Zahnräder und Getriebe

Zahnrad und Zahnstange

Ein Zahnrad ist ein Rad, entlang dessen Umfang Zahnungen eingearbeitet sind. Mittels dieser Zahnungen kann ein Zahnrad ein wirkendes Drehmoment beispielsweise auf eine Kette oder ein anderes Zahnrad übertragen.

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Kraftübertragung und Drehmomentwandlung bei einem Zahnradgetriebe.

Werden mehrere Zahnräder miteinander kombiniert, so bezeichnet man die Konstruktion als Getriebe. Zwei Räder wirken dabei stets mit gleich großer Kraft F aufeinander ein. Sind allerdings die Radien r_1 und r_2 der Zahnräder unterschiedlich groß, so sind jeweils auch die wirkenden Drehmomente M_1 = r_1 \cdot F und M_2 = r_2 \cdot F verschieden.

Übersetzungs- und Größenverhältnisse

Für das so genannte “Übersetzungsverhältnis” eines Getriebes, d.h. das Verhältnis der wirkenden Drehmomente, gilt die folgende Formel:[1]

(1)\frac{M_1}{M_2} = \frac{r_1}{r_2}

Die wirkenden Drehmomente stehen somit im gleichen Größenverhältnis zuinander wie die Radien der aufeinander einwirkenden Zahnräder.

Aufgrund der Zahnungen kann bei Zahnrädern kein Durchrutschen (“Schlupf”) auftreten, die aufeinander einwirkenden Oberflächen legen also stets den gleichen Weg zurück. Dies hat zweierlei Konsequenzen:

  • Die Zahnungen von zueinander passenden Zahnrädern müssen stets gleich groß sein. Bei einem Zahnrad mit einem Vielfachen an Zahnungen muss somit auch der Radius um ein entsprechendes Vielfaches größer sein.[2] Sind n_1 und n_2 die Anzahl an Zahnungen zweier Zahnräder aufeinander folgender Zahnräder und r_1 und r_2 die zugehörigen Radien, so gilt:

    (2)\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_1}{r_2}{\color{white}\,\;\ldots}

    Die Anzahl der Zahnungen ist somit direkt proportional zum Radius der Zahnräder.

  • Kleine Zahnräder müssen sich in einem Getriebe entsprechend “schneller”, also mit einer höheren Winkelgeschwindigkeit \omega drehen als große Zahnräder. Sind \omega_1 und \omega_2 die Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinander folgender Zahnräder und r_1 und r_2 die zugehörigen Radien, so gilt:[3]

    (3)\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1}{\color{white}\,\;\ldots}

    Die Winkelgeschwindigkeiten sind somit umgekehrt proportional zu den Radien der Zahnräder.

Wirken zwei Zahnräder direkt aufeinander ein, so kehrt sich die Drehrichtung um (in Abbildung Zahnrad-Getriebe ist dies anhand der gestrichelten blauen Pfeile zu erkennen). Ist eine Umkehrung der Drehrichtung nicht beabsichtigt, so kann ein drittes Zahnrad mit beliebiger Größe dazwischen angeordnet werden.

Zahnstangen

Zahnräder werden in Getrieben häufig auch in Kombination mit so genannten Zahnstangen eingesetzt. Hierdurch kann die rotierende Bewegung eines Zahnrads in eine geradlinige Bewegung der Zahnstange umgesetzt werden. Ist die Zahnstange fest und das Zahnrad beweglich, wie es beispielsweise bei einer Zahnradbahn der Fall ist, so ist auch ein schlupffreier Antrieb des Zahnrads gegenüber der Zahnstange möglich.

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Kraftübertragung mit Hilfe eines Zahnrads und einer Zahnstange.

Riemen- und Kettengetriebe

Mittels eines Riemens kann der Angriffspunkt einer (Zug-)Kraft in Richtung des Riemens verschoben werden. Wird ein Riemen über zwei Riemenscheiben mit unterschiedlichem Durchmesser geführt, so lässt sich bei ausreichender Spannung des Riemens eine Kraft von der einen Riemenscheibe auf die andere übertragen.

