Mechanische Arbeit¶

Wirkt eine Kraft auf einen Körper ein und bewirkt dabei eine Verformung, eine Beschleunigung oder ein Anheben des Körpers, so wird physikalische Arbeit verrichtet. Um die Größe der verrichteten Arbeit zu bestimmen, müssen der Betrag der Kraft und die Länge des Weges, entlang dessen die Kraft wirkt, bekannt sein.

Definition:

Die Arbeit $W$ ist das Produkt aus der in Richtung des Weges wirkenden Kraft $F$ und der zurückgelegten Wegstrecke $\Delta s$ :[1]

(1)¶ $W = F \cdot \Delta s_{\mathrm{\parallel}}$

Einheit:

Die Einheit der Arbeit ist nach Gleichung (1) das Produkt der Einheiten von Kraft und Weg. Sie wird nach James Prescott Joule kurzerhand Joule $\unit{(J)}$ genannt.

$\unit[1]{J} = \unit[1]{N } \cdot \unit[1]{m}$

Beispiele:

Die Gewichtskraft $F_{\mathrm{G}}$ einer Tafel Schokolade $( m = \unit[100]{g})$ entspricht in guter Näherung $\unit[1]{N}$ . Hebt man eine Tafel Schokolade einen Meter weit an (egal von welcher Position aus), so verrichtet man dabei eine Arbeit von $W = F_{\mathrm{G}} \cdot s = \unit[1]{N} \cdot \unit[1]{m} = \unit[1]{J}$ .
Hebt man $2, 3, 4, \ldots$ Tafeln Schokolade einen Meter weit an, so verrichtet man entsprechend eine Arbeit von $\unit[2, 3, 4, \ldots]{J}$ . Mit der gleichen Arbeit könnte man jeweils auch eine Tafel Schokolade um $\unit[2, 3, 4, \ldots]{m}$ anheben.
Um zwei Tafeln Schokolade zwei Meter weit anzuheben, muss man eine Arbeit von $\unit[2]{N} \cdot \unit[2]{m} = \unit[4]{N \cdot m} = \unit[4]{J}$ verrichten.

Unter der Bedingung, dass die Kraft konstant ist und in beliebiger, aber fester Richtung wirkt, gilt:

$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos{\alpha}$

Hierbei bezeichnet $\alpha$ den Winkel zwischen der wirkenden Kraft und der zurückgelegten Wegstrecke.

Arten mechanischer Arbeit¶

Bei mechanischen Prozessen sind die folgenden Arten mechanischer Arbeit von entscheidender Bedeutung:

Hubarbeit

Erfahrungsgemäß ist es einfacher, einen leichten Körper hoch zu heben als einen schweren. Doch auch beim Heben zweier gleich schwerer Körper gibt es Unterschiede: Je weiter man einen Körper hoch heben muss, desto mehr Arbeit ist dafür nötig.

Definition:

Die Hubarbeit $W_{\mathrm{Hub}}$ ist proportional zur Gewichtskraft $F_{\mathrm{ G}}$ eines angehobenen Körpers und zur Hubhöhe $h$ :

(2)¶ $W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h$

Die Hubarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Gewichtskraft ( $F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ ) auch als $W_{\mathrm{Hub}} = m \cdot g \cdot h$ geschrieben werden.

Reibungsarbeit

Um einen Körper auf einer waagrechten Ebene gleichförmig zu bewegen, muss der Reibungskraft eine gleich große Gegenkraft entgegenwirken.

Definition:

Die Reibungsarbeit $W_{\mathrm{Reib}}$ ist proportional zur Reibungskraft $F_{\mathrm{R}}$ und zur zurückgelegten Wegstrecke $\Delta s$ :

(3)¶ $W_{\mathrm{Reib}} = F_{\mathrm{R}} \cdot \Delta s$

Beim gleichzeitigen Auftreten mehrerer Reibungskräfte (beispielsweise Rollreibung und Luftwiderstand) entspricht $F_{\mathrm{R}}$ der Summe aller auftretenden Reibungskräfte.

Spannarbeit

Die Spannkraft, die ein elastischer Körper (beispielsweise eine Schraubenfeder) einer Stauchung oder Streckung entgegensetzt, ist nicht konstant, sondern nimmt gleichmäßig mit der Auslenkung zu:

Die anfängliche Spannkraft der Feder in der Ruhelage ist Null.
Wird die Feder um eine Wegstrecke $\Delta s$ ausgelenkt, so beträgt die Spannkraft der Feder $\Delta F_{\mathrm{S}} = -D \cdot \Delta s$ .

Entlang der Strecke $\Delta s$ muss im Durchschnitt nur die Hälfte der (maximalen) Spannkraft $F_{\mathrm{S}}$ am Auslenkungspunkt aufgewendet werden. Für die durchschnittlich nötige Kraft $\bar{F}_{\mathrm{S}}$ gilt also:

$\bar{F}_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{s}}$

Dies gilt allgemein für elastische Verformungen.

Definition:

Die zur Verformung eines elastischen Körpers (beispielsweise einer Schraubenfeder) nötige Spannarbeit $W_{\mathrm{Spann}}$ ist proportional zur durchschnittlichen Spannkraft $\bar{F}_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{S}}$ und der dazugehörigen Auslenkung $s$ :

(4)¶ $W_{\mathrm{Spann}} = \bar{F} _{\mathrm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{S}} \cdot s$

Die Spannarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Spannkraft ( $F_{\mathrm{S}} = - D \cdot s$ ) auch als $W_{\mathrm{Spannn}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$ geschrieben werden, wobei $D$ die (oftmals experimentell zu bestimmende) Federkonstante des Körpers angibt.

Beschleunigungsarbeit

Zur Überwindung der Trägheit ist eine Kraft notwendig. Die zugehörige Arbeit, die bei einer Beschleunigung entlang einer Strecke $s$ auftritt, heißt Beschleunigungsarbeit.

Definition:

Die Beschleunigungsarbeit $W_{\mathrm{B}}$ eines zunächst ruhenden Körpers der Masse $m$ ist proportional zum Quadrat der Endgeschwindigkeit $v$ , die dieser erreicht:[2]

(5)¶ $W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit $v_1$ und wird auf eine Endgeschwindigkeit $v_2$ beschleunigt, so beträgt die Beschleunigungsarbeit $W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 - v_1^2)$ .

Rotationsarbeit

Zur Überwindung der Trägheit ist für eine Rotation ein Drehmoment notwendig. Die zugehörige Arbeit heißt Rotationsarbeit.

Definition:

Die Rotationsarbeit $W_{\mathrm{rot}}$ eines zunächst ruhenden Körpers mit Trägheitsmoment $J$ ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ , die dieser erreicht:

(6)¶ $W_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2$

Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit $\omega_1$ und wird auf eine Endgeschwindigkeit $\omega_2$ beschleunigt, so muss in Gleichung (6) anstelle $\omega$ die Differenz $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ beider Winkelgeschwindigkeiten eingesetzt werden.

Goldene Regel der Mechanik¶

Während Kräfte durch entsprechende Hilfsmittel in ihrer Richtung oder ihrem Betrag geändert werden können, kann die für einen mechanischen Prozess nötige Arbeit nicht verringert werden; die Menge an Arbeit bleibt erhalten.

Bei Verwendung eines Kraftwandlers ist die aufgenommene Arbeit stets gleich der abgegebenen Arbeit (Reibung wird vernachlässigt):

$F_1 \cdot \Delta s_1 &= F_2 \cdot \Delta s_2 \\[6pt] W_1 &= W_2$

Abgesehen von Reibungsverlusten bleibt das Produkt aus Weg und Kraft (entlang des Weges) stets konstant. Eine umgangssprachliche Formulierung für das Prinzip der Kraftwandlung („die goldene Regel der Mechanik“) lautet daher:

„Was an Kraft eingespart wird, muss an Weg zugesetzt werden.“

Beispiele:

Bei einer festen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft $F_1$ gleich der wirksamen Kraft $F_2$ . Der Weg der Kraft $F_1$ ist gleich dem Weg der Kraft $F_2$ . Somit gilt:

$F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2$
Bei einer losen Rolle ist die zum Heben aufgewendete Kraft $F_1$ gleich der Hälfte der wirksamen Kraft $F_2$ . Der Weg der Kraft $F_1$ ist allerdings doppelt so groß wie der Weg der Kraft $F_2$ . Insgesamt gilt:

$F_1 &= \frac{1}{2} \cdot F_2{\color{white}\ldots} \\ s_1 &= 2 \cdot s_2 \\ \Rightarrow F_1 \cdot s_1 = \frac{1}{2} \cdot F_2 &\, \cdot \, 2 \cdot s_2 = F_2 \cdot s_2$
Um einen Körper mit einer Gewichtskraft $F_{\mathrm{G}}$ auf eine Höhe $h$ zu heben, ist die Hubarbeit $W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h$ nötig. Verschiebt man ihn hingegen entlang des längeren Weges $l$ einer schiefen Ebene nach oben, so ist die nötige Kraft $F$ um das Verhältnis $\frac{h}{l}$ geringer. Es gilt:

$F \cdot l = F_{\mathrm{G}} \cdot h$

Anmerkungen:

[1]

Die Arbeits-Formel $W = F \cdot s$ gilt streng genommen nur, wenn die wirkende Kraft F konstant ist. Ist die Kraft nur innerhalb einzelner Zeitabschnitte konstant, so muss man die Formel für jeden dieser Zeitabschnitte einzeln anwenden und die jeweiligen Teilbeträge summieren.

$W = \sum_{i}^{} F_{\mathrm{i}} \cdot \Delta s_{\mathrm{i}}$

Im Fall einer sich kontinuierlich ändernden Kraft wird aus der Summe $(\sum_{}^{})$ ein Integral $(\int_{}^{})$ .

[2]

Um die Formel für die Beschleunigungsarbeit $W_{\mathrm{B}}$ herzuleiten, geht man von der allgemeinen Definition der Arbeit $W = F \cdot s$ aus. Für die Kraft $F$ kann man das allgemeine Kraftgesetz $F = m \cdot a$ einsetzen. Für die Wegstrecke kann man die Bremsformel $v^2-v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s$ nach $s$ auflösen. Erfolgt die Beschleunigung aus dem Stillstand $(v_0=0)$ , so ist $s = \frac{v^2}{2 \cdot a}$ . Setzt man auch diesen Ausdruck in die allgemeine Definition der Arbeit ein, so erhält man: