Kraftwandler und Getriebe

Hebel

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Hebel.

  • Das Funktionsprinzip einer Balkenwaage beruht darauf, eine unbekannte Masse mit einer oder mehreren Massen bekannter Größe zu vergleichen. Da die Masse überall den gleichen Wert hat und die Gewichtskraft der unbekannten Masse in gleichem Maß vom Ort abhängt wie die der Vergleichs-Masse(n), funktioniert eine Balkenwaage an jeder beliebigen Stelle, also auch auf dem Mond.

    Bei einer Federkraftwaage wird die Gewichtskraft einer unbekannten Masse mit der (bekannten) Spannkraft der Feder verglichen. Da auf dem Mond die Gewichtskraft der unbekannten Masse geringer ist, die Spannkraft der Feder jedoch gleich bleibt, zeigt eine Federkraftwaage auf dem Mond einen „falschen“ Wert an – die Skala müsste neu kalibriert werden.

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  • Beim Öffnen einer Farbdose dient ein Schraubenzieher als Hebel. Die Länge des Kraftarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und dem Griff des Schraubenziehers. Die Länge des Lastarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und der Spitze des Schraubenziehers. Umso länger der Kraftarm im Vergleich zum Lastarm ist, desto weniger Kraft ist nötig, um den Deckel zu heben.

    Beispiel:

    Wenn der Abstand zwischen dem Dosenrand (der Drehachse) und Spitze des Schraubenziehers s_2 = \unit[0,01]{cm} und der Abstand zum Griff s_1 = \unit[0,16]{m} beträgt, dann bewirkt eine Kraft F_1 = \unit[5]{N} am Griff eine Kraft von F_2 = \frac{s_1}{s_2} \cdot F_1 = 16 \cdot \unit[5]{N} = \unit[80]{N}.

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  • Damit die Balkenwaage als zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht ist, müssen die auf der linken und auf der rechten Seite wirkenden Drehmomente M_1 = s_1 \cdot F_1 und M_2 = s_2 \cdot F_2 gleich groß sein:

    M_1 &= M_2 \\[4pt] s_1 \cdot F_1 &= s_2 \cdot F_2

    Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe s_2 aufgelöst werden:

    s_1 \cdot F_1 = s_2 \cdot F_2 \quad \Longleftrightarrow \quad s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1 }{F_2 }

    Die beiden wirkenden Kräfte F_1 und F_2 entsprechen jeweils den Gewichtskräften F_{\mathrm{G}} = m \cdot g der beiden an der Balkenwaage hängenden Lasten. Eingesetzt ergibt sich mit m_1 = \unit[2]{kg} ,\; m_2 = \unit[500]{g} = \unit[0,5]{kg} und s_1 = \unit[10]{cm} = \unit[0,1]{m}:

    s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1}{F_2} = \frac{ \unit[0,1]{m} \cdot \unit[2]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot }{\unit[0,5]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} } = \unit[0,4]{m} = \unit[40]{cm}

    Die zweite Last, deren Masse nur ein Viertel der ersten Last beträgt, muss somit vier mal so weit entfernt von der Drehachse aufgehängt werden, damit die Balkenwaage im Gleichgewicht ist.

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  • Beim Unterarm handelt es sich um einen einseitigen Hebel. Das in der Hand im Abstand s_2 = \unit[0,35]{m} vom Ellenbogen gehaltene Gewicht hat eine Gewichtskraft von F_2 = m \cdot g = \unit[2,00]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = \unit[19,62]{N}.

    Das vom Gewicht bewirkte Drehmoment M_2 = F_2 \cdot s_2 muss durch die im Abstand s_1 = \unit[0,05]{m} wirkende Kraft F_1 des Muskels ausgeglichen werden. Da alle Kräfte senkrecht auf den Unterarm einwirken, muss gelten:

    M_1 = M_2 \quad \Leftrightarrow \quad F_1 \cdot s_1 &= F_2 \cdot s_2 \\[6pt] \Rightarrow F_1 = \frac{F_2 \cdot s_2}{s_1} = \unit[19,6]{N} \cdot \frac{\unit[0,35]{m}}{\unit[0,05]{m}} \approx \unit[137]{N}

    Der Muskel muss mit F_1 \approx \unit[137]{N} somit eine sieben mal grössere Kraft aufbringen, als wenn das gleiche Gewicht bei vertikal gehaltenem Unterarm getragen würde.

