Die mechanische Arbeit

Wirkt eine Kraft auf einen Körper ein und bewirkt dabei eine Verformung, eine Beschleunigung oder ein Anheben des Körpers, so wird physikalische Arbeit verrichtet. Um die Größe der verrichteten Arbeit zu bestimmen, müssen der Betrag der Kraft und die Länge des Weges, entlang dessen die Kraft wirkt, bekannt sein.

Definition:

Die Arbeit W ist das Produkt aus der in Richtung des Weges wirkenden Kraft F und der zurückgelegten Wegstrecke \Delta s:[1]

(1)W = F \cdot \Delta s_{\mathrm{\parallel}}

Einheit:

Die Einheit der Arbeit ist nach Gleichung (1) das Produkt der Einheiten von Kraft und Weg. Sie wird nach James Prescott Joule kurzerhand Joule \unit{(J)} genannt.

\unit[1]{J} = \unit[1]{N } \cdot \unit[1]{m}

Beispiele:

  • Die Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} einer Tafel Schokolade ( m =
\unit[100]{g}) entspricht in guter Näherung \unit[1]{N}. Hebt man eine Tafel Schokolade einen Meter weit an (egal von welcher Position aus), so verrichtet man dabei eine Arbeit von W = F_{\mathrm{G}} \cdot s =
\unit[1]{N} \cdot \unit[1]{m} = \unit[1]{J}.
  • Hebt man 2, 3, 4, \ldots Tafeln Schokolade einen Meter weit an, so verrichtet man entsprechend eine Arbeit von \unit[2, 3, 4, \ldots]{J}. Mit der gleichen Arbeit könnte man jeweils auch eine Tafel Schokolade um \unit[2, 3, 4, \ldots]{m} anheben.
  • Um zwei Tafeln Schokolade zwei Meter weit anzuheben, muss man eine Arbeit von \unit[2]{N} \cdot \unit[2]{m} = \unit[4]{N \cdot m} = \unit[4]{J} verrichten.

Unter der Bedingung, dass die Kraft konstant ist und in beliebiger, aber fester Richtung wirkt, gilt:

W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos{\alpha}

Hierbei bezeichnet \alpha den Winkel zwischen der wirkenden Kraft und der zurückgelegten Wegstrecke.

Arten mechanischer Arbeit

Bei mechanischen Prozessen sind die folgenden Arten mechanischer Arbeit von entscheidender Bedeutung:

Die Hubarbeit

Erfahrungsgemäß ist es einfacher, einen leichten Körper hoch zu heben als einen schweren. Doch auch beim Heben zweier gleich schwerer Körper gibt es Unterschiede: Je weiter man einen Körper hoch heben muss, desto mehr Arbeit ist dafür nötig.

Definition:

Die Hubarbeit W_{\mathrm{Hub}} ist proportional zur Gewichtskraft F_{\mathrm{ G}} eines angehobenen Körpers und zur Hubhöhe h:

(2)W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h

Die Hubarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Gewichtskraft (F_{\mathrm{G}} = m \cdot g) auch als W_{\mathrm{Hub}} = m \cdot
g \cdot h geschrieben werden.

Die Reibungsarbeit

Um einen Körper auf einer waagrechten Ebene gleichförmig zu bewegen, muss der Reibungskraft eine gleich große Gegenkraft entgegenwirken.

Definition:

Die Reibungsarbeit W_{\mathrm{Reib}} ist proportional zur Reibungskraft F_{\mathrm{R}} und zur zurückgelegten Wegstrecke \Delta s:

(3)W_{\mathrm{Reib}} = F_{\mathrm{R}} \cdot \Delta s

Beim gleichzeitigen Auftreten mehrerer Reibungskräfte (beispielsweise Rollreibung und Luftwiderstand) entspricht F_{\mathrm{R}} der Summe aller auftretenden Reibungskräfte.

Die Spannarbeit

Die Spannkraft, die ein elastischer Körper (beispielsweise eine Schraubenfeder) einer Stauchung oder Streckung entgegensetzt, ist nicht konstant, sondern nimmt gleichmäßig mit der Auslenkung zu:

  • Die anfängliche Spannkraft der Feder in der Ruhelage ist Null.
  • Wird die Feder um eine Wegstrecke \Delta s ausgelenkt, so beträgt die Spannkraft der Feder \Delta F_{\mathrm{S}} = -D \cdot
\Delta s.

Entlang der Strecke \Delta s muss im Durchschnitt nur die Hälfte der (maximalen) Spannkraft F_{\mathrm{S}} am Auslenkungspunkt aufgewendet werden. Für die durchschnittlich nötige Kraft \bar{F}_{\mathrm{S}} gilt also:

\bar{F}_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{s}}

Dies gilt allgemein für elastische Verformungen.

