Exponential- und Logarithmusfunktionen¶

Exponentialfunktionen¶

Exponentialfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(1)¶ $y = a ^x$

Dabei bezeichnet die „Basis“ $a>0$ eine beliebige, konstante Zahl. Üblicherweise wird zudem der Fall $a=1$ ausgeschlossen, da $1^x=1$ eine konstante Funktion liefert. Am weitesten verbreitet sind die Exponentialfunktionen mit den Basen $a=2$ , $a=e$ und $a=10$ .[1]

Beispiele von Exponentialfunktionen.

SVG: Exponentialfunktionen

Im Fall $0<a<1$ sind Exponentialfunktionen streng monoton fallend, im Fall $a>1$ streng monoton steigend. Alle Exponentialfunktionen haben den Punkt $(0,1)$ gemeinsam und nähern sich asymptotisch der $x$ -Achse an, ohne diese jemals zu berühren. Exponentialfunktionen haben somit keine Nullstellen und $s=0$ als untere Schranke. Die Funktionen $y=a^{-x}$ und $y=\left( \frac{1}{a}\right)^x$ sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der $y$ -Achse symmetrisch zur Funktion $y=a^x$ .[2]

Für Exponentialfunktionen sind die folgenden vier Rechenregeln für Potenzen von Bedeutung:

(2)¶ $a ^{x_1 + x_2} &= a ^{x_1} \cdot a ^{x_2} \\[4pt] a ^{x_1 - x_2} &= a ^{x_1} : a ^{x_2} \\[4pt] a ^{x_1 \;\cdot\, x_2} &= \left(a ^{x_1}\right)^{x_2} \\[4pt] {\color{white}1 \qquad\qquad }a ^{\frac{x_1}{x_2}} &= \sqrt[x_2\;]{a ^{x_1}} \quad \;(\text{mit } x_2 \ne 0)$

Eine besondere Bedeutung von Exponentialfunktionen $a^x$ mit $a > 1$ liegt darin, dass ihre Werte schneller wachsen als es bei einer Potenzfunktion $x^n$ mit beliebig großem (aber festem) $n$ der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte $n \in \mathbb{R} ^{+}$ und $a >1$ :

$\lim _{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n} = \infty$

Der Grund dafür liegt darin, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion selbst eine Exponentialfunktion ist: Nicht nur die Werte wachsen für $a>1$ somit exponentiell an, sondern auch die Zunahme der Werte nimmt in diesem Fall exponentiell zu.

Logarithmusfunktionen¶

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Sie haben allgemein folgende Funktionsgleichung:

(3)¶ $y = \log_{a}{(x)}$

Da Exponentialfunktionen eindeutig umkehrbar sind, gibt es zu jeder Exponentialfunktion eine entsprechende Logarithmusfunktion. Da der Definitionsbereich jeder Umkehrfunktion gleich dem Wertebereich der Originalfunktion ist, sind Logarithmen nur für $x>0$ definiert.

Beispiele von Logarithmusfunktionen.

SVG: Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind nur für $a>0$ und $a \ne 1$ definiert. Wie bei den Exponentialfunktionen, so sind auch bei den Logarithmusfunktionen die Basen $a=2$ , $a=e$ und $a=10$ am weitesten verbreitet; sie werden, wie bereits im Abschnitt Rechenregeln für Logarithmen beschrieben, als binärer, natürlicher und dekadischer Logarithmus bezeichnet:

$\text{lb}\,(x) &= \log_{2}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{dualer Logarithmus}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\;\; 1} \\ \ln{(x)} &= \log_{e}{(x)}\;\,: \quad \!\!\! \text{natürlicher Logarithmus} \\ \text{lg}\,(x) &= \log_{10}{(x)}: \quad \!\!\text{dekadischer Logarithmus}$

Im Fall $0 < a < 1$ sind Logarithmusfunktionen streng monoton fallend, im Fall $a > 1$ streng monoton steigend. Die einzelnen Logarithmusfunktionen können jeweils durch einen Basiswechsel in einen Logarithmus mit einer anderen Basis umgeformt werden. Es gilt dabei:

