Eigenschaften von Funktionen¶

Funktionen lassen sich anhand verschiedener Eigenschaften unterteilen. Wichtige Eigenschaften, die dabei von Bedeutung sind, werden im folgenden Abschnitt kurz zusammengefasst.[1]

Definitions- und Wertemenge¶

Die Menge an möglichen Werten, welche die Ausgangsgröße („Variable“) $x$ annehmen kann, nennt man Definitionsmenge $\mathbb{D}$ . Entsprechend bezeichnet man die Menge an Werten, welche die Funktion $y = f(x)$ als Ergebnisse liefert, als Wertemenge $\mathbb{W}$ .

Eine Funktion weist jedem Wert der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ je einen eindeutigen Wert der Wertemenge $\mathbb{W}$ zu.

SVG: Definitionsmenge und Wertemenge

Bisweilen müssen einzelne Werte oder Intervalle aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, um ein stets eindeutiges Verhalten der Funktion zu gewährleisten.

Beispiele:

Bei der gebrochen-rationalen Funktion $f(x) = \frac{x}{x-1}$ muss der Wert $x=1$ aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, da hierbei ansonsten durch Null dividiert würde.
Bei der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ müssen alle Werte von $]-\infty ;\; 0[$ ausgeschlossen werden, da die Wurzel nur für positive $x$ -Werte definiert ist.

Einzelne aus der Definitionsmenge ausgeschlossenen Werte nennt man Definitionslücken. Müssen hingegen Intervalle aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, so bezeichnet man die verbleibende Definitionsmenge häufig als Definitionsbereich und gibt sie ebenfalls als Vereinigungsmenge von Intervallen an.

Im Folgenden werden ausschließlich „reellwertige“ Funktionen untersucht, das heißt Vorschriften, die den reellen Werten einer (unabhängigen) Variablen $x$ ebenfalls reelle Werte der (von $x$ abhängigen) Variablen $y$ zuweisen. Hierbei gilt, sofern keine weiteren Einschränkungen zu beachten sind, somit $\mathbb{D} = \mathbb{W} = \mathbb{R}$ .[2]

Darstellungen von Funktionen¶

Funktionen lassen sich im Allgemeinen auf drei verschiedene Arten darstellen:

als Wertetabelle,
als Graph in einem Koordinatensystem, und
in Form einer Funktionsgleichung.

Wertetabellen sind dann sinnvoll, wenn einzelne Wertepaare $(x \,,\, y)$ vorliegen, was insbesondere bei empirisch ermittelten (Mess-)Daten häufig der Fall ist. Bei einer großen Anzahl von Wertepaaren können tabellarische Darstellungen jedoch – ohne die Verwendung von Computern – schnell unübersichtlich werden. Ein zweiter Nachteil liegt darin, dass fehlende Funktionswerte zwischen zwei Wertepaaren nur durch Mittelwertbildung („Interpolation“) abgeschätzt werden können.

Darstellung eines funktionalen Zusammenhangs mittels einer Wertetabelle.

SVG: Wertetabelle

Bei graphischen Darstellungen werden die einzelnen Wertepaare $(x \,,\, y)$ in eindeutiger Weise auf Punkte eines Koordinatensystems abgebildet.[3] Sind die Abstände zwischen den Wertepaaren nur sehr gering, so kann der funktionale Zusammenhang graphisch durch eine Kurve veranschaulicht werden. Dies ermöglicht oftmals ein schnelles Ablesen der Funktionswerte (zumindest näherungsweise). Beispielsweise kann auf diese Weise an Oszilloskopen oder Kardiogrammen der zeitliche Verlauf eines elektrischen Spannungssignals direkt beobachtet werden.[4]

Darstellung von Wertepaaren mittels eines Diagramms (Beispiel: Tageslänge im Jahresverlauf am 50. Breitengrad).

SVG: Wertepaare als Diagramm

Wie das Bild einer Funktion bei einer graphischen Darstellung konkret aussieht, hängt auch von der Wahl des Koordinatensystems, insbesondere von der Skalierung der Achsen ab. Weisen beispielsweise die $x$ - und die $y$ -Achse unterschiedliche Skalierungen auf, so erscheint das Funktionsbild verzerrt.

