Schiefe Ebenen

Wird ein Körper auf eine schiefe Ebene gestellt, so wird er aufgrund seiner Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} entlang der schiefen Ebene hangabwärts beschleunigt. Dies lässt sich erklären, wenn man die Gewichtskraft in zwei Teilkräfte (entlang der schiefen Ebene und senkrecht zu ihr) zerlegt denkt:

  • Die Kraft senkrecht zur schiefen Ebene wird Normalkraft F_{\mathrm{N}} genannt. Dieser Kraftanteil würde ein Einsinken des Körpers in die schiefe Ebene bewirken, jedoch wirkt bei einem festen Untergrund der Boden aufgrund seiner Starrheit dagegen.
  • Die Kraft parallel zur schiefen Ebene wird Hangabtriebskraft F
_{\mathrm{HA}} genannt. Dieser Kraftanteil bewirkt eine Beschleunigung des Körpers entlang der schiefen Ebene.

Ist die Hangabtriebskraft groß genug, um die zwischen Körper und schiefer Ebene wirkende Reibungskraft zu überwinden, so beginnt der Körper zu gleiten.

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Schlittenfahren auf einer schiefen Ebene.

Auf einer waagrechten Ebene ist die Gewichtskraft \vec{F} _{\mathrm{G}} gleich der Normalkraft \vec{F} _{\mathrm{N}}, der Betrag der Hangabtriebskraft ist gleich Null. Umgekehrt ist entlang einer vertikalen Wand die Hangabtriebskraft gleich der Gewichtskraft, und die (anpressende) Normalkraft ist gleich Null. Bei einem beliebigen Winkel \alpha der schiefen Ebene gelten für die Beträge der Normal- und Hangabtriebskraft folgende Zusammenhänge:

(1)F_{\mathrm{HA}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot \sin{\alpha }\\[6pt]
F_{\mathrm{N\phantom{A}}}  &= F_{\mathrm{G}} \cdot \cos{\alpha }

Hierbei wurde die genutzt, dass der Winkel zwischen der Gewichtskraft F
_{\mathrm{G}} und Normalkraft F_{\mathrm{N}} gleich dem Winkel \alpha der schiefen Ebene ist, da es sich um zwei senkrecht zueinander stehende Winkel handelt. Bezeichnet man zusätzlich mit l die Länge der schiefen Ebene, so ergibt sich aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Kraftdreiecke und des Dreiecks der Schiefen Ebene folgender Zusammenhang zwischen der Hangabtriebskraft und der Gewichtskraft des Schlittens:

(2)\frac{F_{\mathrm{H}}}{G} = \frac{h}{l}

Je länger also die schiefe Ebene ist, desto kleiner ist die entlang der Ebene wirkende Hangabtriebskraft. Aus diesem Grund werden in Gebirgen Straßen und Wege in Serpentinen angelegt.

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Kraftzerlegung bei einer schiefen Ebene.

Die Größe des Winkels \alpha lässt sich anhand des Verhältnis der Höhe h zur (horizontalen) Breite b der schiefen Ebene berechnen. Hierbei gilt für den Winkel \alpha:

(3)\tan{\alpha} = \frac{h}{b} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \text{atan
}{\left( \frac{h}{b}\right)}

Je kleiner also der Winkel \alpha ist, desto länger ist bei einer bestimmten Steighöhe h die horizontale Breite b beziehungsweise wegen l = \sqrt{b^2 + h^2} auch die Länge l der schiefen Ebene.

Schiefe Ebenen mit Reibung

Wird ein Gegenstand auf eine schiefe Ebene gelegt, so wird er durch die Hangabtriebskraft F_{\mathrm{HA}} entlang der schiefen Ebene nach unten beschleunigt. Kann die entgegengesetzt wirkende Reibungskraft zwischen dem Objekt und der schiefen Ebene nicht vernachlässigt werden, so muss sie folgendermaßen berücksichtigt werden:

F_{\mathrm{R}} = \mu \cdot F_{\mathrm{N}} = \mu \cdot F_{\mathrm{G}} \cdot
\cos{\alpha }

Hierbei bezeichnet \mu die Reibungszahl für Haft- beziehungsweise Gleitreibung; zudem wurde für die wirkende Normalkraft F_{\mathrm{N}} die obige Formel (1) verwendet.

