Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen¶
Abbildungen¶
Unter einer Abbildung aus einer Menge
in eine
Menge
versteht man eine Teilmenge der Produktmenge
.
ist somit eine Menge von geordneten Paaren
mit
und
. Man sagt, dass durch die
Abbildung
das Element
dem Element
zugeordnet wird.[1] Die Mengen
und
können auch gleich
sein.
Beispiel:
- Durch eine Abbildung
kann beispielsweise jeder reellen Zahl
ihre Quadratzahl
zugeordnet werden. Es ist dann
für alle
.
Die Menge aller , für die ein
existiert, nennt man Definitionsbereich der Abbildung;
entsprechend nennt man die Menge aller
, für die ein
zugehöriges
existiert, Wertebereich der Abbildung.
Inverse Abbildung
Unter einer inversen Abbildung (auch „Umkehrabbildung“
genannt) versteht man die Menge aller geordneten Paare
, für die
gilt.
Der Definitionsbereich der inversen Abbildung ist der Wertebereich der ursprünglichen Abbildung und umgekehrt; die inverse Abbildung der inversen Abbildung ist mit der ursprünglichen Abbildung identisch.
Verkettung von Abbildungen
Es sei eine Abbildung von
in
und
eine Abbildung aus
in
. Eine Abbildung
(gelesen:
„
verkettet mit
„) wird dann als Verkettung
(Hintereinanderausführung) bezeichnet, wenn für alle geordneten Paare
und
gilt:
.
Allgemein gilt für Verkettungen von Abbildungen zwar das Assoziativgesetz nicht, die Reihenfolge der Abbildungen ist also nicht vertauschbar; jedoch gilt das Assoziativ-Gesetz in folgender Form:
Für eindeutige Abbildungen (Funktionen) ist folgende Darstellung üblich:
Man nennt dabei die Funktion die innere Funktion und
die
äußere Funktion der Verkettung. Somit ist die Reihenfolge der Verkettung
(„
nach
„) gut erkennbar.
Beispiel:
- Es sei
sowie
. Somit gilt
.
Funktionen¶
Eine Abbildung aus
in
heißt eindeutig, wenn
jedem
höchstens ein
zugeordnet wird.
Eine derartige Abbildung
wird Funktion genannt; man bezeichnet sie im
Allgemeinen mit einem kleinen lateinischen Buchstaben.
Jedem im Definitionsbereich von
wird somit genau ein Wert
zugeordnet. Der Mathematiker Leonhard Euler hat hierfür die Schreibweise
eingeführt. Dabei wird die Variable
als Argument der
Funktion
bezeichnet,
wird Funktionswert genannt.
Zwei Funktionen sind gleich, wenn sie für jedes den
gleichen Funktionswert
liefern, also
für alle
gilt.
Ist auch die inverse Abbildung einer Funktion
eindeutig, so nennt man die Funktion
(eindeutig) umkehrbar; die
Funktion
wird entsprechend als Umkehrfunktion bezeichnet. Sie
entspricht der Menge an geordneten Paaren
, für die
gilt. Auch in diesem Fall ist der Definitionsbereich
der Umkehrfunktion der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt.
Funktionen sind insbesondere in der Analysis von zentraler Bedeutung.
Relationen¶
Eine Relation ist eine Abbildung aus einer Menge
in
die gleiche Menge
. Von besonderer Bedeutung sind zweistellige
Relationen, also Teilmengen von
.
Wenn für ein geordnetes Paar gilt, so sagt man,
dass
und
in der Relation
zueinander stehen. In
mathematischer Form schreibt man:
Beispiel:
Es sei
und
die „Kleiner als“-Relation
. Dann gilt:
Alle durch die „Kleiner als“-Relation verknüpften Zahlen lassen sich als geordnete Paare darstellen:
Nach dem gleichen Prinzip lassen sich auch drei- und mehrstellige Relationen
bilden, beispielsweise „ liegt zwischen
und
„.[2]
Darüber hinaus gelten auch für Relationen die allgemeinen Eigenschaften von
Abbildungen; beispielsweise kann eine Relation
mit
durch Bildung der entsprechenden Paare
invertiert werden. Ebenfalls lassen sich zwei Relationen
und
zu einer einzigen Relation
verketten.
