Mengen und ihre Eigenschaften¶
Der Begriff „Menge“ wurde erstmals von Georg Cantor benutzt. Er bezeichnete damit eine „Zusammenfassung von bestimmten, klar unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Eine Menge (Kurzschreibweise: ) hat damit folgende
Eigenschaften:[1]
- Eine Menge ist genau dann festgelegt, wenn sich von allen Objekten festlegen lässt, ob sie zur Menge gehören oder nicht.
- Ein Objekt darf nicht mehrfach in der Menge enthalten sein.
Die in einer Menge enthaltenen Objekte werden als Elemente bezeichnet.
Beispiele:
- Die Teilnehmer eines bestimmten Lehrgangs sind wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung, sie bilden also eine Menge.
- Die natürlichen Zahlen sind wohlunterschiedene Objekte unseres Denkens und bilden somit eine Menge.
- Die abstrakten Objekte
,
,
,
bilden eine einelementige Menge, da sie untereinander gleich sind.
- Die Menge der Primzahlen enthält unendlich viele Elemente.
- Die umgangssprachlichen Bezeichnungen: „eine Menge Geld“, „eine Menge Wasser“ usw. werden in der Mathematik nicht als Mengen angesehen, da sich nicht genau angeben lässt, welche Objekte dazugehören.
Als Variablen für Mengen werden Großbuchstaben, als Variablen für Elemente einer
Menge Kleinbuchstaben verwendet. ist eine Menge, wenn für
jedes konkrete oder abstrakte Objekt
der Satz „
“ eine wahre oder falsche Aussage ist. Gehört zu einer Menge kein
konkretes oder abstraktes Objekt, so wird sie als leere Menge bezeichnet und mit
dem Symbol
dargestellt.
Die mathematische Kurzschreibweise bedeutet, dass das Element
in der Menge
enthalten ist. Ist dieser Satz
- für alle
falsch, so ist
eine leere Menge,
- für endlich viele
wahr, so ist
eine endliche Menge,
- für unendlich viele
wahr, so ist
eine unendliche Menge.
Ist ein Element nicht in der Menge
enthalten, so schreibt
man
.
Darstellung von Mengen¶
Mengen lassen sich auf verschiedene Arten angeben:
- Aufzählende Form:
Die Symbole der Objekte werden in geschweiften Klammern, durch Komma getrennt, aufgelistet.
Beispiele:
- Kennzeichnende Form:
In der geschweiften Klammer wird eine Regel aufgeschrieben, anhand derer festgelegt ist, ob ein bestimmtes Element zur Menge gehört oder nicht.
Beispiel:
Die Schreibweise
bedeutet somit, dass genau dann
gilt, wenn die Aussageform
wahr ist.
- Mengendiagramme:
Die Elemente der Menge werden innerhalb einer geschlossenen Kurve dargestellt („Venn-Diagramm“)
Mengengleichheit
Zwei Mengen und
sind gleich,
wenn jedes Element von
auch Element von
ist, in Kurzschreibweise
.
Teilmenge und Obermenge¶
Sind alle Elemente der Menge auch Elemente der Menge
, so ist
eine Teilmenge
von
, in Kurzschreibweise
. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten:
heißt echte Teilmenge von
, wenn
gilt und
mindestens ein Element besitzt, das nicht zu
gehört.
heißt unechte Teilmenge von
, wenn
gilt und
kein Element besitzt, das nicht zu
gehört – es gilt
.
In beiden Fällen wird die Menge , die auch alle
Elemente von
enthält, als Obermenge von
bezeichnet.
Beispiel:
Mengenoperationen¶
Die Schnittmenge¶
Unter der Schnittmenge zweier Mengen und
versteht man die Menge aller Objekte, die sowohl zu
als auch zu
gehören, in
Kurzschreibweise
.