(4)¶ $\log_{a}{(x)} = \frac{\log_{b}{(x)}}{\log_{b}{(a)}}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\quad \ldots}$

Alle Logarithmusfunktionen sind unbeschränkt, haben den Punkt $(0,1)$ als einzige Nullstelle gemeinsam und nähern sich für $x \to 0$ asymptotisch der $y$ -Achse an. Die Funktionen $y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)}$ und $y=-\log_{a}{(x)}$ sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch zur Funktion $y=\log_{a}{(x)}$ .[3]

Für Logarithmusfunktionen sind die folgenden Rechenregeln von Bedeutung:

(5)¶ $\log_{a}{(x_1 \cdot x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} + \log_{a}{(x_2)} \\[4pt] \log_{a}{(x_1 : x_2)} &= \log_{a}{(x_1)} - \log_{a}{(x_2)} \\[4pt] \log_{a}{(x_1)^{x_2}} &= x_2 \cdot \log_{a}{(x_1)} \\[4pt] \log_{a}{(\sqrt[x_2\;]{x_1})} &= \frac{1}{x_2} \cdot \log_{a}{(x_1)} \quad \;(\text{mit } x_1,\, x_2 \ne 0)$

Eine besondere Bedeutung von Logarithmusfunktionen $\log_{a}{(x)}$ mit $a > 1$ liegt darin, dass ihre Werte langsamer wachsen als es bei einer Potenz- beziehungsweise Wurzelfunktion $x^n$ mit beliebig kleinem (aber festem) $n$ der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte $n \in \mathbb{R} ^{+}$ und $a >1$ :

$\lim _{x \to \infty} \frac{\log_{a}{(x)}}{x^n} = 0$

Der Grund dafür liegt darin, dass die Ableitung einer Logarithmusfunktion als Maß für die Steigung der jeweiligen Funktion sehr schnell gegen Null geht; beispielsweise ist für $x = 1\,000\,000$ der Wert der Wurzelfunktion $f(x) = x ^{\frac{1}{2}}$ gleich $(1\,000\,000) ^{\frac{1}{2}} = 1\,000$ , der Wert der Logarithmusfunktion $\log_{2}{(x)}$ beträgt für diesen Wert hingegen nur $\log_{2}{(1\,000\,000)} \approx 19,93$ . Dennoch ist der Grenzwert für $x \to \infty$ bei jeder Logarithmus-Funktion $f(x) = \log_{a}{(x)}$ mit $a > 1$ ebenfalls Unendlich.

Anmerkungen:

[1]	Dabei bezeichnet $e=2,71828182845...$ die „Eulersche Zahl“.

[2]	Die Identität von $y=a^{-x}$ und $y=\left( \frac{1}{a}\right)^x$ ergibt sich aus der Beziehung $a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \left( \frac{1}{a}\right)^x$ .

[3]

Die Identität von $y=\log_{\frac{1}{a}}{(x)}$ und $y=-\log_{a}{(x)}$ lässt sich mit Hilfe der folgenden beiden Beziehungen zeigen:

Als Spezialfall der Basisumrechnung von Logarithmen gilt für beliebige erlaubte Zahlen $a$ und $b$ :

$\log_{a}{(b)} = \frac{\log_{b}{(b)}}{\log_{b}{(a)}} = \frac{1}{\log_{b}(a)}{\color{white}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1}$

Hierbei wird die Identität $\log_{b}{(b)} = 1$ genutzt.
Ein Quotient als Argument eines Logarithmus kann als Differenz zweier Logarithmen dargestellt werden. Somit gilt:

$\log_{b}{\left( \frac{1}{a}\right)} = \log_{b}{(1)} - \log_{b}{(a)} = 0 - \log_{b}{(a)} = - \log_{b}{(a)}$

Hierbei wird die Identität $\log_{b}{(1)} = 0$ genutzt.