Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen¶
Ableitungen von Exponentialfunktionen¶
Eine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen
kann mit Hilfe des Differentialquotienten hergeleitet werden. Für eine Exponentialfunktion gilt:
Mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen kann dieser Term weiter umgeformt werden. Es folgt:
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist somit wieder eine
Exponentialfunktion, die mit einem konstanten, jedoch von der Basis
abhängigen Faktor multipliziert wird. Es lässt sich ein bestimmter Wert
finden, für den der genannte Faktor gleich
ist. Hierfür
muss gelten:
Dieser Grenzwert entspricht formal dem Grenzwert einer Folge reeller Zahlen. Dieser Grenzwert konnte erstmals von
Leonhard Euler bestimmt
werden und wird zu dessen Ehren „Eulersche Zahl“
genannt:
Diese Zahl ist irrational und für die Mathematik von ähnlicher Bedeutung wie
die Kreiszahl : Ist nämlich die Eulersche Zahl
Basis einer
Exponentialfunktion, ist also
, so ist die Ableitungsfunktion
mit der ursprünglichen Funktion identisch, es gilt in diesem Fall also:
(1)¶
Die Funktion wird mitunter auch als „natürliche“
Exponentialfunktion bezeichnet.
Für beliebige Exponentialfunktionen lässt sich eine Ableitungsregel herleiten,
indem man ausnutzt, dass Exponential- und Logarithmusfunktionen bei gleicher
Basis zueinander Umkehrfunktionen sind, also beispielsweise
gilt. Für eine allgemeine Exponentialfunktion kann folglich
geschrieben werden:
Um diese Funktion ableiten zu können, muss – wie schon im Abschnitt Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten die so genannte „Kettenregel“ genutzt werden:
Die Ableitung einer verketteten Funktion
ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion:
Beim Ableiten der äußeren Funktion wird die innere Funktion dabei unverändert gelassen.
Für die obige Gleichung entspricht
der äußeren und
der
inneren Funktion. Da
ist, gilt:[1]
Die natürliche Exponentialfunktion als äußere Funktion bleibt hierbei
unverändert, die Ableitung der inneren Funktion ergibt den Wert
. Für
Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis
gilt also:
(2)¶
In dieser Formel ist wegen der Sonderfall für die natürliche
Exponentialfunktion enthalten.
Ableitungen von Logarithmusfunktionen¶
Um eine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen herzuleiten, wird eine weitere, als „Umkehrregel“ bezeichnete Ableitungsregel verwendet:
Die Ableitung
einer Funktion
ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion
:
Im Fall einer Logarithmusfunktion ist und, wenn
man beide Seiten als Potenz zur Basis
schreibt,
. Somit gilt nach der Ableitungsregel
(2) für Exponentialfunktionen:
Für die Ableitung der Logarithmusfunktion gilt schließlich:
(3)¶
Im Sonderfall der natürlichen Logarithmusfunktion ist
und somit:
(4)¶
Alle weiteren Ableitungen der Logarithmusfunktion lassen sich dann gemäß den Ableitungsregeln für gebrochenrationalen Funktionen bestimmen.
Anmerkungen:
[1] | Um sich die Wirkung der Kettenregel im Detail vorstellen zu können, kann
man an dieser Stelle auch ![]() ![]() ![]() |