Beispiel:
Nach dem gleichen Prinzip lässt sich auch die Schnittmenge mehrerer Mengen bilden. Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben, werden als disjunkte oder elementefremde Mengen bezeichnet.
Die Vereinigungsmenge¶
Die Menge aller Objekte, die zu mindestens einer der Mengen
oder
gehören, heißt Vereinigungsmenge von
und
, in Kurzschreibweise:
.
Beispiel:
Nach dem gleichen Prinzip lässt sich auch die Vereinigungsmenge mehrerer Mengen bilden.
Die Differenz- und Komplementärmenge¶
Die Menge aller Objekte, die zu gehören, ohne zugleich auch
zu
zu gehören, heißt Differenzmenge (oder auch Restmenge)
der Mengen
und
, in Kurzschreibweise
.
Beispiel:
Die Komplementärmenge einer Menge
ist diejenige Menge bezüglich einer Obermenge
, deren Elemente
zwar zu
, aber nicht zu
gehören. Somit
gilt
.
Die Produktmenge¶
Die Produktmenge (auch Kreuzmenge oder kartesisches Produkt) der Mengen
und
ist die Menge sämtlicher
geordneter Paare, die mit den Elementen der Menge
(an
erster Stelle) und denen der Menge
(an zweiter Stelle)
gebildet werden können, in Kurzschreibweise
:[2]
Ordnet man die Elemente von als Punkte eines Zahlenstrahls
und die Elemente von
auf einem dazu senkrecht stehenden
Zahlenstrahl an, dann stellen sich die Elemente
von
als Punkte der
Ebene dar, die von den beiden Zahlenstrahlen aufgebaut wird. Führt man diesen
Gedanken fort, so findet man, dass alle Punkte einer
-Koordinatenebene
mit
und
durch die Elemente von
dargestellt werden können.
Die Mächtigkeit von Mengen¶
Haben zwei endliche Mengen und
die
gleiche Anzahl an Elementen, so bezeichnet man
und
als gleichmächtig. Die Anzahl
aller Elemente
einer endlichen Menge
wird auch Kardinalzahl genannt.
Die Abzählbarkeit
Die Mächtigkeit von unendlichen Mengen wird an der Menge der natürlichen
Zahlen gemessen.
Lässt sich jedes Element einer Menge
in eindeutiger Weise
einem Element aus
zuordnen, so wird die Menge
als abzählbar bezeichnet; die Elemente von
lassen sich also mit Hilfe der natürlichen Zahlen
„numerieren“.
Beispiel:
- Jeder Zahl
aus der Menge der natürlichen Zahlen
kann durch die Zuordnung
eine geradzahlige natürliche Zahl zugeordnet werden. Die (unendliche) Menge der geradzahligen natürlichen Zahlen ist somit ebenfalls abzählbar.
Ist eine Menge nicht abzählbar, wie beispielsweise die Menge
der reellen Zahlen, so wird sie überabzählbar genannt.
Anmerkungen:
[1] | Genaugenommen lassen sich, wenn man den Begriff „Menge“ nicht genauer fasst, paradoxe Aussagen formulieren. Am bekanntesten ist die Russelsche Antinomie:
Durch eine Formulierung von bestimmten Bedingungen, die jede Menge erfüllen muss, konnten die Mathematiker Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fränkel im Jahr 1930 eine widerspruchsfreie Mengenlehre einführen. Für die meisten alltäglichen Mathematik-Aufgaben genügt allerdings der ursprüngliche Mengenbegriff. |
[2] | Ein Element |
[3] | Da hierbei die Reihenfolge der Zusammenfassung beliebig ist, kann auf die Klammern verzichtet werden. |
[4] | Genau genommen entspricht die obige Darstellung nur der „linksseitigen“ Distributivität. Für zwei Mengen gilt jedoch ebenso die „rechtsseitige“ Distributivität: Gelten sowohl die linksseitige wie auch die rechtsseitige Distributivität, wird allgemein von „Distributivität“ gesprochen. |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.