Matrizen¶
Bei einer Matrix handelt es sich um eine
rechteckige Anordnungen mehrerer Zahlen. Hat eine Matrix Zeilen und
Spalten, so sagt man, die Matrix sei vom Typ
. Eine
solche Matrix hat allgemein folgende Gestalt:
In der Literatur werden Matrizen häufig auch durch fettgedruckte Großbuchstaben
bezeichnet, in der Praxis werden die Großbuchstaben hingegen üblicherweise
unterstrichen. Die in einer Matrix stehenden Zahlen werden
allgemein Elemente oder Komponenten
der Matrix genannt,
wobei
den Zeilenindex (eine Zahl zwischen
und
) und
den Spaltenindex (eine Zahl zwischen
und
)
bezeichnet. Schreibt man
in runden Klammern, so ist
damit die Gesamtheit aller Komponenten, also wiederum die ganze Matrix gemeint.
Spezielle Matrizen
Matrizen können sowohl hinsichtlich der Zahlenwerte ihrer Komponenten als auch
hinsichtlich ihrer Form Besonderheiten aufweisen: Beispielsweise werden
Matrizen, die ausschließlich Nullen als Werte enthalten, Nullmatrizen genannt.
Andererseits können auch gewöhnliche Vektoren als spezielle Matrizen mit einer
Spaltenzahl von aufgefasst werden:
Matrizen, die hingegen nur eine Zeilenzahl von haben, werden
entsprechend Zeilenvektoren genannt:
Ein Zeilenvektor, der die gleichen Elemente hat wie ein Spaltenvektor
, wird häufig auch mit
bezeichnet. Das
hochgestellte
bedeutet dabei „transponiert“. Allgemein kann zu jeder
Matrix
eine transponierte Matrix
gebildet werden, indem man die Zeilen und Spalten der Matrix vertauscht:
Beim Transponieren einer Matrix bleiben also nur diejenigen Komponenten unverändert, die auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden „Hauptdiagonalen“ liegen; alle anderen Einträge werden an dieser Diagonalen gespiegelt. Bleibt eine Matrix beim Transponieren unverändert, so nennt man sie symmetrisch.
Eine weitere Sonderstellung haben quadratische Matrizen, für deren Zeilen- wie
auch Spaltenanzahl gilt. Für jede derartige Matrix
lässt sich eine so genannte Diagonalmatrix
angeben, bei der alle Komponenten, die nicht
auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind:
Eine Sonderform einer Diagonalmatrix ist eine so genannte Einheitsmatrix, bei
der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert haben.
Eine Gleichheit zweier Matrizen liegt nur dann vor, wenn beide die gleiche Form haben und die Werte aller ihrer Komponenten identisch sind. Es muss also gelten:
Die Wirkungsweise von Matrizen auf geometrische Objekte wird im übernächsten Abschnitt beschrieben; im nächsten Abschnitt werden zunächst einige grundlegende Rechenregeln für den Umgang mit Matrizen vorgestellt.
Rechenregeln für Matrizen¶
Die wichtigsten Rechenoperationen für Matrizen sind die Addition zweier Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl, einem Vektor oder einer anderen Matrix. Die Rechenregeln für Matrizen basieren auf den üblichen Grundrechenregeln der Arithmetik; man muss diese lediglich in geordneter Weise auf „mehr“ Zahlen angewenden.
Addition zweier Matrizen
Haben zwei Matrizen die gleiche Form, so können sie addiert beziehungsweise subtrahiert werden, indem die jeweils an gleicher Stelle stehenden Komponenten addiert beziehungsweise subtrahiert werden:
Das Resultat einer Addition beziehungsweise Subtraktion ist wiederum eine Matrix, welche die gleiche Form hat wie jede der beiden ursprünglichen Matrizen.
Beispiel:
Welches Ergebnis liefert die Addition der folgenden beiden Matrizen?
Bei der Matrizen-Addition werden die einzelnen Komponenten beider Matrizen addiert:
Da die Addition beziehungsweise Subtraktion komponentenweise nach den gleichen Rechenregeln wie mit gewöhnlichen Zahlen erfolgt, gilt auch für die Addition beziehungsweise Subtraktion das Kommutativ- und Assoziativgesetz :
(1)¶
(2)¶
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem so genannten
„Skalar“) erfolgt ebenfalls komponentenweise: Jedes Element der Matrix
wird mit dem Wert des Skalars
multipliziert. Man
kann also schreiben:
Das Resultat einer ist wiederum eine Matrix, welche die gleiche Form hat wie die ursprüngliche Matrix.
