Arbeit, Leistung und Energie¶
Mechanische Arbeit¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Arbeit.
Beim Anheben einer Getränkekiste der Masse
um
wird Hubarbeit verrichtet. Die Richtungen der hebenden Kraft
und Wegstrecke
stimmen überein, für den Betrag der verrichteten Arbeit
gilt somit:
Wird die Kiste
über dem Boden gehalten, so muss zwar die Gewichtskraft
der Kiste ausgeglichen werden, doch keine Arbeit verrichtet werden; die nötige Kraft wirkt dann nicht entlang einer Wegstrecke – die Gewichtskraft der Kiste könnte beispielsweise auch von einem Tisch „gehalten“ werden, ohne dass dieser Arbeit verrichtet bzw. ihm Energie zugeführt werden muss.
Wird die Kiste in gleicher Höhe entlang einer beliebig langen Strecke getragen, so stehen die Richtungen der aufgewandten Kraft
und der zurück gelegten Wegstrecke
senkrecht aufeinander. Da somit keine Kraft entlang des Weges
wirkt, wird beim Tragen der Kiste auf gleicher Höhe auch keine Arbeit verrichtet.[1]
Beim Verschieben des Körpers wirkt die Zugkraft
entlang der zurückgelegten Wegstrecke
. Für die verrichtete Arbeit
gilt damit:
Die Zugkraft verrichtet somit eine Arbeit von
. Die Schwerkraft
hingegen verrichtet keine Arbeit, da sie senkrecht zur Wegstrecke
wirkt.[2]
Um eine
schwere Masse anzuheben, muss eine Kraft von
aufgebracht werden, wobei
den Ortsfaktor bezeichnet. Wird die Masse um
angehoben, so ergibt sich mit der Formel der Hubarbeit:
Es ist somit eine Arbeit von
(also knapp
) nötig, um eine Masse von
einen Meter weit anzuheben.
Um die Hubarbeit zu berechnen, die der Wanderer für seine eigene Masse
und die Masse seines Rucksacks
beim Anstieg zum
höheren Gipfel aufzubringen hat, müssen die gegebenen Werte nur in die Formel der Hubarbeit eingesetzt werden:
Insgesamt muss der Wanderer auf seinem Weg zum Gipfel somit eine Hubarbeit von
verrichten.[3]
Ein Ziegelstein bildet das Fundament, die restlichen neun müssen je um ein entsprechendes Vielfaches der Ziegelsteinhöhe angehoben werden – der erste um
, der zweite um
usw. Die Gesamtarbeit entspricht der Summe aller einzelnen Hubarbeiten:
Die insgesamt zu verrichtende Arbeit beträgt somit
.
Die verrichtete (Reibungs-)Arbeit lässt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte
und
in die allgemeine Definition der Arbeit berechnen:
Es wird somit eine Arbeit von
verrichtet.
Die Gesamtmasse der Jugendlichen
und des Schlittens
ist gleich der Summe der einzelnen Massen:
Mit der (Gleit-)Reibungszahl
von Eisen auf Schnee ergibt sich damit für die Reibungskraft
:
Diese Reibungskraft wird durch die Zugkraft
des Pferdes ausgeglichen. Da die Kraft entlang der Strecke von
konstant ist, kann die Zugarbeit
des Pferdes ausgerechnet werden:
Das Pferd verrichtet beim Ziehen des Schlittens über das Feld somit eine Arbeit von rund
.
Für die zur Beschleunigung eines Körpers aus der Ruhelage
verrichtete Arbeit gilt:
Setzt man die gegebenen Werte
und
in die obige Gleichung ein, so ergibt sich:[4]
Zur Beschleunigung des Fahrzeugs sind somit
nötig.
Um die Beschleunigungsarbeit zu berechnen, muss die Differenz zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit
bekannt sein. Diese lässt sich mittels der Werte der gegebenen Beschleunigung
und ihrer Dauer
berechnen:
Daraus lässt sich mit
durch Einsetzen der Werte in die Definition der Beschleunigungsarbeit die verrichtete Arbeit
berechnen:
Die verrichtete Arbeit beträgt somit rund
.
Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf
nötige Arbeit beträgt mit
:
Zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf
muss folgende Arbeit verrichtet werden:
Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs von
auf
nötige Arbeitsmenge
muss der Differenz
der Arbeitsmengen entsprechen, die zum Beschleunigen aus der Ruhelage auf
beziehungsweise
nötig sind:
Es sind somit rund
zum Beschleunigen von
auf
an Beschleunigungsarbeit nötig.
Hinweis: Die Arbeitsmenge
könnte ebenfalls mittels
berechnet werden; falsch wäre es hingegen,
zu rechnen, da
ist!
Wirkungsgrad¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Wirkungsgrad.
Nach der Goldenen Regel der Mechanik bleibt auch bei der Benutzung eines Flaschenzugs die zu verrichtende Arbeit
unverändert – zwar ist bei Benutzung eines Flaschenzugs weniger Kraft nötig, dafür muss diese entlang einer entsprechend längeren Wegstrecke aufgebracht werden. Die zugeführte Arbeit
und die abgegebene Arbeit
sind somit gleich groß:
Damit gilt für den Wirkungsgrad
:
Der Wirkungsgrad eines idealen Flaschenzugs beträgt somit
.
Die Menge an Hubarbeit
, die im Idealfall zum Heben der Last (Gewichtskraft:
, Zughöhe:
) nötig ist, lässt sich nach folgender Formel berechnen:
Diese Menge an Arbeit muss mit der Menge an Arbeit
übereinstimmen, die vom Flaschenzug abgegeben wird. Es gilt somit
.
Nach der Angabe reduziert sich durch die Verwendung des Flaschenzugs die aufzubringende Kraft auf
, die Zugstrecke beträgt dabei
. Somit wird folgende Arbeit am Flaschenzug verrichtet:
Die vom Flaschenzug abgegebene Arbeit
ist somit kleiner als die investierte Arbeit
. Der Wirkungsgrad des Flaschenzugs, der dem Verhältnis beider Größen entspricht, ist somit kleiner als eins:
Der Wirkungsgrad
des Flaschenzugs beträgt also rund
.
Um die Menge an abgegebener Arbeit
aus den gegebenen Größen
und
zu berechnen, muss man die Formel für den Wirkungsgrad entsprechend umstellen:
Der Kraftwandler gibt somit
an Arbeit ab.
Um die Menge an aufzuwendender Arbeit
aus den gegebenen Größen
und
zu berechnen, muss die Formel für den Wirkungsgrad umgestellt werden:
Es müssen somit
an Arbeit an der Vorrichtung verrichtet werden.
Mechanische Leistung¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Leistung.
Die gesamte Arbeit
, die der Sportler verrichtet, lässt sich als das Zehnfache der Hubarbeit
während eines Klimmzugs berechnen:[5]
Die Zeit, die der Sportler dafür benötigt, beträgt
. Damit beträgt seine Leistung
(Arbeit je Zeit):
Die Leistung des Sportlers beträgt somit rund
Watt.
Die Leistung des Motors kann berechnet werden, indem man die bekannten Größen
in die Definition der Leistung einsetzt:
Die Leistung des Motors beträgt somit rund
.
Um die Masse
zu bestimmen, die durch die Leistung
in
um
angehoben werden kann, setzt man die Hubarbeit
in die Definition der Leistung ein und löst die Gleichung nach
auf:
Mit
gilt:
Mit einer Leistung von
kann somit eine Masse von knapp
in einer Sekunde um einen Meter angehoben werden.
Ein Liter Wasser hat eine Masse von einem Kilogramm. Somit kann man die Wassermenge – wie bei der vorherigen Aufgabe – bestimmen, indem man die Hubarbeit
in die Definition der Leistung einsetzt und die Gleichung nach
auflöst:
Mit
gilt mit
,
und
:
In einer Sekunde werden somit rund
Wasser nach oben gepumpt; bei gleicher Leistung beträgt die nach oben gepumpte Wassermenge entsprend
.
Für die mechanische Leistung
gilt allgemein:
Mit
und
folgt somit für die mechanische Leistung beim Ziehen des Schlittens:
Die mechanische Leistung beträgt somit
.
Die verrichtete Beschleunigungsarbeit beträgt mit
und
und
:
Diese Arbeit wird in
verrichtet. Damit lässt sich auch die Beschleunigungs-Leistung
berechnen:
Der Motor muss somit (abgesehen vom Luftwiderstand und von Reibungsverlusten im Getriebe) zur Beschleunigung mindestens
aufbringen.
Mechanische Energie¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Energie.
Kann die Reibung vernachlässigt werden, so wird beim Herabfließen des Wassers dessen gesamte Höhenenergie
wieder abgegeben. Bezogen auf
Wasser und eine Fallhöhe von
ergibt sich:
Diese Energiemenge entspricht übrigens dem Energiegehalt von etwa
Brot (
Brot enthält rund
an chemischer Energie).