Zur rechnerischen Untersuchung einer Funktion wird die „analytische“ Form, also eine Darstellung als Funktionsgleichung bevorzugt. Eine Funktionsgleichung kann wiederum bei Bedarf jederzeit in eine Wertetabelle oder eine graphische Form gebracht werden. Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Funktionsgleichungen:

Bei der expliziten Form ist die Funktionsgleichung nach der (abhängigen) Variablen $y$ aufgelöst.

Beispiel:

$y = 2 \cdot x^3 - 5$
Bei einer impliziten Form treten die unabhängige Variable $x$ und die abhängige Variable $y$ auf der gleichen Seite der Gleichung auf; die Gleichung hat damit die Form $f(x,y) = 0$ .

Beispiel:

$2 \cdot x^3 - y + 5 = 0$

Nicht jede Funktion kann in einer nach $y$ aufgelösten Form dargestellt werden, beispielsweise $x + y + \sin{(y)} = 0$ . Sofern möglich, wird im Allgemeinen die explizite Darstellungsform $y=f(x)$ bevorzugt.[5]

Surjektivität, Injektivität und Bijektivität¶

Die Unterscheidung von surjektiven, injektiven und bijektiven Funktionen ermöglicht eine wichtige Einteilung von Funktionen.

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge $\mathbb{W}$ mindestens einmal als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge mindestens einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.

Beispiel einer surjektiven Funktion (Sinus).

SVG: Surjektive Funktion

Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur $x$ -Achse parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebereich mindestens einmal schneidet.

Beispiel:

Die Sinus-Funktion $f(x) = \sin{(x)}$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und der Wertemenge $\mathbb{W} = [-1 ;\; +1]$ ist surjektiv. Der Funktionsgraph wird von jeder zur $x$ -Achse parallelen Geraden zwischen $y=-1$ und $y=1$ mindestens einmal geschnitten.

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge $\mathbb{W}$ höchstens einmal als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge maximal einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.

Beispiel einer injektiven Funktion $(y = 2^x)$ .

SVG: Injektive Funktion

Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur $x$ -Achse parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebereich höchstens einmal schneidet.

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = 2^x$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und der Wertemenge $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ ist injektiv. Der Funktionsgraph wird von jeder zur $x$ -Achse parallelen Geraden im positiven Wertebereich $(y>0)$ genau einmal, im negativen Wertebereich $(y<0)$ überhaupt nicht geschnitten.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge $\mathbb{W}$ genau einmal als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge genau einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.[6]

Beispiel einer bijektiven Funktion $(y = x^3)$ .

SVG: Bijektive Funktion

Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur $x$ -Achse parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebereich genau einmal schneidet.

Beispiel:

Die Funktion $f(x) = x^3$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und der Wertemenge $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ ist bijektiv; der Funktionsgraph wird von jeder zur $x$ -Achse parallelen Geraden im gesamten Wertebereich genau einmal geschnitten.

Jede surjektive oder injektive Funktion kann durch eine geeignete Einschränkung der Definitions- beziehungsweise Wertemenge zu einer entsprechenden bijektiven Funktion gemacht werden.[7]

Umkehrbarkeit einer Funktion¶

Eine Funktion ist eine mathematische Beschreibung dafür, welche „Ursache“ $x$ innerhalb eines Prozesses eine bestimmte Wirkung $y$ hervorruft. Ein derartiger Zusammenhang ist nur dann sinnvoll, wenn die Zuweisung eines beliebigen Wertes der Ausgangsgröße $x$ zu einem Ergebniswert $y = f(x)$ stets eindeutig ist, ein $x$ -Wert also nicht zwei verschiedene $y$ -Werte als Ergebnis liefern kann.

$y = f(x)$

Umgekehrt ist es jedoch möglich, dass verschiedene $x$ -Werte den gleichen $y$ -Wert als Ergebnis liefern.

Beispiele:

Unterschiedliche Körper können eine gleich große Masse besitzen. Ein einzelner Körper hingegen besitzt stets nur einen einzigen, eindeutigen Wert für die Größe seiner Masse.
In einem Obstladen kostet eine bestimmte Sorte Äpfel (zu einem bestimmten Zeitpunkt) einen eindeutigen Preis je Menge. Unabhängig davon, wie viele Äpfel ein Kunde tatsächlich kauft, ist der zu zahlende Gesamtbetrag dadurch eindeutig festgelegt. Der gleiche Preis je Menge kann gleichzeitig allerdings auch für eine andere Obstsorte gelten.

Im Allgemeinen sind Funktionen somit nicht „umkehrbar“, es lässt sich also nicht für jede Funktion eine Zuordnung finden, die jedem beliebigen $y$ -Wert auf eindeutige Weise einen $x$ -Wert zuweist. Eine Funktion besitzt diese Eigenschaft genau dann, wenn sie bijektiv ist. Ist eine Funktion nicht bijektiv, so muss sie zuerst durch Einschränkung ihrer Definitions- beziehungsweise Wertemenge zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.

Bestimmung der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion $f_{\mathrm{U}}$ einer Funktion $f$ findet man, indem man die ursprüngliche Funktionsgleichung $y=f(x)$ nach $x$ auflöst und anschließend die Variablen $x$ und $y$ vertauscht.

Beispiel:

Die Umkehrfunktion $f_{\mathrm{U}}$ der Funktion $f(x) = 2 \cdot x + 3$ lässt sich berechnen, indem zunächst die Funktionsgleichung nach $x$ aufgelöst wird:

$y = 2 \cdot x + 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{1}{2} \cdot (y -3)$

Multipliziert man in der rechten Gleichung die Klammer aus und vertauscht die Bezeichnungen der Variablen $x$ und $y$ , so folgt für die Umkehrfunktion $f_{\mathrm{U}}$ :

$y = \frac{1}{2} \cdot x - 1,5$

Bildet man nach dem gleichen Prinzip erneut die Umkehrfunktion einer Umkehrfunktion, so erhält man wieder die ursprüngliche Funktion zurück.

Graph einer Funktion $(y=2 \cdot x + 3)$ und ihrer Umkehrfunktion $(y = \frac{1}{2} \cdot x - 1,5)$ .

SVG: Funktion und Umkehrfunktion

Im gleichen Koordinatensystem werden eine Funktion $y = f(x)$ und ihre Umkehrfunktion $y = f_{\mathrm{U}}(y)$ durch einen gleichen Funktionsgraphen dargestellt, wenn lediglich die Benennung der $x$ - und $y$ -Achse (Argument- und Funktionswerte) ausgetauscht werden. Sollen die Bezeichnungen der $x$ - und $y$ -Achse hingegen bestehen bleiben, so sind die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion stets achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten.

Monotonie und Beschränktheit¶

Die Untersuchung einer Funktion auf Monotonie, Beschränktheit, Grenzwerte und Stetigkeit ermöglicht es im Bereich der Analysis, weiter reichende Aussagen über die Funktion, beispielsweise das Aussehen des Funktionsgraphen, zu treffen.

Monotonie

In gleicher Weise wie bei Zahlenfolgen stellt auch bei Funktionen die Monotonie eine wichtige charakteristische Eigenschaft einer Funktion dar.

Gilt für alle Elemente $x_1 < x_2$ aus dem Definitionsbereich einer Funktion auch $f(x_1) \le f(x_2)$ , so heißt die Funktion monoton steigend. Entsprechend heißt eine Funktion monoton fallend, wenn für die Funktionswerte aller $x_1 < x_2$ die Bedingung $f(x_1) > f(x_2)$ gilt. Bei einer konstanten Funktion sind die Funktionswerte $f(x)$ für alle $x$ konstant.

