. Die Zugkraft
am losen Seilende kann entsprechend, wenn keine Reibungskräfte auftreten und das Gewicht des Flaschenzugs vernachlässigbar ist, auch eine
-fach höhere Last
anheben.
Eine
schwere Person kann somit mit Hilfe des Flaschenzugs eine Last mit einer Masse von maximal
anheben.
Bei einem Potenzflaschenzug wird die zum Anheben der Last nötige Kraft an jeder losen Rolle halbiert. Bei
Rollen ist – sofern man ihr Eigengewicht und die Reibung vernachlässigen kann – zum Anheben einer Last mit einem Gewicht von
somit nur folgende Kraft
nötig:
Die zum Anheben nötige Kraft beträgt also mindestens
. Berücksichtigt man das Eigengewicht
der einzelnen Rollen, so muss dieser Betrag an jeder losen Rolle zur jeweiligen Last hinzuaddiert werden.
Zum Anheben der Last ist in diesem Fall, wie in der obigen Abbildung gezeigt, eine Kraft von
nötig.
Zahnräder und Getriebe¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Zahnräder und Getriebe.
Die Kurbel und das vordere Zahnrad sind fest miteinander verbunden, ebenso das hintere Zahnrad und die Felge des Hinterrads. In diesen beiden Teile-Kombinationen sind die wirkende Drehmomente jeweils gleich. Somit kann als zunächst die Kraft
berechnet werden, die das vordere Zahnrad auf die Kette ausübt. Für das Drehmoment, das der Fahrer auf die Kurbel ausübt, gilt:
Das gleiche Drehmoment tritt auch im vorderen Zahnrad auf; da es jedoch einen kleineren Radius
als die Kurbel hat, muss die auf die Kette wirkende Kraft
entsprechend größer sein:
Auf die Kette wird somit eine Zugkraft von
ausgeübt. Die Kette überträgt diese Kraft auf das hintere Zahnrad, so dass an diesem eine gleich große Kraft
angreift. Für das Drehmoment
am hinteren Zahnrad gilt somit:
Das gleiche Drehmoment wirkt wegen der starren Verbindung mit dem hinteren Zahnrad auch in der Felge; da diese jedoch einen größeren Radius
hat, ist die zugehörige Kraft
am Umfang entsprechend geringer:
Die auf die Pedale einwirkende Kraft von
beschleunigt somit die Felge mit
beziehungsweise kann – beispielsweise mittels Bremsbacken – durch eine solche an der Felge angreifende Kraft ausgeglichen werden.
Schaltet man bei gleicher Tretkraft
vorne auf ein kleines Zahnrad
herunter, so muss die dort wirkende Kraft
wegen des nur halb so großen Radius doppelt so groß sein, um ein gleiches Drehmoment zu bewirken. Die Auf die Kette wirkende Kraft ist also mit
doppelt so groß. Am hinteren Rad bleibt alles unverändert, so dass die Kette dort ein doppelt so großes Drehmoment bewirkt und folglich auch die Kraft auf die Felge doppelt so groß wird, also
gilt.