Abbildungen innerhalb einer Ebene

Durch eine geometrische Abbildung entsteht aus einer Original-Figur eine neue Figur innerhalb der gleichen Ebene (beziehungsweise innerhalb des gleichen Raumes im dreidimensionalen Fall). Fasst man eine geometrische Form als Menge ihrer Punkte auf, so ist eine geometrische Abbildung formal mit einer Abbildung von Mengen identisch.

Ähnlichkeitsabbildungen

Bei einer Ähnlichkeitsabbildung bleibt die Form einer geometrischen Figur erhalten, ihre Größe ändert sich jedoch. Grundlegend ist hierbei die so genannte „zentrische Streckung“.

Um eine zentrische Streckung zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt \mathrm{Z} als Streckungszentrum aus. Zeichnet man von \mathrm{Z} aus durch jeden Punkt \mathrm{P} einer geometrischen Figur F einen Strahl und zeichnet auf diesem in der jeweils \lambda-fachen Entfernung einen neuen Punkt \mathrm{P'} ein, so erhält man eine zweite Figur F', die gegenüber der Original-Figur verschoben und \lambda-mal so groß erscheint.[1]

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Beispiel einer zentrischen Streckung mit \lambda > 1.

SVG: Zentrische Streckung

Der Faktor \lambda wird Skalierungsfaktor (umgangssprachlich auch als „Maßstab“) genannt. Für \lambda ergibt sich folgender Zusammenhang:

\overline{\mathrm{ZP'}} = \lambda \cdot \overline{\mathrm{ZP}} \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = \frac{\overline{\mathrm{ZP'}}}{\overline{\mathrm{ZP}}}

Ist \lambda>0, so bleibt die Orientierungsrichtung der Figur, also der Umlaufsinn ihrer Punkte, erhalten. Gilt 1 > \lambda > 0, so wird die Figur verkleinert („gestaucht“), im Fall \lambda > 1 wird sie vergrößert („gestreckt“). Für \lambda=1 wird die Figur identisch auf sich selbst abgebildet.

Ist \lambda<0, so liegt die Bildfigur F' im Vergleich zur Originalfigur F auf der gegenüber liegenden Seite des Zentrums \mathrm{Z}; ihre Orientierungsrichtung bleibt dabei erhalten. Gilt |\lambda| < 1, so wird auch hierbei die Figur verkleinert beziehungsweise im Fall |\lambda|>1 vergrößert.

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Beispiel einer zentrischen Streckung mit \lambda = -\frac{1}{2}.

SVG: Zentrische Streckung (negativer Maßstab)

Bei jeder Ähnlichkeitsabbildung einer Figur F auf eine Figur F' haben einerseits alle entsprechenden Strecken das gleiche Größenverhältnis \lambda, andererseits bleiben die Größen aller Winkel der Figur F in der Figur F' erhalten. Beide Kriterien können auch genutzt werden, um „Ähnlichkeit“ als eine Relation zwischen zwei Figuren aufzufassen: Zwei Figuren F und F' sind genau dann einander ähnlich, wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen und die entsprechenden Strecken im gleichen Maßstab zueinander stehen. In der mathematischen Kurzform schreibt man hierfür F \sim F'.

Kongruenzabbildungen

Als Kongruenzabbildung oder „Bewegung“ wird jede Abbildung bezeichnet, bei der die Original-Figur und ihr Abbild in Form und Größe übereinstimmen, sich also nur die Lage der Figur im Raum verändert. Lässt sich eine geometrische Figur durch eine beliebige Anzahl von Bewegungen deckungsgleich in eine andere Figur überführen, so nennt man die beiden Figuren kongruent; kongruente Figuren haben stets gleich lange Strecken und gleich große Winkel.[2]

Die vier möglichen Kongruenzabbildungen werden im Folgenden kurz aufgelistet:

Translation einer geometrischen Figur

Um eine Verschiebung („Translation“) zu beschreiben, geht man von einem Vektor \vec{v} aus, für deren Länge v = |\vec{v}| gelten soll. Trägt man an jedem Punkt \mathrm{P} einer geometrischen Figur einen ebenso langen, zu \vec{v} parallelen Vektor mit \mathrm{P} als Anfangspunkt an, so ergibt sich zu jedem Original-Punkt ein zugehöriger Bildpunkt \mathrm{P'}.

fig-translation

Beispiel einer Translation.