Es gilt somit für jede Funktion $f(x)$ und $x_1 < x_2$ :

$f(x_1) &\le f(x_2) \text{\;\; für alle $n$} \quad \rightarrow \quad \text{$f(x)$ ist monoton zunehmend. } \\ f(x_1) &\ge f(x_2) \text{\;\; für alle $n$} \quad \rightarrow \quad \text{$f(x)$ ist monoton abnehmend. } \\ f(x_1) &= f(x_2) \text{\;\; für alle $n$} \quad \rightarrow \quad \text{$f(x)$ ist konstant. }$

Gilt bei der obigen Unterscheidung anstelle der Kleiner-Gleich-Relation $\le$ die Kleiner-Relation $<$ beziehungsweise anstelle der Größer-Gleich-Relation $\ge$ die Größer-Relation $>$ , so nennt man die Funktion streng monoton ab- beziehungsweise zunehmend. Jede streng monoton steigende Funktion ist bijektiv und somit umkehrbar; die Umkehrfunktion hat dabei die gleiche Monotonie wie die ursprüngliche Funktion.

Beschränktheit

Eine Funktion $f(x)$ wird beschränkt genannt, wenn es zwei reelle Zahlen $s$ und $S$ gibt, so dass alle Funktionswerte $y = f(x)$ zwischen beiden begrenzenden Zahlen liegen, wenn also gilt:

$s \le f(x) \le S \text{\;\; für alle } x \in \mathbb{D}$

Hierbei wird $s$ als untere Schranke und $S$ als obere Schranke der Funktion bezeichnet.

Eine Funktion kann in einem bestimmten Bereich auch nur einseitig eine untere oder eine obere Schranke aufweisen. Beispielsweise gilt für alle Werte der Funktion $f(x) = -x^4 + 2 \cdot x^2 + 3$ die Ungleichung $f(x) \le 4$ , so dass jede Zahl $\ge 4$ eine obere Schranke der Funktion darstellt. Es lässt sich jedoch keine untere Schranke für die gleiche Funktion definieren, da sie im negativen Bereich betraglich unendlich große Werte annimmt.

Beispiel einer einseitig beschränkten Funktion $(y = -x^4 + 2 \cdot x^2 + 3)$ .

SVG: Beschränktheit einer Funktion

Hat eine Funktion in einem bestimmten Bereich weder eine obere noch eine untere Schranke, so heißt die Funktion in diesem Bereich unbeschränkt.

Grenzwerte einer Funktion¶

Die Werte einer Funktion können sich – abhängig vom Funktionstyp – ebenso wie die Werte einer Zahlenfolge mit zunehmenden $x$ -Werten einem bestimmten Zahlenwert annähern. Eine Funktion besitzt genau dann einen solchen Grenzwert, wenn sie monoton und beschränkt ist.

Grenzwerte für $x \to \infty$ und $x \to -\infty$

Grenzwerte von Funktionen werden ebenfalls in sehr ähnlicher Weise wie Grenzwerte von Folgen definiert. Während jedoch der „Definitionsbereich“ von Folgen auf die natürlichen Zahlen beschränkt ist und somit nur ein Grenzwert für $x \to \infty$ existieren kann, können die $x$ -Werte von Funktionen sowohl im positiven wie auch im negativen Zahlenbereich unendlich groß werden; es lässt sich daher ein Grenzwert sowohl für $x \to \infty$ wie auch für $x \to -\infty$ definieren.

Ein Grenzwert einer Funktion für $x \to \infty$ existiert genau dann, wenn sich für immer größere $x$ -Werte die zugehörigen $y$ -Werte immer mehr an einen bestimmten Wert $g$ annähern. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle $x$ -Werte ab einer gewissen Zahl $x_0$ das Konvergenzkriterium erfüllt ist, also die Differenz von $f(x) - g$ beliebig klein wird. Für jeden noch so kleinen Wert $\varepsilon$ muss also gelten:

(1)¶ $| f(x) - g | < \varepsilon \; \text{ für alle } \; x > x_0 \quad \Leftrightarrow \quad g \text{ ist Grenzwert von } f(x)$

Anschaulich besagt diese Bedingung, dass man sich einen beliebig dünnen „Schlauch“ (eine so genannte $\varepsilon$ -Umgebung) um den Grenzwert $a$ herum denken kann und dann alle Funktionswerte ab einem bestimmten $x$ -Wert innerhalb dieser Umgebung liegen müssen.[8]

Existiert ein Grenzwert $g$ einer Funktion für beliebig große negative beziehungsweise positive $x$ -Werte, so schreibt man:

(2)¶ $\text{Grenzwert für unendlich große, negative $x$-Werte}: \lim_{x \to -\infty} f(x) &= g_1 \\ \text{Grenzwert für unendlich große,\, positive $x$-Werte}: \lim_{x \to +\infty} f(x) &= g_2$

Existiert für eine Funktion $f(x)$ einer der beiden obigen Grenzwerte, so nennt man die Funktion „konvergent“ für $x \to -\infty$ beziehungsweise $x \rightarrow +\infty$ . Ebenso ist es möglich, dass eine Funktion keinen Grenzwert für $x \rightarrow \pm \infty$ besitzt; in diesem Fall nennt man sie divergent.

Beispiele:

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ (eine so genannte „Hyperbelfunktion“) ist für $x \rightarrow \infty$ konvergent zum Grenzwert Null. Für $x \rightarrow -\infty$ ist der Grenzwert ebenfalls gleich Null. Es gilt also:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( \frac{1}{x} \right) = 0$
Die Funktion $f(x) = \frac{x}{x+1}$ ist für $x \rightarrow \pm \infty$ konvergent zum Grenzwert $1$ . Es gilt also:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( \frac{x}{x + 1}\right) = 1$
Die Funktion $f(x) = x^2$ (eine „Parabel“) ist divergent, sie hat keinen Grenzwert.

Werden die Funktionswerte einer divergierenden Funktion mit zunehmenden $x$ -Werten unendlich groß, so bezeichnet man $\infty$ als „uneigentlichen“ Grenzwert – tatsächlich existiert in diesem Fall keine bestimmte Zahl $g$ als obere Schranke, wie sie für einen Grenzwert eigentlich existieren muss.

Grenzwert für $x \to x_0$

Grenzwerte von Funktionen können nicht nur für unendlich große negative beziehungsweise positive $x$ -Werte betrachtet werden; es ist ebenso möglich zu prüfen, ob ein Grenzwert existiert, wenn sich die $x$ -Werte einem frei wählbaren Wert $x_0$ annähern. Existiert ein solcher Grenzwert $g$ , so schreibt man:

(3)¶ $\lim_{x \to x_0} f(x) = g$

Ist die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ definiert, so ist ihr Grenzwert an dieser Stelle gleich ihrem Funktionswert, es gilt also $f(x_0) = g$ für $x_0 \in \mathbb{D}$ . Der obige Grenzwert kann allerdings auch dann existieren, wenn die Funktion an der Stelle $x_0$ nicht definiert ist. Vor allem an den Grenzen des Definitionsbereichs $\mathbb{D}$ (beispielsweise an Definitionslücken) werden Funktionen deshalb häufig auf mögliche Grenzwerte untersucht.

Sofern möglich, nähert man dazu die $x$ -Werte der Stelle $x_0$ sowohl von links als auch von rechts an; man untersucht also das Verhalten der Funktion an den Stellen $x_0 - \delta$ und $x_0 + \delta$ , wobei $\delta$ eine möglichst kleine Zahl ist. Man bildet also folgende Grenzwerte:

$g_{\mathrm{-}} = \lim_{\substack{x \to (x_0-h), \\ h \to 0}} \big(f(x)\big) \\[4pt] g_{\mathrm{+}} = \lim_{\substack{x \to (x_0+h), \\ h \to 0}} \big(f(x)\big)$

Entsprechend bezeichnet man die beiden zugehörigen Grenzwerte $g_{-}$ und $g_{+}$ als „linksseitig“ beziehungsweise „rechtsseitig“.

