Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen¶
Ableitungen von ganzrationalen Funktionen¶
Eine ganzrationale Funktion hat allgemein folgende Form:
Um die Ableitung einer solchen Funktion zu bestimmen, müssen folgende zwei Ableitungsregeln verwendet werden:
Wird eine Funktion
mit einem konstanten Faktor
multipliziert, so bleibt dieser Faktor beim Ableiten unverändert erhalten. Für die Ableitung gilt somit:
Ist
negativ, so ist die Funktion gegenüber der ursprünglichen Funktion an der
-Achse gespiegelt. In diesem Fall hat auch die Steigung ein umgekehrtes Vorzeichen.
Besteht eine Funktion
aus einer Summe von Einzelfunktionen
, so ist die Ableitung gleich der Summe der Ableitungen der Einzelfunktion. Es gilt also:
Mit den obigen Regeln und den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen ergibt sich somit für die erste
Ableitung einer ganzrationalen Funktion -ten Grades:
Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion -ten Grades ist somit eine
ganzrationale Funktion
-ten Grades. Leitet man die Funktion ein
zweites mal ab, so wird der Grad der Ableitungsfunktion wiederum um
niedriger. Für die zweite Ableitung gilt entsprechend:
Insgesamt lässt sich eine ganzrationale Funktion -ten Grades also
mal ableiten; alle weiteren Ableitungen sind gleich Null.
Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen¶
Eine gebrochenrationale Funktion hat allgemein folgende Form:
Gebrochenrationale Funktionen bestehen also aus einem Zählerpolynom
mit Grad
und einem Nennerpolynom
mit Grad
; die
Grade des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms unterscheiden sich also um
. Um eine solche Funktion ableiten zu können, muss eine weitere
Ableitungsregel verwendet werden:
Besteht eine Funktion
aus einem Quotienten zweier Einzelfunktionen
und
, so lässt sich die Ableitung von
nach folgender Regel berechnen:
Für die Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion gilt also:
(1)¶
Die Ableitungen des Zähler- bzw. Nennerpolynoms werden dabei gemäß den Regeln
für Ableitungen ganzrationaler Funktionen gebildet. Das Ergebnis ist hierbei
wiederum eine gebrochenrationale Funktion, wobei sich die Grade des
Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms der Ableitung um
unterscheiden.
Echt gebrochen-rationale Funktionen mit lassen sich somit
unbegrenzt oft ableiten, wobei die einzelnen Ableitungen niemals gleich Null
sind.
Ableitungen von Hyperbelfunktionen
Hyperbeln, also Funktionen der Form , sind der einfachste Sonderfall von gebrochenrationalen
Funktionen. Für ihre Ableitung gilt:
Schreibt man für die Hyperbelfunktion ,
so zeigt sich, dass die Ableitungen entsprechend der Ableitungsregel für
Potenzfunktionen gebildet werden
können:
(2)¶
Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen gilt also nicht nur für positive
rationale Werte von , sondern allgemein für negative ganzzahlige Werte
von
.
Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Um zu zeigen, dass die Ableitungsregel für Potenzfunktionen allgemein für
jede rationale Zahl mit
gilt, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden:
Besteht eine Funktion
aus einer Verkettung zweier Einzelfunktionen
und
, so lässt sich die Ableitung von
nach der so genannten „Kettenregel“ berechnen:
Dabei wird zunächst die äußere Funktion abgeleitet, die innere Funktion bleibt dabei unverändert. Anschließend wird der sich ergebende Term mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.
Für die Ableitung einer Potenzfunktion mit
rationalem Exponenten
gilt damit:
Hierbei werden die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln genutzt und als „äußere“
sowie
als „innere“ Funktion interpretiert. Beim Ableiten der
äußeren Funktion bleibt die innere Funktion als eigener Term unverändert. Das
Ergebnis wird anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert,
was umgangssprachlich als „Nachdifferenzieren“ bezeichnet wird. Ein
Zusammenfassen der einzelnen Terme führt schließlich zum gesuchten Endergebnis.