SVG: Translation

Die sich ergebende Bildfigur F' wird durch den Verschiebungsvektor \vec{v} gegenüber der Original-Figur F lediglich um die Länge v in Richtung von \vec{v} verschoben; die Größe, Form und Orientierung der Figur bleiben hingegen erhalten.

Spiegelung einer geometrischen Figur an einer Geraden

Um eine Spiegelung an einer Geraden zu beschreiben, geht man von einer festen Geraden s als Spiegelachse aus. Durch jeden Punkt \mathrm{P} einer Figur konstruiert man eine Gerade senkrecht zu s und bestimmt auf dieser den Bildpunkt \mathrm{P'} so, dass \mathrm{P} und \mathrm{P'} von der Spiegelachse s den gleichen Abstand haben und auf verschiedenen Seiten von s liegen.

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Beispiel einer Achsenspiegelung.

SVG: Achsenspiegelung

Der Punkt \mathrm{P'} wird üblicherweise Spiegelbild von \mathrm{P} bezüglich s bezeichnet. Bei einer Achsenspiegelung bleibt die Form und Größe der Figur erhalten, es ändert sich jedoch der Umlaufsinn ihrer Punkte.

Spiegelung einer geometrischen Figur an einem Punkt

Um eine Spiegelung an einem Punkt zu beschreiben, geht man von einem festen Punkt \mathrm{S} als Symmetriezentrum aus. Durch jeden Punkt \mathrm{P} einer Figur legt man dann eine Gerade durch \mathrm{S} und bestimmt auf dieser den Bildpunkt \mathrm{P'} so, dass \mathrm{P} und \mathrm{P'} von \mathrm{S} den gleichen Abstand haben und auf verschiedenen Seiten von \mathrm{S} liegen.

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Beispiel einer Punktspiegelung.

SVG: Punktspiegelung

Man kann eine Punktspiegelung ebenso als zentrische Streckung mit einem Maßstab von \lambda = -1 oder als Drehung der Ebene um den Punkt s mit einem Drehwinkel von \alpha=\unit[180]{\degree} deuten. Bei einer Punktspiegelung bleibt somit neben der Form und Größe einer Figur auch ihr Umlaufsinn, also die Reihenfolge ihrer Punkte erhalten.

Rotation einer geometrischen Figur

Um eine Drehung („Rotation“) zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt \mathrm{Z} als Drehzentrum und einem festen Winkel \alpha aus. Durch jeden Punkt \mathrm{P} einer Figur zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt \mathrm{Z} und bestimmt auf diesem Kreis den zu \mathrm{P} gehörenden Bildpunkt \mathrm{P'} so, dass der Winkel \varangle \mathrm{PZP'} gleich \alpha ist.

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Beispiel einer Rotation.

SVG: Rotation

Erfolgt die Drehung entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn, so spricht man von einem positiven Drehsinn; bei einer Drehung im Uhrzeigersinn spricht man von einem negativen Drehsinn. Die Form und Größe der Figur sowie die Reihenfolge ihrer Punkte bleibt bei einer Drehung erhalten.

Anmerkung:

[1]In der analytischen Geometrie werden Skalierungen von geometrischen Objekten rechnerisch mittels Skalierungsmatrizen beschrieben.
[2]Jede Kongruenzabbildung kann auch als eine Ähnlichkeitsabbildung mit einem Maßstab von \lambda=1 aufgefasst werden. Umgekehrt lässt sich jede Ähnlichkeitsabbildung aus einer zentrischen Streckung und/oder einer oder mehreren Kongruenzabbildungen zusammensetzen.