Mechanische Arbeit¶
Wirkt eine Kraft auf einen Körper ein und bewirkt dabei eine Verformung, eine Beschleunigung oder ein Anheben des Körpers, so wird physikalische Arbeit verrichtet. Um die Größe der verrichteten Arbeit zu bestimmen, müssen der Betrag der Kraft und die Länge des Weges, entlang dessen die Kraft wirkt, bekannt sein.
Definition:
Die Arbeitist das Produkt aus der in Richtung des Weges wirkenden Kraft
und der zurückgelegten Wegstrecke
:[1]
(1)¶
Einheit:
Die Einheit der Arbeit ist nach Gleichung (1) das Produkt der Einheiten von Kraft und Weg. Sie wird nach James Prescott Joule kurzerhand Joulegenannt.
Beispiele:
- Die Gewichtskraft
einer Tafel Schokolade
entspricht in guter Näherung
. Hebt man eine Tafel Schokolade einen Meter weit an (egal von welcher Position aus), so verrichtet man dabei eine Arbeit von
.
- Hebt man
Tafeln Schokolade einen Meter weit an, so verrichtet man entsprechend eine Arbeit von
. Mit der gleichen Arbeit könnte man jeweils auch eine Tafel Schokolade um
anheben.
- Um zwei Tafeln Schokolade zwei Meter weit anzuheben, muss man eine Arbeit von
verrichten.
Unter der Bedingung, dass die Kraft konstant ist und in beliebiger, aber fester Richtung wirkt, gilt:
Hierbei bezeichnet den Winkel zwischen der wirkenden Kraft und
der zurückgelegten Wegstrecke.
Arten mechanischer Arbeit¶
Bei mechanischen Prozessen sind die folgenden Arten mechanischer Arbeit von entscheidender Bedeutung:
Hubarbeit
Erfahrungsgemäß ist es einfacher, einen leichten Körper hoch zu heben als einen schweren. Doch auch beim Heben zweier gleich schwerer Körper gibt es Unterschiede: Je weiter man einen Körper hoch heben muss, desto mehr Arbeit ist dafür nötig.
Definition:
(2)¶
Die Hubarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Gewichtskraft
() auch als
geschrieben werden.
Reibungsarbeit
Um einen Körper auf einer waagrechten Ebene gleichförmig zu bewegen, muss der Reibungskraft eine gleich große Gegenkraft entgegenwirken.
Definition:
(3)¶
Beim gleichzeitigen Auftreten mehrerer Reibungskräfte (beispielsweise
Rollreibung und Luftwiderstand) entspricht der Summe
aller auftretenden Reibungskräfte.
Spannarbeit
Die Spannkraft, die ein elastischer Körper (beispielsweise eine Schraubenfeder) einer Stauchung oder Streckung entgegensetzt, ist nicht konstant, sondern nimmt gleichmäßig mit der Auslenkung zu:
- Die anfängliche Spannkraft der Feder in der Ruhelage ist Null.
- Wird die Feder um eine Wegstrecke
ausgelenkt, so beträgt die Spannkraft der Feder
.
Entlang der Strecke muss im Durchschnitt nur die Hälfte der
(maximalen) Spannkraft
am Auslenkungspunkt aufgewendet
werden. Für die durchschnittlich nötige Kraft
gilt
also:
Dies gilt allgemein für elastische Verformungen.
Definition:
Die zur Verformung eines elastischen Körpers (beispielsweise einer Schraubenfeder) nötige Spannarbeitist proportional zur durchschnittlichen Spannkraft
und der dazugehörigen Auslenkung
:
(4)¶
Die Spannarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Spannkraft
() auch als
geschrieben werden, wobei
die (oftmals
experimentell zu bestimmende) Federkonstante des Körpers angibt.
Beschleunigungsarbeit
Zur Überwindung der Trägheit ist eine Kraft notwendig. Die zugehörige Arbeit,
die bei einer Beschleunigung entlang einer Strecke auftritt, heißt
Beschleunigungsarbeit.
Definition:
Die Beschleunigungsarbeiteines zunächst ruhenden Körpers der Masse
ist proportional zum Quadrat der Endgeschwindigkeit
, die dieser erreicht:[2]
(5)¶
Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit und wird auf
eine Endgeschwindigkeit
beschleunigt, so beträgt die
Beschleunigungsarbeit
.
Rotationsarbeit
Zur Überwindung der Trägheit ist für eine Rotation ein Drehmoment notwendig. Die zugehörige Arbeit heißt Rotationsarbeit.
Definition:
Die Rotationsarbeiteines zunächst ruhenden Körpers mit Trägheitsmoment
ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit
, die dieser erreicht:
(6)¶
Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit
und wird auf eine Endgeschwindigkeit
beschleunigt, so
muss in Gleichung (6) anstelle
die
Differenz
beider
Winkelgeschwindigkeiten eingesetzt werden.
Goldene Regel der Mechanik¶
Während Kräfte durch entsprechende Hilfsmittel in ihrer Richtung oder ihrem Betrag geändert werden können, kann die für einen mechanischen Prozess nötige Arbeit nicht verringert werden; die Menge an Arbeit bleibt erhalten.
Bei Verwendung eines Kraftwandlers ist die aufgenommene Arbeit stets gleich der abgegebenen Arbeit (Reibung wird vernachlässigt):
Abgesehen von Reibungsverlusten bleibt das Produkt aus Weg und Kraft (entlang des Weges) stets konstant. Eine umgangssprachliche Formulierung für das Prinzip der Kraftwandlung („die goldene Regel der Mechanik“) lautet daher:
„Was an Kraft eingespart wird, muss an Weg zugesetzt werden.“
Beispiele:
Bei einer festen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft
gleich der wirksamen Kraft
. Der Weg der Kraft
ist gleich dem Weg der Kraft
. Somit gilt:
Bei einer losen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft
gleich der Hälfte der wirksamen Kraft
. Der Weg der Kraft
ist allerdings doppelt so groß wie der Weg der Kraft
. Insgesamt gilt:
Um einen Körper mit einer Gewichtskraft
auf eine Höhe
zu heben, ist die Hubarbeit
nötig. Verschiebt man ihn hingegen entlang des längeren Weges
einer schiefen Ebene nach oben, so ist die nötige Kraft
um das Verhältnis
geringer. Es gilt:
Anmerkungen:
[1] | Die Arbeits-Formel Im Fall einer sich kontinuierlich ändernden Kraft wird aus der Summe
|
[2] | Um die Formel für die Beschleunigungsarbeit |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Experimente und Übungsaufgaben.