Rechenregeln für Grenzwerte

Für das Rechnen mit Grenzwerten gibt es folgende Rechenregeln:

(4)¶ $\lim \big(f_1(x) \pm f_2(x)\big) &= \lim \big(f_1(x)\big) \pm \lim \big(f_2(x)\big) \\ \lim \big(f_1(x) \, \cdot \; f_2(x)\big) &= \lim \big(f_1(x)\big)\, \cdot \; \lim \big(f_2(x)\big) \\ \lim \left( \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\right) &= \frac{\lim \big(f_1(x)\big)}{\lim \big(f_2(x)\big)}$

Bei der Division zweier Funktionen beziehungsweise Grenzwerte muss dabei darauf geachtet werden, dass nicht durch Null dividiert wird, es muss also $f_2(x) \ne 0$ für alle $x$ sowie $\lim \big( f_2(x) \big) \ne 0$ gelten. Ist im Speziellen $f(x) =1$ und $g(x)$ eine Funktion mit dem Grenzwert $\infty$ für $x \to \infty$ , so gilt:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \frac{1}{f(x)} = 0$

Gilt zudem für drei Funktionen $f_1(x) < f_2(x) < f_3(x)$ und sind die Grenzwerte $\lim_{x \to x_0} \big( f_1(x)\big) = \lim_{x \to x_0} \big( f_2(x)\big) = g$ der kleinsten und größten Funktion identisch, so gilt dies auch für den Grenzwert der „mittleren“ Funktion.

Stetigkeit¶

Man bezeichnet eine Funktion an einer Stelle $x_0 \in \mathbb{D}$ als stetig, wenn an dieser Stelle der linksseitige Grenzwert $g_{-}$ , der rechtsseitige Grenzwert $g_+$ und der Funktionswert $g=f(x_0)$ übereinstimmen. Eine Funktion wird (global) stetig genannt, wenn die Stetigkeitsbedingung für alle $x$ -Werte des Definitionsbereichs erfüllt ist.

Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass der Graph einer Funktion keine „Sprünge“ macht, also entlang des Definitionsbereichs als eine durchgezogene Linie (ohne Absetzen des Schreibstifts) gezeichnet werden kann. Dies ist bei sehr vielen Funktionen der Fall, beispielsweise bei allen ganz-rationalen Funktionen, der Sinus- beziehungsweise Cosinusfunktion. Auch die Tangens- und Hyperbelfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$ sind stetig, da sich ihre Funktionswerte nur an den jeweils nicht definierten Stellen (Definitionslücken) sprunghaft ändern. Auch die Kombination zweier oder mehrerer stetiger Funktionen mittels den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division ungleich Null ergibt wieder eine stetige Funktion.

Ein anschauliches Beispiel für eine lokal, aber nicht global stetige Funktion ist die so genannte Signum-Funktion (auch Vorzeichenfunktion genannt). Sie ist abschnittsweise folgendermaßen definiert:

$\text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 &\quad \text{falls } \quad x < 0 \\ \phantom{+}0 &\quad \text{falls } \quad x = 0 \\ +1 &\quad \text{falls } \quad x > 0 \end{cases}$

Funktionsgraph der Signumsfunktion $y = \text{sgn}(x)$ .

SVG: Signumsfunktion

Die Signum-Funktion ist an allen Stellen bis auf $x_0=0$ (lokal) stetig. An dieser Stelle jedoch stimmen ihr linksseitiger Grenzwert $g_{\mathrm{-}} = -1$ , ihr Funktionswert $f(0) = 0$ und ihr rechtsseitiger Grenzwert $g_{\mathrm{+}} = 1$ nicht überein.

Zwischenwertsatz und Extremwertsatz

Ist eine Funktion $f$ in einem Intervall stetig, so ist sie dort auch begrenzt. Es existieren also eine untere Schranke $s$ und eine obere Schranke $S$ , so dass $s \le f(x) \le S$ für alle $x$ -Werte des Intervalls gilt.

Ist eine Funktion $f$ in einem abgeschlossenen Intervall $[a\,;\,b]$ stetig, so gilt der so genannte Extremwertsatz: In diesem Fall lassen sich stets zwei Funktionswerte $m$ und $M$ finden, so dass $m \le f(x) \le M$ gilt. Der Wert $m$ wird dabei als Minimum, der Wert $M$ als Maximum der Funktion $f$ im Intervall $[a\,;\,b]$ bezeichnet.

Eine in einem abgeschlossenen Intervall $[a\,;\,b]$ stetige Funktion $f$ nimmt zudem jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an. Diese insbesondere für die numerische Berechnung von Nullstellen wichtige Tatsache wird „Zwischenwertsatz“ genannt.