Definition:

Die zur Verformung eines elastischen Körpers (beispielsweise einer Schraubenfeder) nötige Spannarbeit W_{\mathrm{Spann}} ist proportional zur durchschnittlichen Spannkraft \bar{F}_{\mathrm{S}} =
\frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{S}} und der dazugehörigen Auslenkung s:

(4)W_{\mathrm{Spann}} = \bar{F} _{\mathrm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot
F_{\mathrm{S}} \cdot s

Die Spannarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Spannkraft (F_{\mathrm{S}} = - D \cdot s) auch als W_{\mathrm{Spannn}} =
\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 geschrieben werden, wobei D die (oftmals experimentell zu bestimmende) Federkonstante des Körpers angibt.

Die Beschleunigungsarbeit

Zur Überwindung der Trägheit ist eine Kraft notwendig. Die zugehörige Arbeit, die bei einer Beschleunigung entlang einer Strecke s auftritt, heißt Beschleunigungsarbeit.

Definition:

Die Beschleunigungsarbeit W_{\mathrm{B}} eines zunächst ruhenden Körpers der Masse m ist proportional zum Quadrat der Endgeschwindigkeit v, die dieser erreicht:[2]

(5)W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v_1 und wird auf eine Endgeschwindigkeit v_2 beschleunigt, so beträgt die Beschleunigungsarbeit W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 -
v_1^2).

Die Rotationsarbeit

Zur Überwindung der Trägheit ist für eine Rotation ein Drehmoment notwendig. Die zugehörige Arbeit heißt Rotationsarbeit.

Definition:

Die Rotationsarbeit W_{\mathrm{rot}} eines zunächst ruhenden Körpers mit Trägheitsmoment J ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit \omega, die dieser erreicht:

(6)W_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2

Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit \omega_1 und wird auf eine Endgeschwindigkeit \omega_2 beschleunigt, so muss in Gleichung (6) anstelle \omega die Differenz \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 beider Winkelgeschwindigkeiten eingesetzt werden.

Die goldene Regel der Mechanik

Während Kräfte durch entsprechende Hilfsmittel in ihrer Richtung oder ihrem Betrag geändert werden können, kann die für einen mechanischen Prozess nötige Arbeit nicht verringert werden; die Menge an Arbeit bleibt erhalten.

Bei Verwendung eines Kraftwandlers ist die aufgenommene Arbeit stets gleich der abgegebenen Arbeit (Reibung wird vernachlässigt):

F_1 \cdot \Delta s_1 &= F_2 \cdot \Delta s_2 \\[6pt]
W_1 &= W_2

Abgesehen von Reibungsverlusten bleibt das Produkt aus Weg und Kraft (entlang des Weges) stets konstant. Eine umgangssprachliche Formulierung für das Prinzip der Kraftwandlung (“die goldene Regel der Mechanik”) lautet daher:

“Was an Kraft eingespart wird, muss an Weg zugesetzt werden.”

Beispiele:

  • Bei einer festen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft F_1 gleich der wirksamen Kraft F_2. Der Weg der Kraft F_1 ist gleich dem Weg der Kraft F_2. Somit gilt:

    F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2

  • Bei einer losen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft F_1 gleich der Hälfte der wirksamen Kraft F_2. Der Weg der Kraft F_1 ist allerdings doppelt so groß wie der Weg der Kraft F_2. Insgesamt gilt:

    F_1 &= \frac{1}{2} \cdot F_2{\color{white}\ldots} \\
s_1 &= 2 \cdot s_2 \\
\Rightarrow F_1 \cdot s_1 = \frac{1}{2} \cdot F_2 &\, \cdot \, 2 \cdot s_2
= F_2 \cdot s_2

  • Um einen Körper mit einer Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} auf eine Höhe h zu heben, ist die Hubarbeit W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot
h nötig. Verschiebt man ihn hingegen entlang des längeren Weges l einer schiefen Ebene nach oben, so ist die nötige Kraft F um das Verhältnis \frac{h}{l} geringer. Es gilt:

    F \cdot l = F_{\mathrm{G}} \cdot h


Anmerkungen:

[1]

Die Arbeits-Formel W = F \cdot s gilt streng genommen nur, wenn die wirkende Kraft F konstant ist. Ist die Kraft nur innerhalb einzelner Zeitabschnitte konstant, so muss man die Formel für jeden dieser Zeitabschnitte einzeln anwenden und die jeweiligen Teilbeträge summieren.

W = \sum_{i}^{} F_{\mathrm{i}} \cdot \Delta s_{\mathrm{i}}

Im Fall einer sich kontinuierlich ändernden Kraft wird aus der Summe (\sum_{}^{}) ein Integral (\int_{}^{}).

[2]

Um die Formel für die Beschleunigungsarbeit W_{\mathrm{B}} herzuleiten, geht man von der allgemeinen Definition der Arbeit W = F
\cdot s aus. Für die Kraft F kann man das allgemeine Kraftgesetz F = m \cdot a einsetzen. Für die Wegstrecke kann man die Bremsformel v^2-v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s nach s auflösen. Erfolgt die Beschleunigung aus dem Stillstand (v_0=0), so ist s = \frac{v^2}{2 \cdot a}. Setzt man auch diesen Ausdruck in die allgemeine Definition der Arbeit ein, so erhält man:

W_{\mathrm{B}} = F \cdot s =  (m \cdot a)  \cdot \frac{v^2}{2 \cdot a} =
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2


Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.