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  • Damit sich der Hebel im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der Drehmomente auf der linken Seite gleich der Summe der Drehmomente auf der rechten Seite des Hebels sein. Dies kann überprüft werden, indem man die jeweiligen Werte in die Drehmoment-Gleichung einsetzt und die erhaltenen Werte der Drehmomente miteinander vergleicht:

    M_{\mathrm{links}} = F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 = \unit[3,5]{N} \cdot \unit[0,2]{m} + \unit[5]{N} \cdot \unit[0,1]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} \\[4pt] M_{\mathrm{rechts}} = F_3 \cdot s_3 + F_4 \cdot s_4 = \unit[1,5]{N} \cdot \unit[0,6]{m} + \unit[4]{N} \cdot \unit[0,075]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m}

    Die Drehmomente auf der linken und auf der rechten Seite sind gleich groß, der Hebel befindet sich somit im Gleichgewicht.

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Schiefe Ebene

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Schiefe Ebene.

  • Entlang einer schiefen Ebene gilt als Kraftverhältnis:

    \frac{F}{F_{\mathrm{G}}} = \frac{h}{l}

    Die Höhe h=\unit[0,4]{m} der schiefen Ebene sowie ihre Länge l= \unit[2,4]{m} sind gegeben, auch die Gewichtskraft F _{\mathrm{G}}=\unit[600]{N} der Schubkarre ist bekannt. Löst man die obige Gleichung nach der Kraft F auf, so erhält man nach Einsetzen der gegeben Werte die gesuchte Kraft.

    F = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{l} = \frac{\unit[600]{N} \cdot \unit[0,6]{m}}{\unit[2,4]{m}} = \unit[150]{N}

    Die zum Schieben der Schubkarre nötige Kraft beträgt somit \unit[150]{N}.

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Flaschenzüge und Rollen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Flaschenzüge und Rollen.

  • Bei einem Flaschenzug mit 4 losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf n = 8 Seilstücke verteilt. Die nötige Zugkraft F_{\mathrm{Zug}} am losen Seilende beträgt, von Reibungskräften abgesehen, folglich auch nur 1/8 der Gewichtskraft F_{\mathrm{G}} = m \cdot g der Last. Zur Masse m = \unit[200]{kg} der Last muss allerdings die Masse m = \unit[4 \cdot 5]{kg} der losen Rollen hinzu addiert werden, da diese ebenfalls mit angehoben werden.

    F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{G}}}{n} = \frac{m \cdot g}{n} = \frac{\unit[220]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} }}{8} = \unit[269,8]{N}

    Anstelle F_{\mathrm{G}} = \unit[200]{kg} \cdot \unit[9,81]{N/kg } = \unit[1962]{N} muss somit nur etwas mehr als ein Achtel des Kraftwertes, also \unit[269,8]{N}, aufgewendet werden. Gleichzeitig muss das Seil um die 8-fache Weglänge, also um 8 \cdot \unit[3]{m} = \unit[24]{m}, angehoben werden.

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  • Bei einem Flaschenzug mit 2 losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf n=4 tragende Seilstücke verteilt. Die Zugkraft F _{\mathrm{Zug}} = m_{\mathrm{Person}} \cdot g am losen Seilende kann entsprechend, wenn keine Reibungskräfte auftreten und das Gewicht des Flaschenzugs vernachlässigbar ist, auch eine 4-fach höhere Last F_{\mathrm{L}} = m_{\mathrm{Last}} \cdot g anheben.

    F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{Last}}}{n} \quad &\Longleftrightarrow \quad F_{\mathrm{Last}} = n \cdot F_{\mathrm{Zug}} \\[8pt] m_{\mathrm{Last}} \cdot g &= n \cdot m_{\mathrm{Person}} \cdot g \\[6pt] m_{\mathrm{Last}} = n \cdot m_{\mathrm{Person}} &= 4 \cdot \unit[50]{kg} = \unit[200]{kg}

    Eine \unit[50]{kg} schwere Person kann somit mit Hilfe des Flaschenzugs eine Last mit einer Masse von maximal \unit[200]{kg} anheben.