Befindet sich das Objekt auf der schiefen Ebene zunächst in Ruhe, so beginnt es dann zu gleiten, wenn die Hangabtriebskraft die maximale Haftreibungskraft übersteigt. Für den Grenzfall gilt:

F_{\mathrm{HA}} &= F_{\mathrm{R,max}} \\[6pt]
F_{\mathrm{G}} \cdot \sin{\alpha } &= \mu _{\mathrm{H}} \cdot F_{\mathrm{G}}
\cdot \cos{\alpha } \\[4pt]

Bei dieser Gleichung kann auf beiden Seiten F_{\mathrm{G}} gekürzt werden; man erhält somit:

(4)\mu _{\mathrm{H}} = \frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}} = \tan{(\alpha)}

Ist die Haftreibungszahl für das Materialien-Paar (Objekt – Schiefe Ebene) bekannt, so kann man also unmittelbar angeben, ab welchem Winkel \alpha das Objekt anfangen wird zu rutschen:

\alpha_{\mathrm{max}} = \text{atan}(\alpha)

Der Winkel \alpha_{\mathrm{max}} wird auch “maximaler Böschungswinkel” genannt. Mit ihm kann beispielsweise ausgedrückt werden, bis zu welcher Steigung ein pulverartiges Schüttgut aufgehäuft werden kann, bevor ein Nachrutschen des Materials einsetzt.

Maximale Böschungswinkel (Quelle: Wikipedia)
Material Winkel in Grad
Asche \unit[40]{\degree}
Erde \unit[30]{\degree} bis \unit[45]{\degree}
Holzrinde (klein gestückelt) \unit[45]{\degree}
Kleie \unit[30]{\degree} bis \unit[45]{\degree}
Kies \unit[45]{\degree}
Sand (trocken) \unit[34]{\degree}
Sand (nass) \unit[45]{\degree}
Schnee \unit[38]{\degree}

Bewegt sich ein Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit eine schiefe Ebene hinab, so ist die Hangabtriebskraft gleich der Gleitreibungskraft. Durch eine experimentelle Bestimmung des zugehörigen Winkels \alpha kann somit die Gleitreibungszahl \mu_{\mathrm{G}} zwischen dem Material des Objekts und dem Material der schiefen Ebene bestimmt werden.

Keilwirkung

Ein Keil, auf dessen Rückseite eine Kraft F ausgeübt wird, kann das umliegende Material auseinander treiben. Diese spaltende Wirkung, die beispielsweise bei Äxten oder Meißeln genutzt wird, lässt sich ebenfalls mittels der Kraftaufteilung an einer schiefen Ebene erklären, wenn man sich den Keil in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt denkt.

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Keilwirkung als Normalkraft bei einer schiefen Ebene.

Die Kraft F, die auf den Keil ausgeübt wird, kann in zwei Normalkräfte F_{\mathrm{N,1}} und F_{\mathrm{N,2}} senkrecht zu den Keilflächen zerlegt werden. Bezeichnet man die Breite des Keilrückens mit h, die Länge einer schrägen Keilflächen mit l und den halben Keilwinkel als \alpha, so gilt:

\frac{F_{\mathrm{N}}}{F} = \frac{s}{b} \quad \Leftrightarrow \quad F_{\mathrm{N}}
= \frac{s}{b} \cdot F

Da die Länge s der schrägen Flächen üblicherweise länger ist als die Breite b des Keils, sind die spaltenden Normalkräfte größer als die auf den Keil wirkende Kraft F.


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.