Symmetrie

Als Symmetrie wird die Eigenschaft mancher geometrischer Formen bezeichnet, nach einer bestimmten Transformation wiederum unverändert zu erscheinen.

Achsensymmetrie

Eine beliebige, quer durch eine geometrische Figur verlaufende Gerade oder Strecke wird Transversale genannt. Lässt sich die Figur durch eine dieser Transversalen in zwei gleiche große Teilfiguren aufteilen, die durch Umklappen entlang der Transversalen völlig deckungsgleich zueinander sind, so heißt die Figur achsensymmetrisch. Die beiden Teilstücke der Figur werden dabei als einander entsprechend bezeichnet und die Transversale Symmetrieachse genannt.

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Beispiel einer achsensymmetrischen Figur.

SVG: Achsensymmetrie

Eine Figur kann auch mehrere Symmetrieachsen besitzen. Beispielsweise besitzt ein Rechteck zwei Symmetrieachsen, ein Kreis sogar beliebig viele.

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Beispiel von mehrfach achsensymmetrischen Figuren.

SVG: Achsensymmetrie (mehrfach)

Lassen sich zwei gleich große Figuren durch Umklappen um eine zwischen beiden Figuren liegende Gerade s zur Deckung bringen, so bezeichnet man beide Figuren als achsensymmetrisch zueinander liegend. Achsensymmetrische Figuren haben stets folgende Eigenschaften:

  • Einander entsprechende Punkte liegen gleich weit von der Symmetrieachse s entfernt.
  • Verbindungslinien zwischen einander entsprechenden Punkten stehen senkrecht auf der Symmetrieachse.
  • Einander entsprechende Geraden (sowie Strecken und ihre Verlängerungen) schneiden die Symmetrieachse im gleichen Punkt und im gleichen Winkel.
  • Der Umlaufsinn beider Figuren ist umgekehrt, entsprechende Ecken folgen in der einen Figur also im Uhrzeigersinn aufeinander, in der anderen entgegen dem Uhrzeigersinn.

Achsensymmetrische Figuren können ebenso als Paare von achsensymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.

Punktsymmetrie

Ist eine Figur bei einer 180°-Drehung um einen im Inneren gelegenen Punkt völlig deckungsgleich mit sich selbst, so heißt die Figur (einfach) punktsymmetrisch. Der Drehpunkt wird dabei als Symmetriezentrum, der Drehwinkel als Symmetriewinkel bezeichnet.

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Beispiel einer punktsymmetrischen Figur.

SVG: Punktsymmetrie

Ist eine Figur bereits nach einer Drehung um einen Winkel \varphi = \frac{360°}{n} mit sich selbst deckungsgleich, wobei n > 2 eine beliebige natürliche Zahl ist, so heißt die Figur mehrfach punktsymmetrisch. Sie ist bei weiteren Drehungen um den Winkel \varphi stets erneut deckungsgleich.

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Beispiel von mehrfach punktsymmetrischen Figuren.

SVG: Punktsymmetrie (mehrfach)

Lassen sich zwei gleich große Figuren durch eine 180°-Drehung um einen zwischen beiden Figuren liegenden Punkt \mathrm{S} zur Deckung bringen, so bezeichnet man beide Figuren als punktsymmetrisch zueinander liegend. Punktsymmetrische Figuren haben stets folgende Eigenschaften:

  • Einander entsprechende Punkte liegen gleich weit vom Symmetriezentrum \mathrm{S} entfernt.
  • Verbindungslinien zwischen einander entsprechenden Punkten verlaufen durch das Symmetriezentrum.
  • Einander entsprechende Geraden (sowie Strecken und ihre Verlängerungen) verlaufen zueinander parallel.
  • Der Umlaufsinn beider Figuren ist gleich, entsprechende Ecken folgen in beiden Figuren also entweder im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn aufeinander.

Punktsymmetrische Figuren können ebenso als Paare von punktsymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.