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  • Bei einem Potenzflaschenzug wird die zum Anheben der Last nötige Kraft an jeder losen Rolle halbiert. Bei n=3 Rollen ist – sofern man ihr Eigengewicht und die Reibung vernachlässigen kann – zum Anheben einer Last mit einem Gewicht von F_{\mathrm{G}} = \unit[800]{kg} somit nur folgende Kraft F nötig:

    F = \frac{1}{2^n} \cdot F_{\mathrm{G}} = \frac{1}{2^3} \cdot \unit[800]{N} = \frac{1}{8} \cdot \unit[800]{N} = \unit[100]{N}

    Die zum Anheben nötige Kraft beträgt also mindestens F=\unit[100]{N}. Berücksichtigt man das Eigengewicht F_{\mathrm{G,R}} = \unit[20]{N} der einzelnen Rollen, so muss dieser Betrag an jeder losen Rolle zur jeweiligen Last hinzuaddiert werden.

    fig-potenzflaschenzug-loesung

    Anheben eines Gewichts mit Hilfe eines Potenzflaschenzugs.

    SVG: Potenzflaschenzug (Lösung)

    Zum Anheben der Last ist in diesem Fall, wie in der obigen Abbildung gezeigt, eine Kraft von F = \unit[117,5]{N} nötig.

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Zahnräder und Getriebe

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Zahnräder und Getriebe.

  • Die Kurbel und das vordere Zahnrad sind fest miteinander verbunden, ebenso das hintere Zahnrad und die Felge des Hinterrads. In diesen beiden Teile-Kombinationen sind die wirkende Drehmomente jeweils gleich. Somit kann als zunächst die Kraft F_2 berechnet werden, die das vordere Zahnrad auf die Kette ausübt. Für das Drehmoment, das der Fahrer auf die Kurbel ausübt, gilt:

    M_1 = F_1 \cdot r_1 = \unit[50]{N} \cdot \unit[0,2]{m} = \unit[10]{Nm}

    Das gleiche Drehmoment tritt auch im vorderen Zahnrad auf; da es jedoch einen kleineren Radius r_2 als die Kurbel hat, muss die auf die Kette wirkende Kraft F_2 entsprechend größer sein:

    M_1 = M_2 \quad \Leftrightarrow \quad F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \\[6pt] \Rightarrow F_2 = \frac{r_1}{r_2} \cdot F_1 = \frac{\unit[0,2]{m}}{\unit[0,1]{m}} \cdot \unit[50]{N} = \unit[100]{N}

    Auf die Kette wird somit eine Zugkraft von F_2 = \unit[100]{N} ausgeübt. Die Kette überträgt diese Kraft auf das hintere Zahnrad, so dass an diesem eine gleich große Kraft F_3 = F_2 angreift. Für das Drehmoment M_3 am hinteren Zahnrad gilt somit:

    M_3 = F_3 \cdot r_3 = \unit[100]{N} \cdot \unit[0,05]{m} = \unit[5]{Nm}

    Das gleiche Drehmoment wirkt wegen der starren Verbindung mit dem hinteren Zahnrad auch in der Felge; da diese jedoch einen größeren Radius r_4 hat, ist die zugehörige Kraft F_4 am Umfang entsprechend geringer:

    M_3 = M_4 \quad \Leftrightarrow \quad F_3 \cdot r_3 = F_4 \cdot r_4 \\[6pt] \Rightarrow F_4 = \frac{r_3}{r_4} \cdot F_3 = \frac{\unit[0,05]{m}}{\unit[0,35]{m}} \cdot \unit[100]{N} \approx \unit[14,3]{N}

    Die auf die Pedale einwirkende Kraft von F_1 = \unit[50]{N} beschleunigt somit die Felge mit F \approx \unit[14,3]{N} beziehungsweise kann – beispielsweise mittels Bremsbacken – durch eine solche an der Felge angreifende Kraft ausgeglichen werden.

    Schaltet man bei gleicher Tretkraft F_1 vorne auf ein kleines Zahnrad (r_2 = \unit[5]{cm}) herunter, so muss die dort wirkende Kraft F_2 wegen des nur halb so großen Radius doppelt so groß sein, um ein gleiches Drehmoment zu bewirken. Die Auf die Kette wirkende Kraft ist also mit F_2 = \unit[200]{N} doppelt so groß. Am hinteren Rad bleibt alles unverändert, so dass die Kette dort ein doppelt so großes Drehmoment bewirkt und folglich auch die Kraft auf die Felge doppelt so groß wird, also F_4 \approx \unit[28,6]{N} gilt.

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