Nullstellen¶

Als eine Nullstelle wird ein Ausgangswert $x_0$ einer Funktion bezeichnet, für den der zugehörige Funktionswert $y = f(x_0)$ den Wert Null annimmt:

$f(x_0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_0 \text{ ist eine Nullstelle}$

Die Nullstellen einer Funktion lassen sich bestimmen, indem man in die implizite oder explizite Darstellung der Funktion für $y$ den Wert Null einsetzt und die sich ergebende Gleichung mit algebraischen Methoden nach $x$ auflöst. Je nach Art der Funktion ist es möglich, dass diese mehrere, eine oder auch keine Nullstelle besitzt.

Funktionsgraph mit drei Nullstellen.

SVG: Nullstellen einer Funktion

Zeichnet man eine Funktion als Graph in einem Koordinatensystem ein, so stellen Nullstellen Schnitt- oder Berührungspunkte mit der $x$ -Achse dar.

Schnittpunkte zweier Funktionen

Eng verbunden mit der Bestimmung von Nullstellen ist die Bestimmung von Schnittstellen zweier oder mehrerer Funktionen. Betrachtet man zwei Funktionen $f_1(x)$ und $f_2(x)$ , so kann man prüfen, für welche $x$ -Werte aus dem gemeinsamen Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{D}_1 \cap \mathbb{D}_2$ die Werte der Funktionen übereinstimmen, für welche Ausgangswerte ${\color{white}|}x_0, x_1, \text{usw.}$ also die Bedingung $f_1(x) = f_2(x)$ gilt. Das Lösen dieser Gleichung stimmt formal mit der Bestimmung der Nullstelle von $f_1(x) - f2(x)$ überein:

$f_1(x) = f_2(x) \quad \Leftrightarrow \quad f_1(x) - f_2(x) = 0$

Existieren ein oder mehrere Schnittpunkte, so sind an den entsprechenden Stellen die Funktionswerte von $f_1$ und $f_2$ üblicherweise nicht gleich Null. Man erhält die zugehörigen $y$ -Werte der Schnittpunkte, indem man die beim Lösen der obigen Gleichung gefundenen $x$ -Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt.

Verknüpfung und Verkettung von Funktionen¶

Aus den elementaren Funktionen, die in den nächsten Abschnitten näher beschrieben werden, lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen. Dies ist auf zweierlei Arten möglich:

Bei einer so genannten Verknüpfung werden zwei Funktionen durch eine der vier Grundrechenarten miteinander verbunden. Das Ergebnis einer so zusammengesetzten Funktion erhält man, indem man zunächst die Werte der beiden Funktionen berechnet und diese dann mit der entsprechenden Grundrechenart verknüpft. Schrittweise lassen sich so auch mehrere Funktionen miteinander verknüpfen, wobei auf die Auswertungsreihenfolge der Verknüpfungen (Multiplikation beziehungsweise Division vor Addition beziehungsweise Subtraktion) zu achten ist.

Allgemein hat eine verknüpfte Funktion somit folgende Form:

(5)¶ $y &= f_1(x) + f_2(x) \quad \text{mit} \quad \mathbb{D} = \mathbb{D}_1 \cap \mathbb{D}_2 \quad \text{oder} \\ y &= f_1(x) \;\cdot \, f_2(x) \quad \text{mit} \quad \mathbb{D} = \mathbb{D}_1 \cap \mathbb{D}_2$

Einfache Sonderfälle von Gleichung (5) ergeben sich hierbei, wenn eine der beiden Funktionen konstant ist. Hierbei entstehen folgende Funktionen:

(6)¶ $y = f(x) + c \quad \text{und/oder} \quad y = c \cdot f(x)$

Im ersten Fall wird zu jedem Funktionswert die Konstante $c$ addiert (beziehungsweise subtrahiert, wenn $c < 0$ ist). Bei einer graphischen Darstellung wird der Funktionsgraph dadurch um $c$ Einheiten in vertikaler Richtung verschoben (nach oben für $c>0$ , nach unten für $c<0$ ).

