Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen

Ableitungen von ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion hat allgemein folgende Form:

f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i = a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} + \ldots + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x^1 + a_0

Um die Ableitung einer solchen Funktion zu bestimmen, müssen folgende zwei Ableitungsregeln verwendet werden:

  • Wird eine Funktion f(x) mit einem konstanten Faktor c multipliziert, so bleibt dieser Faktor beim Ableiten unverändert erhalten. Für die Ableitung gilt somit:

    \big( c \cdot f(x) \big)' = c \cdot f'(x)

    Ist c negativ, so ist die Funktion gegenüber der ursprünglichen Funktion an der x-Achse gespiegelt. In diesem Fall hat auch die Steigung ein umgekehrtes Vorzeichen.

  • Besteht eine Funktion f(x) aus einer Summe von Einzelfunktionen f_1(x),\,f_2(x),\, \ldots, so ist die Ableitung gleich der Summe der Ableitungen der Einzelfunktion. Es gilt also:

    \big( f_1(x) + f_2(x) \big)' = f_1'(x) + f_2'(x)

Mit den obigen Regeln und den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen ergibt sich somit für die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades:

f'(x) = n \cdot a_n \cdot x ^{n-1} + (n-1) \cdot a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-2} + \ldots + 3 \cdot a_3 \cdot x^2 + 2 \cdot a_2 \cdot x^1 + a_1

Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades ist somit eine ganzrationale Funktion (n-1)-ten Grades. Leitet man die Funktion ein zweites mal ab, so wird der Grad der Ableitungsfunktion wiederum um 1 niedriger. Für die zweite Ableitung gilt entsprechend:

f''(x) = n \cdot (n-1) \cdot a_n \cdot x ^{n-2} + (n-1) \cdot (n-2) \cdot a_{\mathrm{n-1}} \cdot x^{n-3} + \ldots + 3 \cdot 2 \cdot a_3 \cdot x^1 + 2 \cdot a_2

Insgesamt lässt sich eine ganzrationale Funktion n-ten Grades also n mal ableiten; alle weiteren Ableitungen sind gleich Null.

Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion hat allgemein folgende Form:

f(x) = \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i}{\sum_{k=0}^{m} b_k \cdot x^k} = \frac{a_{\mathrm{n}} \cdot x^n + a_{\mathrm{n-1}} \cdot x ^{n-1} +\ldots + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0}{b_{\mathrm{m}} \cdot x^m +b_{\mathrm{m-1}} \cdot x ^{m-1} + \ldots + b_2 \cdot x^2 + b_1 \cdot x + a_0}

Gebrochenrationale Funktionen bestehen also aus einem Zählerpolynom Z(x) mit Grad n und einem Nennerpolynom N(x) mit Grad m; die Grade des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms unterscheiden sich also um n-m. Um eine solche Funktion ableiten zu können, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden:

  • Besteht eine Funktion f(x) aus einem Quotienten zweier Einzelfunktionen f_1(x) und f_2(x), so lässt sich die Ableitung von f(x) nach folgender Regel berechnen:

    \left(\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right)' = \frac{f_1'(x) \cdot f_2(x) - f_1(x) \cdot f_2'(x)}{\big(f_2(x)\big)^2}

Für die Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion gilt also:

(1)f'(x) = \frac{Z'(x) \cdot N(x) - N'(x) \cdot Z}{\big(N(x)\big)^2}

Die Ableitungen des Zähler- bzw. Nennerpolynoms werden dabei gemäß den Regeln für Ableitungen ganzrationaler Funktionen gebildet. Das Ergebnis ist hierbei wiederum eine gebrochenrationale Funktion, wobei sich die Grade des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms der Ableitung um n-m-1 unterscheiden.

Echt gebrochen-rationale Funktionen mit n < m lassen sich somit unbegrenzt oft ableiten, wobei die einzelnen Ableitungen niemals gleich Null sind.

Ableitungen von Hyperbelfunktionen

Hyperbeln, also Funktionen der Form f(x) = \frac{1}{x^n}, sind der einfachste Sonderfall von gebrochenrationalen Funktionen. Für ihre Ableitung gilt:

\left( \frac{1}{x^n}\right)' = \frac{0 \cdot x^n - n \cdot x ^{n-1} \cdot 1}{\left(x ^{n}\right)^2} = \frac{- n \cdot x ^{n-1}}{x ^{2 \cdot n}} = - n \cdot x ^{(n-1) - 2 \cdot n} = -n \cdot x ^{-n -1}

Schreibt man für die Hyperbelfunktion f(x) = \frac{1}{x^n} = x ^{-n}, so zeigt sich, dass die Ableitungen entsprechend der Ableitungsregel für Potenzfunktionen gebildet werden können:

(2)\left( x^{-n} \right)' = -n \cdot x ^{-n -1}

Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen gilt also nicht nur für positive rationale Werte von n, sondern allgemein für negative ganzzahlige Werte von n.

Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten

Um zu zeigen, dass die Ableitungsregel für Potenzfunktionen allgemein für jede rationale Zahl n = \frac{p}{q} mit p,q \in \mathbb{Z} gilt, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden:

  • Besteht eine Funktion f(x) aus einer Verkettung zweier Einzelfunktionen f_1(x) und f_2(x), so lässt sich die Ableitung von f(x) nach der so genannten „Kettenregel“ berechnen:

    \Big(f_1\big(f_2(x)\big)\Big)' = \Big(f_1'\big(f_2(x)\big)\Big) \cdot f_2'(x)

    Dabei wird zunächst die äußere Funktion abgeleitet, die innere Funktion bleibt dabei unverändert. Anschließend wird der sich ergebende Term mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Für die Ableitung einer Potenzfunktion f(x) = x ^{\frac{p}{q}} mit rationalem Exponenten n = \frac{p}{q} gilt damit:

\left( x ^{\frac{p}{q}}\right)' = \left(\left( x ^{\tiny{p}}\right) ^{\frac{1}{q}}\right)' &= \frac{1}{q} \cdot \left( x ^{p}\right) ^{\left(\frac{1}{q} - 1\right)} \cdot p \cdot x ^{(p-1)} \\ & = \frac{p}{q} \cdot x ^{p \cdot \left( \frac{1}{q} - 1\right)} \cdot x ^{(p-1)} \\ &= \frac{p}{q} \cdot x ^{\left( \frac{p}{q} - p\right) + (p - 1)} \\ &= \frac{p}{q} \cdot x ^{\left(\frac{p}{q} - 1 \right)} \qquad \checkmark

Hierbei werden die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln genutzt und f_1(x)=x ^{\frac{1}{q}} als „äußere“ sowie f_2(x)=x^p als „innere“ Funktion interpretiert. Beim Ableiten der äußeren Funktion bleibt die innere Funktion als eigener Term unverändert. Das Ergebnis wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert, was umgangssprachlich als „Nachdifferenzieren“ bezeichnet wird. Ein Zusammenfassen der einzelnen Terme führt schließlich zum gesuchten Endergebnis.