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
Verschiedene Relationen lassen sich hinsichtlich drei charakteristischer Eigenschaften unterscheiden:
- Reflexivität:
Eine Relation
in einer Menge
heißt reflexiv, wenn jedes
in Relation zu sich selbst steht, also für alle
gilt:
Beispiele:
- Die „Kleiner/Gleich“-Relation
ist für die Menge
der reellen Zahlen reflexiv, denn es gilt
für alle
:
- Die „Kleiner“-Relation
ist, ebenfalls bezogen auf die Menge
der reellen Zahlen, nicht reflexiv.
- Die „Kleiner/Gleich“-Relation
- Symmetrie:
Eine Relation
in einer Menge
heißt symmetrisch, wenn für alle
aus dem Zutreffen von
auf
auch das Zutreffen von
auf
folgt.[3]
Beispiel:
- Für alle Geraden
und
ist die Relation „
steht senkrecht auf
“ symmetrisch.
- Für alle Geraden
- Transitivität:
Eine Relation
in einer Menge
heißt transitiv, wenn für alle
aus dem Zutreffen von
auf
und dem Zutreffen von
auf
auch das Zutreffen von
auf
folgt.
Beispiel:
- Die Kleiner-Relation
für reelle Zahlen ist transitiv, denn gilt für je drei beliebige reelle Zahlen
sowie
, so gilt ebenfalls
.
- Die Kleiner-Relation
Eine weitere wichtige Eigenschaft vieler Relationen ist die so genannte
„Linearität“. Eine Relation in einer Menge
heißt
linear, wenn entweder
oder
gilt. Ein Beispiel hierfür ist die „Kleiner-Gleich“-Relation
für reelle Zahlen
, denn es gilt für alle
stets entweder
oder
.
Ordnungs- und Äquivalenzrelationen
Zwei Relationstypen sind in der Mathematik von besonderer Bedeutung:
1.: Ordnungsrelationen:
Es gibt verschiedene Ordnungsrelationen; sie haben gemeinsam, dass sie transitiv sind, unterscheiden sich jedoch in ihren weiteren Eigenschaften.
Beispiel:
- Eine wichtige Ordnungsrelation ist die so genannte „reflexive Ordnung“,
beispielsweise die „Kleiner/Gleich“-Relation
für die reellen Zahlen. Sie ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und linear.[4]
2.: Äquivalenzrelationen:
Äquivalenzrelationen sind Relationen, die sowohl reflexiv als auch symmetrisch und transitiv sind.
Beispiele:
- Die wohl wichtigste Äquivalenzrelation ist die Gleichheit-Relation
(„Identität“) zweier reeller Zahlen. Offensichtlich gilt für jede reelle Zahl
:
(Reflexivität); gilt zudem für zwei beliebige reelle Zahlen
, so gilt auch
(Symmetrie); gilt ferner für drei beliebige reelle Zahlen:
und
, so gilt ebenfalls
(Transitivität).
- Die Kongruenz- und Ähnlichkeits-Relation zwischen geometrischen Körpern stellen ebenfalls Äquivalenzrelationen dar.
Durch eine Äquivalenz-Relation wird eine Menge in
unterschiedliche Äquivalenz-Klassen zerlegt.[5] Jedes Element einer solchen
Klasse heißt Repräsentant der Klasse und steht mit allen anderen Elementen der
Klasse in der Relation
, es gilt also
für alle
einer Äquivalenz-Klasse.[6]
Alle Repräsentanten werden als nicht voneinander verschieden betrachtet, es wird
also davon abgesehen, dass sich die Elemente einer Äquivalenz-Klasse in gewissen
Eigenschaften unterscheiden. Somit sind Äquivalenzrelationen charakteristisch
für mathematische Abstraktionsprozesse: Eine Menge kann mit
Hilfe einer Äquivalenzrelation
in ein System von Äquivalenz-Klassen
zerlegt werden. Diese Klassen treten somit an die Stelle ihrer Repräsentanten,
die wiederum anhand ihrer entsprechenden Klasse „identifiziert“ werden.