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man folgende Matrix mit
multipliziert?
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl werden alle Komponenten der Matrizen mit dieser Zahl multipliziert:
Auch für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gelten das Kommutativ- und Assoziativgesetz:
(3)¶
(4)¶
Zudem gilt das Distributivgesetz in gewohnter Form:
(5)¶
Multiplikation eines Zeilen- mit einem Spaltenvektor
Zur Herleitung einer Rechenregel für die Multiplikation zweier Matrizen wird zunächst von der skalaren Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ausgegangen. Wie bei einem gewöhnlichen Skalarprodukt zweier Vektoren werden dabei die einzelnen Komponenten des Zeilen- und des Spaltenvektors miteinander multipliziert, und die sich dabei ergebenden Teilergebnisse schließlich summiert.
(6)¶
Damit eines solches Produkt möglich ist, muss der Zeilenvektor ebenso viele Komponenten haben wie der Spaltenvektor. Das Ergebnis des Produkts ist dann eine gewöhnliche Zahl (ein Skalar).
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man den Zeilenvektor
mit dem Spaltenvektor
multipliziert?
Das Produkt liefert somit den Wert
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
Multipliziert man nun nicht nur einen Zeilenvektor mit Komponenten,
sondern eine
-spaltige Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge
, so wird nach der obigen Regel
(6) für jede Zeile der Matrix ein
Skalarprodukt mit dem Spaltenvektor gebildet. Hat die Matrix
Zeilen,
so erhält man folglich
einzelne Ergebnisse. Diese werden als
Komponenten in einen neuen Spaltenvektor der Länge
geschrieben.
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man die folgende Matrix
mit dem folgenden Vektor
multipliziert?
Für die Multiplikation der Matrix
mit dem Vektor
gilt nach obigem Schema:
Ein Produkt einer Matrix mit einem Vektor kann nur dann gebildet werden, wenn die Anzahl an Spalten der Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektors übereinstimmt; andernfalls ist die Multiplikation nicht definiert.
Multiplikation zweier Matrizen
Beim so genannten „Falk-Schema“, wie es in der obigen Abbildung dargestellt ist,
werden die zu multiplizierenden Matrizen beziehungsweise Vektoren tabellenartig
aufgelistet.[1] Die Auswertung erfolgt allgemein nach folgender Regel:
Multipliziert man die -te Zeile der linken Matrix mit der
-ten
Spalter der rechten Matrix, so erhält man die Komponente der Ergebnis-Matrix,
die dort in der
-ten Zeile und
-ten Spalte steht.
Das Falk-Schema kann also einfach auf die Multiplikation zweier Matrizen ausgeweitet werden: Hierbei wird jeweils an der Stelle, wo sich eine Zeile der linken Matrix mit einer Spalte der rechten Matrix überkreuzt, das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.
Auch in diesem Fall ist das Produkt nur dann definiert, wenn die die Anzahl an
Spalten der linken Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektors übereinstimmt.
Hat die linke Matrix die Form und die rechte Matrix die Form
, so erhält man als Ergebnis eine neue Matrix der Form
. Multipliziert man zwei quadratische Matrizen mit gleicher
Zeilen- beziehungsweise Spaltenanzahl, so ist die Form der resultierenden Matrix
mit der Form der beiden ursprünglichen Matrizen identisch.
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man die beiden folgenden Matrizen miteinander multipliziert?
Für die Multiplikation der beiden Matrizen
und
gilt nach dem obigen Schema:
Die Bedingung, dass bei der Multiplikation zweier Matrizen auf zueinander passende Spalten- und Zeilenanzahlen geachtet werden muss, zeigt bereits, dass bei diesem Rechenvorgang die Reihenfolge der Faktoren von Bedeutung ist:
- Multipliziert man eine Matrix der Form
mit einer Matrix der Form
, so ergibt sich eine Matrix der Form
.
- Multipliziert man eine Matrix der Form
mit einer Matrix der Form
, so ergibt sich eine Matrix der Form
.
Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt folglich im Allgemeinen Kommutativgesetz der Multiplikation nicht :
(7)¶
Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt allerdings das Assoziativgesetz:
(8)¶
Auch das Distributivgesetz gilt für die Multiplikation zweier Matrizen in folgender Form:
(9)¶
Zusätzlich gilt, dass bei jedem Produkt einer Matrix mit
einer entsprechenden Nullmatrix
wiederum eine Nullmatrix
entsteht (da jedes einzelnen Skalarprodukt den Wert Null hat). Multipliziert man
hingegen eine beliebige Matrix
mit einer Einheitsmatrix
, so erhält man die ursprüngliche Matrix
als Ergebnis. Es gilt also (in diesem Fall sogar
unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren):
(10)¶
Eine Division zweier Matrizen ist nicht definiert.
Wirkungsweise von Matrizen¶
Die Wirkungsweise von Matrizen lässt sich gut veranschaulichen, wenn man einzelne Vektoren in einem ebenen Koordinatensystem betrachtet und verschiedene Arten von Matrizen auf diese anwendet.
Da es in einem ebenen Koordinatensystem nur zweidimensionale Objekte gibt,
benötigen die jeweiligen (Orts-)Vektoren nur zwei Komponenten ( und
); die für ein solches System relevanten Matrizen haben entsprechend
ebenfalls nur
Komponenten.
Skalierungsmatrizen
Eine Skalierungsmatrix hat für ein zweidimensionales Koordinatensystem folgende Form:
(11)¶
Hierbei ist ein beliebiger Zahlenwert.
Multipliziert man eine derartige Matrix mit dem Ortsvektor eines Punktes, so
erhält man als Resultat wiederum einen Ortsvektor mit gleicher Richtung; dessen
Länge beträgt allerdings das -fache des ursprünglichen
Ortsvektors.
Beispiele:
Wird eine Skalierungsmatrix
mit
mit einem Vektor multipliziert, so bleibt dieser unverändert. Dies soll am Beispiel des Punktes
beziehungsweise des zugehörigen Ortsvektors
gezeigt werden:
Der Vektor
wird somit durch die Einheits-Matrix nicht verändert.
Wird eine Skalierungsmatrix
mit
mit einem Vektor multipliziert, so wird dieser um den Faktor
gestreckt. Dies soll am Beispiel eines Rechtecks gezeigt werden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:
Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix beispielhaft anhand des Ortsvektors
des Punktes
veranschaulichen:
Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt nach dem gleichen Schema: Man erhält für jeden der Punkte einen Ortsvektor, der um einen Faktor
gestreckt ist.
Gilt für die Skalierungsgröße , so wird der Vektor
beziehungsweise ein aus vielerlei Vektoren bestehendes geometrisches Objekt
durch die Matrix originalgetreu verkleinert (gestaucht). Beispielsweise würde im
obigen Beispiel ein Skalierungsfaktor von
eine
Umkehrung der Skalierung mit dem Faktor
zur Folge haben.
Gilt für die Skalierungsgröße , so wird jeder Ortsvektor, auf
den die Matrix angewendet wird, nicht nur um den Faktor
skaliert, sondern es wird zusätzlich sein Vorzeichen vertauscht. Hierdurch wird
die Richtung des Ortsvektors umgedreht: Beispielsweise zeigt ein Vektor, der
ursprünglich nach rechts oben gezeigt hat, nach einer Skalierung mit einem
negativen Skalierungsfaktor nach links unten. der Ortsvektor beziehungsweise das
geometrische Objekt erfährt dadurch eine zentrische Streckung am Koordinaten-Ursprung.
Beispiel:
Wird eine Skalierungsmatrix
mit
mit einem Ortsvektor multipliziert, so wird dieser um den Faktor
gestreckt und um
um den Koordinatenursprung gedreht. Dies soll am Beispiel eines Rechtecks gezeigt werden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:
Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix wiederum beispielhaft anhand des Ortsvektors
des Punktes
veranschaulichen:
Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt wiederum nach dem gleichen Schema; man erhält somit ein um den Faktor
skaliertes Objekt im gegenüber liegenden Quadranten.
Spiegelungsmatrizen:
Soll ein (Orts-)Vektor an der - oder an der
-Achse eines
zweidimensionalen Koordinatensystems gespiegelt werden, so ist dies mittels der
folgenden Matrizen möglich:
(12)¶
Diese beiden Spiegelungsmatrizen ähneln einer Skalierungsmatrix mit der
Skalierungsgröße ; auch sie lassen die Länge eines Vektors
beziehungsweise die Größe eines durch mehrere (Orts-)Vektoren festgelegten
Objekts unverändert. Der Unterschied zur reinen Skalierung liegt also in dem nun
auftretenden Minus-Zeichen.
