Drehmoment und Gleichgewicht

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Drehmoment und Gleichgewicht.

  • Die Standfestigkeit eines Körpers ist umso größer, je größer seine Masse und Standfläche und je tiefer sein Schwerpunkt ist.

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  • Bei Stehaufmännchen muss der Schwerpunkt in der unteren Hälfte des Grundkörpers liegen; diese Verlagerung des Schwerpunkts wird durch einen Einbau von Zusatz-Gewichten im unteren Teil des Stehaufmännchens erreicht.

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    SVG: Stehaufmännchen

    Wird ein Stehaufmännchen aus seiner aufrechten Position ausgelenkt, so wird dadurch der Schwerpunkt angehoben. Ein stabiles Gleichgewicht ist allerdings durch die niedrigst mögliche Lage des Schwerpunkts charakterisiert. Das Stehaufmännchen wird sich daher, wenn man es loslässt, von selbst wieder aufrichten, da hierdurch der Schwerpunkt zum niedrigsten Punkt zurückkehrt.

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  • Während die Last getragen wird, ist sie im statischen Gleichgewicht; das heißt, die an ihr angreifenden Kräfte und Drehmomente ergeben in Summe jeweils Null. Betrachtet man zunächst nur den Einfluss F_{\mathrm{G}}=\unit[120]{N} der Last, so gilt:

    F_1 + F_2 - F_{\mathrm{G}} &= 0 \\ F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 &= 0 \\

    Die erste Gleichung ergibt sich daraus, dass die beiden von den Trägern ausgeübten Kräfte das Gewicht der Last ausgleichen, die Last also nicht nach unten sinkt. Die zweite Gleichung erhält man, wenn man sich jeweils einen der beiden Träger „weggeschnitten“ denkt; das Brett mitsamt Last würde dann kippen, wobei die Drehachse mit der Hand des verbliebenen Trägers identisch wäre. An der Stelle des jeweils „weggeschnittenen“ Trägers muss also eine Kraft wirken, die das von der Last bewirkte Drehmoment ausgleicht.

    ../_images/gewichtsverteilung-loesung.png

    SVG: Gewichtsverteilung (Lösung)

    Aus der zweiten der obigen Gleichungen folgt:

    F_1 \cdot s_1 &= - F_2 \cdot s_2 \\ \Rightarrow \; \frac{F_1}{F_2} &= - \frac{s_2}{s_1}

    Die von den beiden Trägern aufzubringenden Kräfte stehen also im umgekehrten Verhältnis zu den jeweiligen Entfernungen der Last von den beiden Trägern. Das Vorzeichen ergibt sich daraus, dass die Wegstrecke s_2 in die umgekehrte Richtung zeigt wie s_1; da linksdrehende Drehmomente definitionsgemäß als positiv und rechtsdrehende Drehmomente definitionsgemäß als positiv gezählt werden, erhält in diesem Fall s_1 ein negatives Vorzeichen. Mit s_1 = \unit[1]{m} und s_2 = \unit[-2]{m} folgt also F_1 = 2 \cdot F_2.

    Setzt man dieses Zwischenergebnis in die erste der obigen Gleichungen ein, so erhält man:

    F_1 + F_2 &= F_{\mathrm{G}} \\ (2 \cdot F_2) + F_2 &= F_{\mathrm{G}} \\ F_2 &= \frac{F_{\mathrm{G}}}{3} = \frac{\unit[120]{N}}{3} = \unit[40]{N}\\

    Der hintere Träger muss zum Heben der Last somit die Kraft F_1 = \unit[80]{N}, der vordere Träger die Kraft F_2 = \unit[40]{N} aufbringen. Zusätzlich müssen beide Träger weitere \unit[10]{N} zum Heben des Brettes aufbringen; dessen Gewicht verteilt sich nämlich (nach dem gleichen Prinzip) gleichmäßig auf beide Träger, da sich sein Schwerpunkt in der Mitte zwischen den beiden Personen befindet.

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