Operationen¶
Durch eine (zweistellige) Operation werden Elemente einer
Produkt-Menge
in eindeutiger Weise auf je
ein Element
der Menge
abgebildet. Mathematisch
schreibt man hierfür:
Das jeweilige Zeichen wird dabei als Operationszeichen (oder
kurz „Operator“) bezeichnet,
und
werden Operanden
genannt.[7]
Beispiel:
- Durch die Operation der Addition (Operationszeichen:
) werden beispielsweise zwei natürliche Zahlen
auf eine natürliche Zahl
abgebildet.
Nach dem gleichen Prinzip lassen sich auch ein- oder mehrstellige Operationen
als eindeutige Abbildungen von Elementen aus
auf Elemente
bilden.
Beispiele:
- Durch die einstellige Operation „Bildung von
“ wird jede (reelle) Zahl
auf eine gleich große, negative Zahl abgebildet.
- Durch die einstellige Operation „Bildung von
“ wird jede (reelle) Zahl
auf den Kehrwert der Zahl abgebildet.
Eine Operation nennt man unbeschränkt ausführbar, wenn sie für alle Elemente
definiert ist; andernfalls nennt man sie beschränkt ausführbar. Im
Bereich der natürlichen Zahlen beispielsweise ist die Addition eine unbeschränkt
ausführbare, die Subtraktion hingegen eine nur beschränkt ausführbare Operation.
Eigenschaften von Operationen
Operationen können – je nach Operation und zugrunde liegender Menge – verschiedene Eigenschaften besitzen. Im folgenden werden mögliche Eigenschaften von zweistelligen Operationen aufgelistet, die entsprechend auch auf mehrstellige Operationen zutreffen können:
- Kommutativität:
Eine Operation
in einer Menge
heißt kommutativ genau dann, wenn für alle
gilt:
Ein Beispiel für eine kommutative Operation ist die Addition in der Menge der natürlichen Zahlen.
- Assoziativität:
Eine Operation
in einer Menge
heißt assoziativ genau dann, wenn für alle
gilt:
Ein Beispiel für eine assoziative Operation ist die Multiplikation in der Menge der reellen Zahlen.
- Distributivität:
Eine Operation
heißt in einer Menge
(linksseitig) distributiv bezüglich
genau dann, wenn für alle
gilt:
Ein Beispiel für eine distributive Operation mit den zwei Operatoren
und
ist folgende Verknüpfung dreier reeller Zahlen
:
Anmerkungen:
[1] | In diesem Zusammenhang wird ![]() ![]() ![]() ![]() |
[2] | Eine ![]() ![]() |
[3] | Folgt im umgekehrten Fall aus dem Zutreffen von ![]() ![]() ![]() ![]() |
[4] | Gilt die Linearität nicht, so spricht man von einer reflexiven
Halbordnung. Ein Beispiel hierfür ist die Teilbarkeitsrelation „![]() ![]() |
[5] | Unter einer Zerlegung einer nichtleeren Menge Ebenfalls existiert zu jeder Zerlegung einer nichtleeren Menge
|
[6] | Äquivalenz-Klassen reeller Zahlen, die durch Gleichheits-Relation
gebildet werden, bestehen jeweils aus genau einer Zahl, da jede Zahl nur mit
sich selbst identisch ist. Zahlen können allerdings meist auf
unterschiedliche Arten dargestellt werden; beispielsweise gilt Allgemein können Äquivalenz-Klassen beliebig viele Elemente beinhalten. Betrachtet man beispielsweise die Menge aller Fahrzeuge und die Relation „hat die gleiche Farbe wie“, so beinhalten die Äquivalenzklassen „rot“, „grün“, „blau“, usw. jeweils eine große Anzahl an Fahrzeugen. |
[7] | Bei speziellen Operationen haben die Operanden eigene Bezeichnungen; im
Term ![]() ![]() ![]() |