Beispiel:
Das Rechteck mit den folgenden Eckpunkten soll an der
-Achse gespiegelt werden:
Wendet man die obige Spiegelungsmatrix beispielsweise auf den Ortsvektor
des Punktes
an, so erhält man:
Die Matrix lässt also die
-Komponente des Vektors, mit dem sie multipliziert wird, unverändert; die
-Komponente des Vektors hingegen erhält ein umgekehrtes Vorzeichen.
Die Spiegelung an der -Achse erfolgt nach dem gleichen Prinzip; die
entsprechende Matrix lässt hierbei allerdings die
-Komponente des
Vektors unverändert, während die
-Komponente ein umgekehrtes Vorzeichen
erhält.
Wendet man die gleiche Spiegelungsmatrix zweimal hintereinander auf einen Vektor
beziehungsweise ein geometrisches Objekt an, so stimmt das Resultat mit dem
ursprünglichen Objekt überein. Nimmt man hingegen zuerst eine Spiegelung an der
- und anschließend eine Spiegelung an der
-Achse vor, so
erhält man eine Punktspiegelung des ursprünglichen
Objekts um den Koordinatenursprung.
Eine Punktspiegelung ist formal mit einer Skalierung des Objekts mit dem Faktor
identisch. Dies lässt sich unter anderem mittels des
Assoziativ-Gesetzes der Matrix-Multiplikation zeigen:
Projektionsmatrizen
Mittels einer Projektionsmatrix lässt sich ein Vektor, wie der Name schon
sagt, auf die - beziehungsweise
-Achse „projezieren“.
Anschaulich kann man sich eine solche Projektion als „Schatten“ des Vektors
vorstellen, der sich bei einer Beleuchtung des Vektors senkrecht zur jeweiligen
Achse ergeben würde.
Um einen (Orts-)Vektor auf die
- beziehungsweise
-Achse
abzubilden, kann jeweils folgende Matrix genutzt werden:
(13)¶
Beispiel:
Der Vektor
, der die Punkte
und
miteinander verbindet, soll auf die
-Achse projeziert werden.
Für die senkrechten Projektionen der Punkte
und
ergibt sich durch Anwenden der entsprechenden Projektionsmatrix auf die zugehörigen Ortsvektoren:
Den projezierten Vektor
zum Vektor
erhält man entweder, indem man die Differenz der Ortsvektoren von
und
bildet, oder auch indem man die entsprechende Projektionsmatrix auf den Vektor
anwendet:
Der „Schatten“ des Vektor
lässt sich somit rechnerisch mittels des Ausdrucks
mit
beschreiben.[2]
Drehmatrizen
Soll ein Vektor um einen Winkel in positiver Winkelrichtung
(also gegen den Uhrzeigersinn) um den Koordinatenursprung gedreht werden, so ist
dies mittels der folgenden Drehmatrix möglich:
(14)¶
Die Wirkungsweise dieser Matrix kann man sich gut anhand einiger Sonderfälle veranschaulichen:
Ist der Drehwinkel
, so ist
und
. Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgende Form an:
Diese Matrix entspricht der Einheits-Matrix, die jeden Vektor unverändert lässt; eine Drehung um
hat somit keine Auswirkung auf geometrische Objekte.
Ist der Drehwinkel
, so ist
und
. Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgende Form an:
Diese Matrix entspricht einer Skalierungsmatrix mit dem Faktor
; diese bewirkt, wie bereits beschrieben, eine Punktspiegelung eines geometrischen Objekts um den Koordinaten-Ursprung und somit eine Drehung um
.
Ist der Drehwinkel
, so ist
. Die Drehmatrix nimmt in diesem Fall folgende Form an:
Der Faktor
, der in diesem Fall bei allen Komponenten der Matrix auftritt, bewirkt eine Skalierung des geometrischen Objekts; ansonsten besteht der Unterschied zu den bisherigen Matrizen darin, dass nun alle Elemente der Matrix von Null verschieden sind.
Die Wirkungsweise der obigen Matrix soll anhand einer Drehung der beiden Punkte
und
beziehungsweise der zugehörigen Ortsvektoren
und
um
veranschaulicht werden. Man erhält in diesem Fall für die Koordinaten des neuen Punktes
:
Die neuen Punkte haben somit gerundet die Koordinatenund
.