Die übertragene Kraft F ist an allen Stellen des Riemens und auch an den Angriffspunkten der Riemenscheiben gleich groß; bei unterschiedlichen Radien r_1 und r_2 der Scheiben sind jedoch die wirkenden Drehmomente M_1 und M_2 verschieden groß.

Erfolgt die Kraftübertragung von der kleineren Riemenscheibe auf die größere, so erfährt diese aufgrund ihres größeren Durchmessers auch ein entsprechend größeres Drehmoment. Im gleichen “Übersetzungsverhältnis” nimmt die Rotationsfrequenz bei der größeren Riemenscheibe ab.

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Kraftübertragung und Drehmomentwandlung bei einem Riemen- bzw. Kettengetriebe.

Wird in einem Riemengetriebe die Spannung des Riemens gelockert, üblicherweise durch ein leichtes Verschieben der angetriebenen Riemenscheibe, so dreht die antreibende Riemenscheibe “leer” durch, und es kann keine Kraftübertragung erfolgen. Dieser Effekt wird beispielsweise in Rasenmähern in Form einer Kupplung genutzt, die bei Bedarf auf Leerlauf geschaltet werden kann. Gleichermaßen kann die antreibende Riemenscheibe allerdings auch durchdrehen, wenn die anzutreibende Riemenscheibe einen zu großen Drehwiderstand entgegensetzt, der Riemen sich also nicht bewegen lässt. Eine derartig starke (unbeabsichtigte) Reibung hat in der Regel auch einen starken Verschleiß des Riemens zur Folge.

Sind (zu) hohe Belastungen im normalen Betrieb nicht auszuschließen, können anstelle von Riemen auch Riemen mit Zahnungen (“Zahnriemen”) oder, als stabilste Variante, Ketten mit passenden Zahnrädern zur Kraftübertragung verwendet werden. Durch die so genannte “Formschlüssigkeit” können höhere Kräfte übertragen werden, ohne dass ein Schlupf der Kette auftreten kann.


Anmerkungen:

[1]

Die Formel für das Übersetzungsverhältnis zweier Zahnräder kann anhand der Formeln für die wirkenden Drehmomente M_1 und M_2 hergeleitet werden:

r_1 \cdot F &= M_1 {\color{white}\ldots}\\
r_2 \cdot F &= M_2

Da an zwei Zahnrädern paarweise stets die gleiche Kraft wirkt, können die beiden obigen Gleichungen jeweils nach F aufgelöst und anschließend gleichgesetzt werden. Es folgt:

\left.\begin{aligned}
F = \frac{M_1}{r_1} \\[4pt]
F = \frac{M_2}{r_2}
\end{aligned} \; \right\}
\quad \Rightarrow \quad \frac{M_1}{r_1} = \frac{M
_2}{r_2}{\color{white}.}

Stellt man diese Gleichung mittels Multiplikation mit r_1 und Division durch M_2 um, so erhält man die Formel (1) für das Übersetzungsverhältnis zweier aufeinander folgender Zahnräder.

[2]

Allgemein muss der Umfang eines Zahnrads stets einem Vielfachen der Länge l einer einzelnen Zahnung entsprechen. Es gilt also:

2 \cdot \pi \cdot r = n \cdot l{\color{white}\,\ldots}

Hierbei ist n die Anzahl der Zahnungen eines Zahnrads.

[3]

Die aufeinander einwirkenden Zahnungen haben zwar eine gleiche Bahngeschwindigkeit v. Bei unterschiedlichen Radien r_1 und r_2 der Zahnräder sind jedoch die Winkelgeschwindigkeiten \omega_1 und \omega_2 der beiden Zahnräder verschieden groß. Es gilt:

{\color{white}\ldots}\left.\begin{aligned}
v = \omega_1 \cdot r_1 \\[4pt]
v = \omega_2 \cdot r_2
\end{aligned} \; \right\}
\quad \Rightarrow \quad \omega_1 \cdot r_1 = \omega_2 \cdot r_2

Stellt man diese Gleichung mittels Division durch r_1 und \omega_2 um, so erhält man die Formel (3) für das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinander folgender Zahnräder.


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.