Im zweiten Fall wird der Funktionswert mit einer Konstanten $c$ multipliziert. Dadurch wird der Funktionsgraph im Fall $|c| < 1$ vertikal gestaucht, im Fall $|c|>1$ vertikal gestreckt. Ist $c<0$ , so wird der Funktionsgraph (wie bei einer zentrischen Streckung) an der $x$ -Achse gespiegelt.
Bei einer so genannten Verkettung werden zwei Funktionen „hintereinander“ ausgeführt, der Funktionswert der ersten Funktion wird also als Ausgangswert der zweiten Funktion verwendet. Dies ist im Allgemeinen nur dann möglich, wenn der Wertebereich der ersten Funktion eine Teilmenge des Definitionsbereichs der zweiten Funktion ist.

Allgemein hat eine verkettete Funktion somit folgende Form:

(7)¶ $y = f_2\big( f_1(x)\big) \quad \text{mit } \mathbb{D} = \mathbb{W}_1 \cap \mathbb{D}_2$

Dabei wird $f_2$ als äußere und $f_1$ als innere Funktion bezeichnet. Ähnlich wie bei der Auswertung von Termen in Klammern wird zunächst der Wert der inneren Funktion $f_1$ berechnet, und dieser anschließend, sofern erlaubt, als Argument für die äußere Funktion $f_2$ eingesetzt.

Bei der Verkettung zweier Funktionen ist die Reihenfolge der Verkettung zu beachten: Ist beispielsweise $f_1(x) = x + 1$ und $f_2(x) = \sqrt{x}$ , so ist $f_2\big(f_1(x)\big) = \sqrt{x+1}$ , während $f_1\big(f_2(x)\big) = \sqrt{x} + 1$ ergibt.

Anmerkungen:

[1]

In den folgenden Abschnitten werden nur Funktionen untersucht, deren Werte von nur einer (unabhängigen) Variablen $x$ abhängig sind. Bei der Analysis von Funktionen mit mehreren Veränderlichen kann, sofern alle Variablen unabhängig voneinander sind, der Einfluss jeder Größe einzeln untersucht werden.

[2]	Die Untersuchung komplexwertiger Funktionen, die erst im Mathematik-Studium behandelt wird, bezeichnet man als „Funktionentheorie“.

[3]	Konkret liegt ein Punkt somit genau dann auf der Kurve einer Funktion, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Erfüllen das Zahlenpaar $(x,y)$ eines Punktes die Funktionsgleichung nicht, so liegt er entsprechend außerhalb des Funktionsgraphen.

[4]	Hierbei entspricht die Zeit $t$ der Variablen. Für zeitabhängige Funktionswerte wird daher häufig auch $y = f(t)$ geschrieben.

[5]	Bisweilen wird anstelle der Schreibweise $y=f(x)$ auch die Kurzform $y(x)$ verwendet, um die Abhängigkeit der Variablen $y$ von der Variablen $x$ zum Ausdruck zu bringen.

[6]	Somit ist jede bijektive Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv.

[7]

Beispielsweise kann die (surjektive) Funktion $f(x) = \sin{(x)}$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und $\mathbb{W} = [-1 ;\; +1]$ durch eine Einschränkung des Definitionsbereichs auf $\mathbb{D} = [-\pi ;\; +\pi]$ zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.

Entsprechend kann die (injektive) Funktion $f(x) = 2^x$ mit $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ durch eine Einschränkung des Wertebereichs auf $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$ zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.

[8]

Ebenso kann man für jede monotone Zahlenfolge $x_n$ aus den Werten des Definitionsbereichs die Folge der zugehörigen Funktionswerte betrachten. Hat eine Funktion beispielsweise für $x \to \infty$ den Grenzwert $g$ , so hat auch jede frei wählbare Folge $x_n$ die Folge $f_n(x_n)$ der zugehörigen Funktionswerte den gleichen Grenzwert $g$ .

Hinweis

Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.

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Definitions- und Wertemenge¶

Darstellungen von Funktionen¶

Surjektivität, Injektivität und Bijektivität¶

Umkehrbarkeit einer Funktion¶

Monotonie und Beschränktheit¶

Grenzwerte einer Funktion¶

Stetigkeit¶

Nullstellen¶

Verknüpfung und Verkettung von Funktionen¶