Berechnet man die Länge der neuen Ortsvektoren, so stellt man fest, dass sich diese durch die Anwendung der Drehmatrix nicht geändert haben:Drehmatrizen bilden geometrische Objekte also längentreu ab. zudem bleibt auch der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren identisch, wie man durch Bildung des Skalarprodukts der beiden neuen Vektoren zeigen kann:
Da die Ortsvektoren einen von Null verschiedenen Betrag haben und für das Skalarprodukt
gilt, muss in diesem Fall
sein, damit die rechte Seite der Gleichung ebenfalls den Wert Null liefert; folglich ist auch der Winkel
zwischen den neuen Vektoren gleich
.
Bei Drehungen um beliebige Winkel erhält man für die neuen Ortsvektoren meist Werte, die sich nur auf einige Nachkomma-Stellen gerundet angeben lassen; allerdings lässt sich bereits bei vier Nachkomma-Stellen eine für die meisten Zwecke ausreichende Genauigkeit erzielen. In jedem Fall bleiben die gedrehten Objekte längen- und winkeltreu.[3]
Scherungsmatrizen
Eine Scherungsmatrix bewirkt eine Verformung eines geometrischen Objekts. Allgemein hat eine zweidimensionale Scherungsmatrix folgende Form:
(15)¶
Die Wirkungsweise einer Scherungsmatrix soll im folgenden anhand des Beispiels
verdeutlicht werden.
Beispiel:
Wie verändert eine Scherungsmatrix mit
ein Quadrat, das durch folgende Punkte begrenzt wird?
Um die Punkte des neuen Vierecks zu erhalten, kann man die Scherungsmatrix auf die Ortsvektoren der einzelnen Eckpunkte anwenden:
Durch die Anwendung der Scherungsmatrix wird ein geometrisches Objekt also „verzerrt“. Der Flächeninhalt des Objekts, im obigen Beispiel eines Quadrats, bleibt bei der Scherung zwar gleich, jedoch ändern sich die Winkel zwischen den einzelnen Seiten.
Matrizengleichungen¶
Matrizen können auch zur Lösung von linearen Gleichungssystemen genutzt werden. Bei Verwendung von Matrizen können diese sehr kompakt dargestellt werden. Beispielsweise hat ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten folgende Form:
In Matrizenschreibweise kann dies folgendermaßen geschrieben werden:
(16)¶
Gesucht sind bei dieser „Matrizengleichung“ wiederum die Komponenten
,
und
des Vektors
. Man kann
allerdings, um die Gleichung zu lösen, nicht einfach durch
dividieren, da die Division durch eine Matrix nicht definiert ist. Die Lösung
besteht vielmehr darin, eine so genannte „inverse“ Matrix
zu finden, die bei Multiplikation mit der Matrix
eine Einheitsmatrix ergibt.[4]
(17)¶
Hat man eine solche inverse Matrix zur Matrix
gefunden, kann man beide Seiten der obigen Gleichung
(16) damit multiplizieren:
Mit folgt damit:
Da die Einheitsmatrix das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist,
also gilt, folgt somit als Lösung
für
:
(18)¶
Die eigentliche Aufgabe für die Lösung einer Matrizengleichung besteht nun also
darin, zu einer Matrix die inverse Matrix
zu finden. Hierzu muss folgende Gleichung gelöst
werden:
Alle mit
sind
Unbekannte; es muss also ein Gleichungssystem mit
Unbekannten und
Gleichungen zur Bestimmung der inversen Matrix gelöst werden.
… to be continued …
Anmerkungen:
[1] | Bisweilen werden beim Falk-Schema, um eine einfachere Textsatzung zu ermöglichen, entweder die Klammern der Matrizen oder die beiden zueinander senkrechten Tabellenlinien weggelassen. |
[2] | Ist der Zahlenwert der Projektionsmatrix ungleich Eins, so wird der Schatten skaliert und die Projektion entsprechend schräg. Soll ein dreidimensionaler Vektor auf eine Ebene projeziert werden, so kann
dies ebenfalls mittels einer Projektionsmatrix erfolgen. Um beispielsweise
einen Vektor |
[3] | Soll die Drehung in die entgegengesetzte Richtung, also mit dem Uhrzeigersinn erfolgen, so muss das Minus-Zeichen vor die andere Sinus-Komponente der Drehmatrix gesetzt werden: |
[4] | Die Schreibweise ![]() ![]() ![]() ![]() |