Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Ableitungen von Exponentialfunktionen

Eine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen kann mit Hilfe des Differentialquotienten hergeleitet werden. Für eine Exponentialfunktion f(x) = a^x gilt:

f'(x) = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{(x + \Delta x)} - a^x}{\Delta x}\right)

Mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen kann dieser Term weiter umgeformt werden. Es folgt:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{(x + \Delta x)} - a^x}{\Delta x}\right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}\right) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}\right) \cdot a^{x}

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist somit wieder eine Exponentialfunktion, die mit einem konstanten, jedoch von der Basis a abhängigen Faktor multipliziert wird. Es lässt sich ein bestimmter Wert a_0 finden, für den der genannte Faktor gleich 1 ist. Hierfür muss gelten:

\lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{a_0^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a_0 = \lim_{\Delta x \to 0} \left( 1 + \Delta x \right)^{\frac{1}{\Delta x}}

Dieser Grenzwert entspricht formal dem Grenzwert einer Folge \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} reeller Zahlen. Dieser Grenzwert konnte erstmals von Leonhard Euler bestimmt werden und wird zu dessen Ehren „Eulersche Zahl“ e genannt:

e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = 2,718281\ldots

Diese Zahl ist irrational und für die Mathematik von ähnlicher Bedeutung wie die Kreiszahl \pi: Ist nämlich die Eulersche Zahl e Basis einer Exponentialfunktion, ist also f(x) = e^x, so ist die Ableitungsfunktion mit der ursprünglichen Funktion identisch, es gilt in diesem Fall also:

(1)f(x) = e^x \quad \rightarrow \quad f'(x) = e^x

Die Funktion f(x) = e^x wird mitunter auch als „natürliche“ Exponentialfunktion bezeichnet.

Für beliebige Exponentialfunktionen lässt sich eine Ableitungsregel herleiten, indem man ausnutzt, dass Exponential- und Logarithmusfunktionen bei gleicher Basis a zueinander Umkehrfunktionen sind, also beispielsweise e ^{\ln{(a)}} = a gilt. Für eine allgemeine Exponentialfunktion kann folglich geschrieben werden:

f(x) = a^{x} = (e^{\ln{(a)}})^x = e^{x \cdot \ln{(a)}}

Um diese Funktion ableiten zu können, muss – wie schon im Abschnitt Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten die so genannte „Kettenregel“ genutzt werden:

  • Die Ableitung einer verketteten Funktion f(x) = f_1\big(f_2(x)\big) ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion:

    \Big(f_1\big(f_2(x)\big)\Big)' = \Big(f_1'\big(f_2(x)\big)\Big) \cdot f_2'(x)

    Beim Ableiten der äußeren Funktion wird die innere Funktion dabei unverändert gelassen.

Für die obige Gleichung f(x) = e^{x \cdot \ln{(a)}} entspricht f_1(x) = e^{x} der äußeren und f_2=\ln{(a)} \cdot x der inneren Funktion. Da \ln{(a)} = \text{konstant} ist, gilt:[1]

f'(x) = \underbrace{e^{x \cdot \ln{(a)}}}_{\text{Ableitung der äußeren Funktion}} \cdot \underbrace{\ln{(a)}}_{\text{Ableitung der inneren Funktion}}

Die natürliche Exponentialfunktion als äußere Funktion bleibt hierbei unverändert, die Ableitung der inneren Funktion f_2 = \ln{(a)} \cdot x = c \cdot x ergibt den Wert f_2'(x) = \ln{(a)}. Für Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis a gilt also:

(2)f(x) = a^{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \ln{(a)} \cdot a^x

In dieser Formel ist wegen \ln{(e)} = 1 der Sonderfall für die natürliche Exponentialfunktion enthalten.

Ableitungen von Logarithmusfunktionen

Um eine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen herzuleiten, wird eine weitere, als „Umkehrregel“ bezeichnete Ableitungsregel verwendet:

  • Die Ableitung \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} einer Funktion y=f(x) ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion f_{\mathrm{u}}(y):

    \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} \quad \text{beziehungsweise} f'(x) = \frac{1}{f_{\mathrm{u}}'(y)}

Im Fall einer Logarithmusfunktion ist y = f(x) = \log_{a}{(x)} und, wenn man beide Seiten als Potenz zur Basis a schreibt, x = f_{\mathrm{u}}(y) = a^{y} . Somit gilt nach der Ableitungsregel (2) für Exponentialfunktionen:

f_{\mathrm{u}}'(y) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = \ln{(a)} \cdot a^{y} = \ln{(a)} \cdot x

Für die Ableitung der Logarithmusfunktion gilt schließlich:

(3)f(x) = \log_{a}{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\ln{(a)} \cdot x}

Im Sonderfall der natürlichen Logarithmusfunktion \ln{(x)} = \log_{e}{(x)} ist \ln{(e)}=1 und somit:

(4)f(x) = \ln{(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}

Alle weiteren Ableitungen der Logarithmusfunktion lassen sich dann gemäß den Ableitungsregeln für gebrochenrationalen Funktionen bestimmen.

Anmerkungen:

[1]Um sich die Wirkung der Kettenregel im Detail vorstellen zu können, kann man an dieser Stelle auch z = x \cdot \ln(a) schreiben. Die äußere Funktion ist dann f_1(z) = e^{z}, deren Ableitung f_1'(z) = e^{z} = e^{x \cdot \ln{(a)}} ist.