Mechanische Leistung

Mechanische Arbeit kann unterschiedlich schnell verrichtet werden. Die mechanische Leistung (umgangssprachlich auch “Arbeitstempo” genannt) gibt an, wie schnell mechanische Arbeit verrichtet wird.

Definition:

Die Leistung P ist gleich dem Verhältnis aus der Arbeit W und der Zeit t, in der sie verrichtet wird.[1]

(1)P = \frac{W}{t}

Einheit:

Die Leistung wird (zu Ehren des Ingenieurs James Watt) in Watt (\unit{W}) angegeben. Eine Leistung von einem Watt entspricht einer in einer Sekunde geleisteten Arbeit von einem Joule:

\unit[1]{W} = \frac{\unit[1]{J}}{\unit[1]{s}}

Beispiel:

  • Zwei Kräne ziehen jeweils eine Palette mit Steinen, die einer Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} = \unit[4\,000]{N} entspricht, auf ein \unit[5]{m} hohes Gerüst. Der eine Kran braucht für diese Arbeit eine Zeit von t
_1 = \unit[10]{s}, der andere Kran benötigt hingegen t
_2 = \unit[20]{s}. Damit können die Leistungen P_1 und P_2 der beiden Kräne berechnet werden:

    P_1 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_1} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_1} =
\frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[10]{s}} =
\frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[10]{s}} = \unit[2\,000]{W} \\[5pt]
P_2 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_2} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_2} =
\frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[20]{s}} =
\frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[20]{s}} = \unit[1\,000]{W}

    Da der erste Kran die Arbeit in der halben Zeit verrichtet, ist seine Leistung (sein “Arbeitstempo”) doppelt so hoch wie die des zweiten Kranes.

Beispiele für Leistungen in Natur und Technik
Spielzeugmotor \phantom{0}3 \text{ bis } \unit[12]{W}
Mensch (Dauerleistung) 75 \text{ bis } \unit[100]{W}
Bohrmaschine 300 \text{ bis } \unit[1\,000]{W}
Motorrad \text{Ca. } \unit[15\,000]{W}
PKW \text{Ca. } \unit[55\,000]{W}
LKW \text{Ca. } \unit[250\,000]{W}
Elektro-Lokomotive \text{Ca. } \unit[5\,000\,000]{W}
Verkehrsflugzeug \text{Ca. } \unit[35\,000\,000]{W}
Passagierschiff \text{Ca. } \unit[40\,000\,000]{W}
Weltraum-Rakete \text{Ca. } \unit[75\,000\,000\,000]{W}
Blitz \text{Ca. } \unit[500\,000\,000\,000]{W}

Die mechanische Leistung, die ein Mensch über einen langen Zeitraum aufrecht erhalten kann, liegt bei etwa \unit[100]{W}. Kurzzeitig kann ein gut trainierter Mensch auch eine Leistung in der Größenordnung von \unit[1\,000]{W} erreichen. Große Leistungsmengen werden nach wie vor häufig in Pferdestärken (\unit{PS}) anstelle in Kilowatt (\unit{kW}) angegeben.

\unit[1]{kW} = \unit[1\,000]{W} \\
\unit[1]{PS} \approx \unit[735,5]{W}

Eine weitere nützliche Formel erhält man, wenn man in der Definition (1) für die Arbeit W = F \cdot s schreibt. Für die Leistung P gilt damit:

(2)P = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot \frac{s}{t} = F \cdot v

Gemäß dieser Gleichung ist zum Beispiel eine höhere Leistung nötig, um einen Gegenstand bei einer konstant wirkenden Reibung mit höherer Geschwindigkeit zu ziehen.

Leistung von rotierenden Objekten

Vorgänge, bei denen Verschiebungen (Translationen) oder Drehungen (Rotationen) von Objekten stattfinden, lassen sich durch mathematisch ähnliche Gleichungen beschreiben. Das Äquivalent zur Kraft F ist bei Rotationen das Drehmoment M, das Äquivalent zur Geschwindigkeit v ist die Winkelgeschwindigkeit \omega. Ersetzt man in der obigen Formel (2) die jeweiligen Größen, so erhält man folgende Formel:

(3)P = M \cdot \omega

Ein Motor kann somit eine bestimmte Leistung entweder durch eine große Drehzahl oder ein großes Drehmoment erreichen; ist die Winkelgeschwindigkeit \omega gleich Null, so ist auch die mechanische Leistung des Motors gleich Null, egal wie hoch sein Drehmoment ist.


Anmerkungen:

[1]Das Symbol P für die Leistung leitet sich vom englischen Wort “Power” ab.

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.