Die Formel für die Bewegungsenergie lautet
. Setzt man in diese Gleichung die Massen
und
der beiden Fahrzeuge sowie ihre Geschwindigkeit
ein, so erhält man:
Durch seine achtfache Masse besitzt der LKW bei gleicher Geschwindigkeit gegenüber dem PKW auch eine achtfache Energie. Wird der PKW auf
beschleunigt, so beträgt seine Energie:
Durch den quadratischen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Bewegungsenergie hat der PKW bei einer doppelten Geschwindigkeit eine vierfache Bewegungsenergie. Bei einer dreifachen Geschwindigkeit
nimmt die Bewegungsenergie des PKWs entsprechend auf das neun-fache zu:
Somit besitzt der PKW bei einer dreifachen Geschwindigkeit eine höhere Bewegungsenergie als der achtmal schwerere LKW.
Um die Höhe zu bestimmen, deren Energie einer Bewegung mit
entspricht, setzt man die Formeln für die Höhenenergie
und die Bewegungsenergie
gleich:
Beide Größen sind direkt proportional zur Geschwindigkeit. In der obigen Gleichung kann die Masse
somit auf beiden Seiten „gekürzt“ werden. Anschließend kann die Gleichung nach der gesuchten Höhe
aufgelöst und der Wert
für die Geschwindigkeit eingesetzt werden:
Ein Aufprall eines Fahrzeugs mit
entspricht somit einem ungebremsten Sturz aus etwa
Höhe.
Um die Geschwindigkeit des Badegasts beim Eintauchen zu ermitteln, kann die Höhenenergie
auf dem Sprungbrett
mit der kinetischen Energie
unmittelbar vor dem Eintauchen gleichgesetzt werden:
Auf beiden Seiten der Gleichung kann die Masse
gekuerzt werden. Nach dem Aufloesen der Gleichung ergibt sich fuer die Geschwindigkeit
:
Die Geschwindigkeit des Badegasts beim Eintauchen betraegt somit rund
, also etwa
.
Ja, alle Nahrungsmittel enthalten indirekt Sonnenlicht. Pflanzen wandeln diese mittels der Photosynthese zunächst in Zucker, anschließend (auch) in längerkettige Kohlenhydrate (Stärke, Zellulose) um. Über ein ganzes Jahr gesehen, haben Nahrungsmittel-Pflanzen dabei einen Wirkungsgrad von etwa
. Gründe hierfür sind Nacht-Zeiten, in denen der Stoffwechsel der Pflanzen umgekehrt abläuft, wechselnde Beleuchtung, Abschattungsverluste durch Überlagerung von Blättern, keine maximale Kohlenstoffdioxid-Konzentration usw.
Tiere leben ihrerseits – direkt oder indirekt – von Pflanzen. Da der „Wirkungsgrad“ der Nahrungsaufnahme stets kleiner als Eins ist und die Tiere selbst Energie zum Aufrechthalten der Körpertemperatur sowie für Bewegung, Stoffwechsel usw. brauchen, ist es nicht verwunderlich, dass bei Verwendung tierischer Produkte stets die rund
-fache Menge an pflanzlichen Futtermitteln benötigt wird. Entsprechend geringer ist der „Wirkungsgrad“ tierischer Produkte, er liegt stets in der Größenordnung von nur
.
In der Ausgangsposition besitzt der Körper des Trampolinspringers weder Bewegungsenergie
noch Höhenenergie
; dafür ist das elastische Trampolintuch maximal gespannt. Diese Spannenergie
bewirkt dann eine Beschleunigung bzw. ein Anheben des Körpers.
SVG: Energieerhaltung beim Trampolinspringen (Lösung)
Am höchsten Punkt wurde die gesamte Bewegungsenergie in Höhenenergie umgewandelt. Anschließend findet in umgekehrter Weise eine Umwandlung von Höhenenergie in Bewegungsenergie statt; unmittelbar vor dem erneuten Kontakt mit dem Trampolintuch ist die Geschwindigkeit des Springers und damit seine kinetische Energie maximal.
Anmerkungen:
[1] | Man könnte die Kiste ebenso auf einem Rollenwagen entlang der ebenen
Strecke ![]() |
[2] | Die Gewichtskraft kann lediglich als Ursache der Reibungskraft angesehen
werden, gegen die beim Verschieben der Kiste Arbeit verrichtet wird. Aus der
Formel für die Reibungskraft ![]() ![]() |
[3] | Alternativ kann man zur Lösung der Aufgabe auch zuerst die Massen
![]() ![]() ![]() |
[4] | Nach der Definition Für die Einheit der Arbeit gilt somit: |
[5] | Bei der Bestimmung der Einheit wurde einerseits berücksichtigt, dass
![]() ![]() |