.. index:: Leistung, Watt (Einheit) .. _Leistung: .. _Mechanische Leistung: Mechanische Leistung ==================== Mechanische Arbeit kann unterschiedlich schnell verrichtet werden. Die mechanische Leistung (umgangssprachlich auch "Arbeitstempo" genannt) gibt an, wie schnell mechanische Arbeit verrichtet wird. *Definition:* Die Leistung :math:`P` ist gleich dem Verhältnis aus der Arbeit :math:`W` und der Zeit :math:`t`, in der sie verrichtet wird. [#]_ .. math:: :label: eqn-leistung P = \frac{W}{t} *Einheit:* Die Leistung wird (zu Ehren des Ingenieurs `James Watt `_) in Watt :math:`(\unit{W})` angegeben. Eine Leistung von einem Watt entspricht einer in einer Sekunde geleisteten Arbeit von einem Joule: .. math:: \unit[1]{W} = \frac{\unit[1]{J}}{\unit[1]{s}} *Beispiel:* * Zwei Kräne ziehen jeweils eine Palette mit Steinen, die einer Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[4\,000]{N}` entspricht, auf ein :math:`\unit[5]{m}` hohes Gerüst. Der eine Kran braucht für diese Arbeit eine Zeit von :math:`t _1 = \unit[10]{s}`, der andere Kran benötigt hingegen :math:`t _2 = \unit[20]{s}`. Damit können die Leistungen :math:`P_1` und :math:`P_2` der beiden Kräne berechnet werden: .. math:: P_1 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_1} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_1} = \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[10]{s}} = \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[10]{s}} = \unit[2\,000]{W} \\[5pt] P_2 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_2} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_2} = \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[20]{s}} = \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[20]{s}} = \unit[1\,000]{W} Da der erste Kran die Arbeit in der halben Zeit verrichtet, ist seine Leistung (sein "Arbeitstempo") doppelt so hoch wie die des zweiten Kranes. .. list-table:: Beispiele für Leistungen in Natur und Technik :name: tab-leistungen-in-natur-und-technik :widths: 50 50 * - Spielzeugmotor - :math:`\phantom{0}3 \text{ bis } \unit[12]{W}` * - Mensch (Dauerleistung) - :math:`75 \text{ bis } \unit[100]{W}` * - Bohrmaschine - :math:`300 \text{ bis } \unit[1\,000]{W}` * - Motorrad - :math:`\text{Ca. } \unit[15\,000]{W}` * - PKW - :math:`\text{Ca. } \unit[55\,000]{W}` * - LKW - :math:`\text{Ca. } \unit[250\,000]{W}` * - Elektro-Lokomotive - :math:`\text{Ca. } \unit[5\,000\,000]{W}` * - Verkehrsflugzeug - :math:`\text{Ca. } \unit[35\,000\,000]{W}` * - Passagierschiff - :math:`\text{Ca. } \unit[40\,000\,000]{W}` * - Weltraum-Rakete - :math:`\text{Ca. } \unit[75\,000\,000\,000]{W}` * - Blitz - :math:`\text{Ca. } \unit[500\,000\,000\,000]{W}` .. D-Zug 1250 kW nach Gascha 61. Die mechanische Leistung, die ein Mensch über einen langen Zeitraum aufrecht erhalten kann, liegt bei etwa :math:`\unit[100]{W}`. Kurzzeitig kann ein gut trainierter Mensch auch eine Leistung in der Größenordnung von :math:`\unit[1\,000]{W}` erreichen. Große Leistungsmengen werden nach wie vor häufig in Pferdestärken :math:`(\unit{PS})` anstelle in Kilowatt :math:`(\unit{kW})` angegeben. .. math:: \unit[1]{kW} = \unit[1\,000]{W} \\ \unit[1]{PS} \approx \unit[735,5]{W} Eine weitere nützliche Formel erhält man, wenn man in der Definition :eq:`eqn-leistung` für die Arbeit :math:`W = F \cdot s` schreibt. Für die Leistung :math:`P` gilt damit: .. math:: :label: eqn-leistung2 P = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot \frac{s}{t} = F \cdot v Gemäß dieser Gleichung ist zum Beispiel eine höhere Leistung nötig, um einen Gegenstand bei einer konstant wirkenden Reibung mit höherer Geschwindigkeit zu ziehen. .. _Leistung von rotierenden Objekten: .. rubric:: Leistung von rotierenden Objekten Vorgänge, bei denen Verschiebungen (Translationen) oder Drehungen (Rotationen) von Objekten stattfinden, lassen sich durch mathematisch ähnliche Gleichungen beschreiben. Das Äquivalent zur Kraft :math:`F` ist bei Rotationen das :ref:`Drehmoment ` :math:`M`, das Äquivalent zur Geschwindigkeit :math:`v` ist die :ref:`Winkelgeschwindigkeit ` :math:`\omega`. Ersetzt man in der obigen Formel :eq:`eqn-leistung2` die jeweiligen Größen, so erhält man folgende Formel: .. math:: :label: eqn-leistung-rotation P = M \cdot \omega Ein Motor kann somit eine bestimmte Leistung entweder durch eine große Drehzahl oder ein großes Drehmoment erreichen; ist die Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` gleich Null, so ist auch die mechanische Leistung des Motors gleich Null, egal wie hoch sein Drehmoment ist. .. raw:: html
.. only:: html .. rubric:: Anmerkungen: .. [#] Das Symbol :math:`P` für die Leistung leitet sich vom englischen Wort "Power" ab. .. raw:: html
.. hint:: Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `.