Arbeit, Leistung und Energie¶

Mechanische Arbeit¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Arbeit.

Beim Anheben einer Getränkekiste der Masse $m = \unit[10]{kg}$ um $h = \unit[1]{m}$ wird Hubarbeit verrichtet. Die Richtungen der hebenden Kraft $F = F_{\mathrm{G}}$ und Wegstrecke $s = h$ stimmen überein, für den Betrag der verrichteten Arbeit $W_{\mathrm{Hub}}$ gilt somit:

$W_{\mathrm{Hub}} &= F \cdot s = F_{\mathrm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \\[4pt] &= \unit[10]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[1]{m} = \unit[98,1]{N \cdot m} = \unit[98,1]{J}$

Wird die Kiste $\unit[1]{m}$ über dem Boden gehalten, so muss zwar die Gewichtskraft $F_{\mathrm{G}}$ der Kiste ausgeglichen werden, doch keine Arbeit verrichtet werden; die nötige Kraft wirkt dann nicht entlang einer Wegstrecke – die Gewichtskraft der Kiste könnte beispielsweise auch von einem Tisch „gehalten“ werden, ohne dass dieser Arbeit verrichtet bzw. ihm Energie zugeführt werden muss.

Wird die Kiste in gleicher Höhe entlang einer beliebig langen Strecke getragen, so stehen die Richtungen der aufgewandten Kraft $F$ und der zurück gelegten Wegstrecke $s$ senkrecht aufeinander. Da somit keine Kraft entlang des Weges $s$ wirkt, wird beim Tragen der Kiste auf gleicher Höhe auch keine Arbeit verrichtet.[1]

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Beim Verschieben des Körpers wirkt die Zugkraft $(F_{\mathrm{Zug}} = \unit[25]{N})$ entlang der zurückgelegten Wegstrecke $(s = \unit[5]{m})$ . Für die verrichtete Arbeit $W$ gilt damit:

$W = F_{\mathrm{Zug}} \cdot s = \unit[25]{N} \cdot \unit[5]{m} = \unit[125]{J}$

Die Zugkraft verrichtet somit eine Arbeit von $\unit[125]{J}$ . Die Schwerkraft $F_{\mathrm{G}} = \unit[100]{N}$ hingegen verrichtet keine Arbeit, da sie senkrecht zur Wegstrecke $s$ wirkt.[2]

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Um eine $m = \unit[100]{kg}$ schwere Masse anzuheben, muss eine Kraft von $F = F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ aufgebracht werden, wobei $g= \unit[9,81 ]{N/kg}$ den Ortsfaktor bezeichnet. Wird die Masse um $h=\unit[1]{m}$ angehoben, so ergibt sich mit der Formel der Hubarbeit:

$W_{\mathrm{Hub}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \\[4pt] &= \unit[100]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[1]{m} = \unit[981]{N \cdot m} = \unit[981]{J}$

Es ist somit eine Arbeit von $\unit[981]{J}$ (also knapp $\unit[1]{kJ}$ ) nötig, um eine Masse von $\unit[100]{kg}$ einen Meter weit anzuheben.

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Um die Hubarbeit zu berechnen, die der Wanderer für seine eigene Masse $(m_1 = \unit[70]{kg})$ und die Masse seines Rucksacks $(m_2 = \unit[7]{kg})$ beim Anstieg zum $h=\unit[200]{m}$ höheren Gipfel aufzubringen hat, müssen die gegebenen Werte nur in die Formel der Hubarbeit eingesetzt werden:

$W_1 &= m_1 \cdot g \cdot h = \unit[70]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[200]{m} = \unit[137340]{N \cdot m} = \unit[137,34]{kJ} \\[4pt] W_2 &= m_2 \cdot g \cdot h = \unit[7]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[200]{m} = \unit[13734]{N \cdot m} = \unit[13,734]{kJ}$

Insgesamt muss der Wanderer auf seinem Weg zum Gipfel somit eine Hubarbeit von $W_{\mathrm{Hub}} = W_1 + W_2 \approx \unit[151]{kJ}$ verrichten.[3]

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Ein Ziegelstein bildet das Fundament, die restlichen neun müssen je um ein entsprechendes Vielfaches der Ziegelsteinhöhe angehoben werden – der erste um $h_1= \unit[7]{cm} = \unit[0,07]{m}$ , der zweite um $h_2 = \unit[14]{cm} = \unit[0,14]{m}$ usw. Die Gesamtarbeit entspricht der Summe aller einzelnen Hubarbeiten:

$W_{\mathrm{Hub, gesamt}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot h_1 + F_{\mathrm{G}} \cdot h_2 + \ldots + F_{\mathrm{G}} \cdot h_{\mathrm{9}} \\ & = F_{\mathrm{G}} \cdot (h_1 + h_2 + \ldots + h_{\mathrm{9}}) \\ & = \unit[35]{N} \cdot (\unit[0,07]{m} + \unit[0,14]{m} + \ldots + \unit[0,63]{m}) \\ & = \unit[35]{N} \cdot \unit[3,15]{m} \approx \unit[110,25]{J}$

Die insgesamt zu verrichtende Arbeit beträgt somit $\unit[110,25]{J}$ .

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Die verrichtete (Reibungs-)Arbeit lässt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte $F = \unit[15]{N}$ und $s = \unit[5]{m}$ in die allgemeine Definition der Arbeit berechnen:

$W = F \cdot s = \unit[15]{N} \cdot \unit[5]{m} = \unit[75]{N \cdot m} = \unit[75]{J}$

Es wird somit eine Arbeit von $\unit[75]{J}$ verrichtet.

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Die Gesamtmasse der Jugendlichen $(m_1 = \unit[55]{kg} ,\, m2 = \unit[40]{kg})$ und des Schlittens $(m_{\mathrm{S}} = \unit[5]{kg})$ ist gleich der Summe der einzelnen Massen:

$m = m_1 + m_2 + m_{\mathrm{S}} = \unit[55]{kg} + \unit[40]{kg} + \unit[5]{kg} = \unit[100]{kg}$

Mit der (Gleit-)Reibungszahl $\mu_{\mathrm{G}} = 0,04$ von Eisen auf Schnee ergibt sich damit für die Reibungskraft $F_{\mathrm{R}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot m \cdot g$ :

$F_{\mathrm{R}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot m \cdot g = 0,04 \cdot \unit[100]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } = \unit[39,24]{N}$

Diese Reibungskraft wird durch die Zugkraft $F_{\mathrm{Zug}}$ des Pferdes ausgeglichen. Da die Kraft entlang der Strecke von $s = \unit[200]{m}$ konstant ist, kann die Zugarbeit $W = W_{\mathrm{R}}$ des Pferdes ausgerechnet werden:

$W = W_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{R}} \cdot s = \unit[39,24]{N} \cdot \unit[250]{m} = \unit[7848]{N \cdot m} = \unit[7848]{J} \approx \unit[7,5]{kJ}$

Das Pferd verrichtet beim Ziehen des Schlittens über das Feld somit eine Arbeit von rund $\unit[7,5]{kJ}$ .

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Für die zur Beschleunigung eines Körpers aus der Ruhelage $(v _1 = 0)$ verrichtete Arbeit gilt:

$W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Setzt man die gegebenen Werte $m = \unit[1000]{kg}$ und $v = v _2 = \unit[30]{m/s}$ in die obige Gleichung ein, so ergibt sich:[4]

$W &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot (\unit[30]{\frac{m}{s} })^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot \unit[900]{\frac{m^2}{s^2} } \\ &= \unit[445\,000]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[445\,000]{J}$

Zur Beschleunigung des Fahrzeugs sind somit $\unit[445\,000]{J}= \unit[445]{kJ}$ nötig.

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Um die Beschleunigungsarbeit zu berechnen, muss die Differenz zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit $\Delta v$ bekannt sein. Diese lässt sich mittels der Werte der gegebenen Beschleunigung $a = \unit[2,5]{m/s^2}$ und ihrer Dauer $\Delta t = \unit[10]{s}$ berechnen:

$\Delta v = a \cdot \Delta t = \unit[2,5]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[10]{s} = \unit[25]{\frac{m}{s} }$

Daraus lässt sich mit $m = \unit[750]{kg}$ durch Einsetzen der Werte in die Definition der Beschleunigungsarbeit die verrichtete Arbeit $\Delta W$ berechnen:

$\Delta W &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot (\Delta v)^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[750]{kg} \cdot \left( \unit[25]{\frac{m}{s} }\right) ^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[750]{kg} \cdot \unit[625]{\frac{m^2}{s^2} } \\ &= \unit[234\,375]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[234\,375]{J}$

Die verrichtete Arbeit beträgt somit rund $\unit[234]{kJ}$ .

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Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf $v_1=\unit[50]{\frac{km}{h}} \approx \unit[13,9]{\frac{m}{s}}$ nötige Arbeit beträgt mit $m = \unit[1000]{kg}$ :

$W_{\mathrm{B,1}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot (\unit[13,9]{\frac{m}{s}})^2 \approx \unit[96\,451]{J}$

Zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf $v_2=\unit[100]{\frac{km}{h}} \approx \unit[27,8]{\frac{m}{s}}$ muss folgende Arbeit verrichtet werden:

$W_{\mathrm{B,2}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot (\unit[27,8]{\frac{m}{s}})^2 \approx \unit[385\,802]{J}$

Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs von $v_1=\unit[50]{\frac{km}{h}}$ auf $v_2 = \unit[100]{\frac{km}{h}}$ nötige Arbeitsmenge $W_{\mathrm{B,3}}$ muss der Differenz $W_2 - W_1$ der Arbeitsmengen entsprechen, die zum Beschleunigen aus der Ruhelage auf $50$ beziehungsweise $\unit[100]{\frac{km}{h}}$ nötig sind:

$W_{\mathrm{B,3}} = W_{\mathrm{B,2}} - W_{\mathrm{B,1}} = \unit[385,802]{J} - \unit[96\,451]{J} \approx \unit[289\,351]{J}$

Es sind somit rund $\unit[289]{kJ}$ zum Beschleunigen von $50$ auf $\unit[100]{\frac{km}{h}}$ an Beschleunigungsarbeit nötig.

Hinweis: Die Arbeitsmenge $W_{\mathrm{B,3}}$ könnte ebenfalls mittels $W_{\mathrm{B,3}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 - v_1^2)$ berechnet werden; falsch wäre es hingegen, $\frac{1}{2} \cdot m \cdot (\Delta v)^2$ zu rechnen, da $(\Delta v)^2 = (v_2-v_1)^2 \ne v_2^2-v_1^2$ ist!

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Wirkungsgrad¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Wirkungsgrad.

Nach der Goldenen Regel der Mechanik bleibt auch bei der Benutzung eines Flaschenzugs die zu verrichtende Arbeit $W = F \cdot s$ unverändert – zwar ist bei Benutzung eines Flaschenzugs weniger Kraft nötig, dafür muss diese entlang einer entsprechend längeren Wegstrecke aufgebracht werden. Die zugeführte Arbeit $W_1$ und die abgegebene Arbeit $W_2$ sind somit gleich groß:

$W_1 = F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s _2 = W_2$

Damit gilt für den Wirkungsgrad $\eta$ :

$\eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}} } = \frac{W_1}{W_2} = 1 = 100\%$

Der Wirkungsgrad eines idealen Flaschenzugs beträgt somit $100\%$ .

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Die Menge an Hubarbeit $W_{\mathrm{Hub}}$ , die im Idealfall zum Heben der Last (Gewichtskraft: $F_{\mathrm{G}} = \unit[250]{N}$ , Zughöhe: $h = \unit[2]{m}$ ) nötig ist, lässt sich nach folgender Formel berechnen:

$W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h = \unit[250]{N} \cdot \unit[2]{m} = \unit[500]{N \cdot m} = \unit[500]{J}$

Diese Menge an Arbeit muss mit der Menge an Arbeit $W_{\mathrm{out}}$ übereinstimmen, die vom Flaschenzug abgegeben wird. Es gilt somit $W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{Hub}}$ .

Nach der Angabe reduziert sich durch die Verwendung des Flaschenzugs die aufzubringende Kraft auf $\unit[80]{N}$ , die Zugstrecke beträgt dabei $s = \unit[7]{m}$ . Somit wird folgende Arbeit am Flaschenzug verrichtet:

$W_{\mathrm{in}} = F \cdot s = \unit[80]{N} \cdot \unit[7]{m} = \unit[560]{N}$

Die vom Flaschenzug abgegebene Arbeit $W_{\mathrm{out}}$ ist somit kleiner als die investierte Arbeit $W_{\mathrm{in}}$ . Der Wirkungsgrad des Flaschenzugs, der dem Verhältnis beider Größen entspricht, ist somit kleiner als eins:

$\eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} = \frac{\unit[500]{N}}{\unit[560]{N}} \approx 0,893$

Der Wirkungsgrad $\eta$ des Flaschenzugs beträgt also rund $89,3\%$ .

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Um die Menge an abgegebener Arbeit $W_{\mathrm{out}}$ aus den gegebenen Größen $W_{\mathrm{in}} = \unit[7200]{J}$ und $\eta = 33\% = 0,33$ zu berechnen, muss man die Formel für den Wirkungsgrad entsprechend umstellen:

$\eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} \quad \Longleftrightarrow \quad W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{in}} \cdot \eta$

$W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{in}} \cdot \eta = \unit[7200]{J} \cdot 0,33 = \unit[2376]{J}$

Der Kraftwandler gibt somit $\unit[2376]{W}$ an Arbeit ab.

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Um die Menge an aufzuwendender Arbeit $W_{\mathrm{in}}$ aus den gegebenen Größen $W_{\mathrm{out}} = \unit[5000]{J}$ und $\eta = 80\% = 0,8$ zu berechnen, muss die Formel für den Wirkungsgrad umgestellt werden:

$\eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} \quad \Longleftrightarrow \quad W_{\mathrm{in}} = \frac{W_{\mathrm{out}}}{\eta }$

$W_{\mathrm{in}} = \frac{W_{\mathrm{out}}}{\eta } = \frac{\unit[5000]{J}}{0,8} = \unit[6250]{J }$

Es müssen somit $\unit[6250]{J}$ an Arbeit an der Vorrichtung verrichtet werden.

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Mechanische Leistung¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Leistung.

Die gesamte Arbeit $W_{\mathrm{ges}}$ , die der Sportler verrichtet, lässt sich als das Zehnfache der Hubarbeit $W_{\mathrm{Hub}} = m \cdot g \cdot h$ während eines Klimmzugs berechnen:[5]

$W_{\mathrm{ges}} &= 10 \cdot m \cdot g \cdot h \\ &= 10 \cdot \unit[70]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[0,5]{m} \\ &= \unit[3433,5]{N \cdot m} = \unit[3433,5]{J}$

Die Zeit, die der Sportler dafür benötigt, beträgt $t = \unit[8]{s}$ . Damit beträgt seine Leistung $P$ (Arbeit je Zeit):

$P = \frac{W_{\mathrm{ges}}}{t} = \frac{\unit[3433,5]{J}}{\unit[8]{s}} \approx \unit[429,2]{W}$

Die Leistung des Sportlers beträgt somit rund $429$ Watt.

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Die Leistung des Motors kann berechnet werden, indem man die bekannten Größen $(m_{\mathrm{Last}} = \unit[200]{kg} ,\, h = \unit[4]{m} ,\, t = \unit[6]{s})$ in die Definition der Leistung einsetzt:

$P = \frac{W}{t} = \frac{m \cdot g \cdot h}{t} = \frac{\unit[200]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[4]{m}}{\unit[6]{s}} = \unit[1\,308]{\frac{N \cdot m}{s} } = \unit[1\,308]{W}$

Die Leistung des Motors beträgt somit rund $\unit[1,3]{kW}$ .

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Um die Masse $m$ zu bestimmen, die durch die Leistung $P = \unit[1]{PS} = \unit[735]{W}$ in $t = \unit[1]{s}$ um $h = \unit[1]{m}$ angehoben werden kann, setzt man die Hubarbeit $W _{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h$ in die Definition der Leistung ein und löst die Gleichung nach $m$ auf:

$P = \frac{W}{t} = \frac{m \cdot g \cdot h}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad m = \frac{P \cdot t}{g \cdot h}$

Mit $\unit[1]{W} = \unit[1]{\frac{N \cdot m}{s} }$ gilt:

$m = \frac{P \cdot t }{g \cdot h} = \frac{\unit[735]{\frac{N \cdot m}{s} } \cdot \unit[1]{s}}{\unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[1]{m}} \approx \unit[74,9]{kg}$

Mit einer Leistung von $\unit[1]{PS} = \unit[735]{}$ kann somit eine Masse von knapp $\unit[75]{kg}$ in einer Sekunde um einen Meter angehoben werden.

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Ein Liter Wasser hat eine Masse von einem Kilogramm. Somit kann man die Wassermenge – wie bei der vorherigen Aufgabe – bestimmen, indem man die Hubarbeit $W_{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h$ in die Definition der Leistung einsetzt und die Gleichung nach $m$ auflöst:

$P = \frac{W}{t} = \frac{m \cdot g \cdot h}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad m = \frac{P \cdot t}{g \cdot h}$

Mit $\unit[1]{W} = \unit[1]{\frac{N \cdot m}{s} }$ gilt mit $P = \unit[5]{kW} = \unit[5000]{W}$ , $h = \unit[15]{m}$ und $t = \unit[1]{s}$ :

$m = \frac{P \cdot t }{g \cdot h} = \frac{\unit[5000]{\frac{N \cdot m}{s} } \cdot \unit[1]{s}}{\unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[15]{m}} \approx \unit[34,0]{kg}$

In einer Sekunde werden somit rund $\unit[34]{kg} \equiv \unit[34]{l}$ Wasser nach oben gepumpt; bei gleicher Leistung beträgt die nach oben gepumpte Wassermenge entsprend $60 \cdot \unit[34]{l} \approx \unit[2039]{l}$ .

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Für die mechanische Leistung $P$ gilt allgemein:

$P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot \frac{s}{t}$

Mit $v = \frac{s}{t} = \unit[0,75]{\frac{m}{s}}$ und $F = \unit[300]{N}$ folgt somit für die mechanische Leistung beim Ziehen des Schlittens:

$P = F \cdot \frac{s}{t} = \unit[300]{N} \cdot \unit[0,75]{\frac{m}{s}} = \unit[225]{\frac{J}{s}} = \unit[225]{W}$

Die mechanische Leistung beträgt somit $\unit[225]{W}$ .

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Die verrichtete Beschleunigungsarbeit beträgt mit $m = \unit[1200]{kg}$ und $v_2 = \unit[25]{m/s}$ und $v_1 = \unit[15]{\frac{m}{s}}$ :

$\Delta W &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \cdot \unit[1200]{kg} \cdot \left( \left( \unit[25]{\frac{m}{s}} \right)^2 - \left( \unit[15]{\frac{m}{s}} \right)^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1200]{kg} \cdot \left( \unit[625]{\frac{m^2}{s^2} } - \unit[225]{\frac{m^2}{s^2}} \right) = \unit[240\,000]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[240\,000]{J}$

Diese Arbeit wird in $\Delta t = \unit[8]{s}$ verrichtet. Damit lässt sich auch die Beschleunigungs-Leistung $P$ berechnen:

$P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\unit[240\,000]{J}}{\unit[8]{s}} \approx \unit[30\,000]{W}$

Der Motor muss somit (abgesehen vom Luftwiderstand und von Reibungsverlusten im Getriebe) zur Beschleunigung mindestens $\unit[30\,000]{W} = \unit[30]{kW}$ aufbringen.

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Mechanische Energie¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Energie.

Kann die Reibung vernachlässigt werden, so wird beim Herabfließen des Wassers dessen gesamte Höhenenergie $(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h)$ wieder abgegeben. Bezogen auf $\unit[1]{m^3} \equiv \unit[1000]{kg}$ Wasser und eine Fallhöhe von $h = \unit[110]{m}$ ergibt sich:

$E_{\mathrm{pot}} &= m \cdot g \cdot h = \unit[1000]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[110]{m} = \unit[1\,079\,100]{N \cdot m } = \unit[1\,079\,100]{J} = \unit[1\,079,1]{kJ}$

Diese Energiemenge entspricht übrigens dem Energiegehalt von etwa $\unit[100]{g}$ Brot ( $\unit[1]{kg}$ Brot enthält rund $\unit[10\,500]{kJ}$ an chemischer Energie).

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Die Formel für die Bewegungsenergie lautet $E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ . Setzt man in diese Gleichung die Massen $m _{\mathrm{PKW}} = \unit[1\,000]{kg}$ und $m_{\mathrm{LKW}} = \unit[8\,000]{kg}$ der beiden Fahrzeuge sowie ihre Geschwindigkeit $v_1 = \unit[50]{\frac{km}{h} } \approx \unit[13,89]{\frac{m}{s} }$ ein, so erhält man:

$E_{\mathrm{kin, PKW,1}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{PKW}} \cdot v_1^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1\,000]{kg} \cdot \left( \unit[13,89]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[96\,466]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[96\,466]{J} \approx \unit[96,5]{kJ} \\ E_{\mathrm{kin, LKW}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{LKW}} \cdot v_1^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[8\,000]{kg} \cdot \left( \unit[13,89]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[771\,728,4]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[771\,728,4]{J} \approx \unit[771,7]{kJ} \\$

Durch seine achtfache Masse besitzt der LKW bei gleicher Geschwindigkeit gegenüber dem PKW auch eine achtfache Energie. Wird der PKW auf $v _2 = \unit[100]{\frac{km}{h} } \approx \unit[27,78]{\frac{m}{s} }$ beschleunigt, so beträgt seine Energie:

$E_{\mathrm{kin, PKW,2}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{PKW}} \cdot v_2^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1\,000]{kg} \cdot \left( \unit[27,78]{\frac{m}{s} } \right)^2 \\ &= \unit[385\,864,2]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[385\,864,2]{J} \approx \unit[385,9]{kJ}$

Durch den quadratischen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Bewegungsenergie hat der PKW bei einer doppelten Geschwindigkeit eine vierfache Bewegungsenergie. Bei einer dreifachen Geschwindigkeit $v= \unit[150]{\frac{km}{h} } = \unit[41,67]{\frac{m}{s} }$ nimmt die Bewegungsenergie des PKWs entsprechend auf das neun-fache zu:

$E_{\mathrm{kin, PKW,3}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{PKW}} \cdot v_2^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1\,000]{kg} \cdot \left( \unit[41,67]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[868\,194,5]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[868\,194,5]{J} \approx \unit[868,2]{kJ}$

Somit besitzt der PKW bei einer dreifachen Geschwindigkeit eine höhere Bewegungsenergie als der achtmal schwerere LKW.

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Um die Höhe zu bestimmen, deren Energie einer Bewegung mit $\unit[72]{\frac{km}{h} } = \unit[20]{\frac{m}{s} }$ entspricht, setzt man die Formeln für die Höhenenergie $E_{\mathrm{pot}}$ und die Bewegungsenergie $E_{\mathrm{kin}}$ gleich:

$E_{\mathrm{pot}} &= E_{\mathrm{kin}} \\ m \cdot g \cdot h &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Beide Größen sind direkt proportional zur Geschwindigkeit. In der obigen Gleichung kann die Masse $m$ somit auf beiden Seiten „gekürzt“ werden. Anschließend kann die Gleichung nach der gesuchten Höhe $h$ aufgelöst und der Wert $v = \unit[20]{\frac{m}{s} }$ für die Geschwindigkeit eingesetzt werden:

$h &= \frac{\frac{1}{2} \cdot v^2}{g} = \frac{v^2}{2 \cdot g} \\ &= \frac{\left( \unit[20]{\frac{m}{s}} \right)^2 }{2 \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} }} = \frac{\unit[400]{\frac{m^2}{s^2} }}{2 \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} }} \approx \unit[20,39]{m}$

Ein Aufprall eines Fahrzeugs mit $\unit[70]{\frac{km}{h}}$ entspricht somit einem ungebremsten Sturz aus etwa $\unit[20]{m}$ Höhe.

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Um die Geschwindigkeit des Badegasts beim Eintauchen zu ermitteln, kann die Höhenenergie $E_{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h$ auf dem Sprungbrett $(h=\unit[5]{m})$ mit der kinetischen Energie $E_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ unmittelbar vor dem Eintauchen gleichgesetzt werden:

$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

Auf beiden Seiten der Gleichung kann die Masse $m$ gekuerzt werden. Nach dem Aufloesen der Gleichung ergibt sich fuer die Geschwindigkeit $v$ :

$g \cdot h &= \frac{1}{2} \cdot v^2 \\ \Rightarrow v &= \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \\ &= \sqrt{ 2 \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} \cdot \unit[5]{m}} = \sqrt{\unit[98,1]{\frac{m^2}{s^2}}} \approx \unit[9,9]{\frac{m}{s}}$

Die Geschwindigkeit des Badegasts beim Eintauchen betraegt somit rund $\unit[9,9]{\frac{m}{s}}$ , also etwa $\unit[35,6]{\frac{km}{h}}$ .

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Ja, alle Nahrungsmittel enthalten indirekt Sonnenlicht. Pflanzen wandeln diese mittels der Photosynthese zunächst in Zucker, anschließend (auch) in längerkettige Kohlenhydrate (Stärke, Zellulose) um. Über ein ganzes Jahr gesehen, haben Nahrungsmittel-Pflanzen dabei einen Wirkungsgrad von etwa $1\% \text{ bis } 4\%$ . Gründe hierfür sind Nacht-Zeiten, in denen der Stoffwechsel der Pflanzen umgekehrt abläuft, wechselnde Beleuchtung, Abschattungsverluste durch Überlagerung von Blättern, keine maximale Kohlenstoffdioxid-Konzentration usw.

Tiere leben ihrerseits – direkt oder indirekt – von Pflanzen. Da der „Wirkungsgrad“ der Nahrungsaufnahme stets kleiner als Eins ist und die Tiere selbst Energie zum Aufrechthalten der Körpertemperatur sowie für Bewegung, Stoffwechsel usw. brauchen, ist es nicht verwunderlich, dass bei Verwendung tierischer Produkte stets die rund $10$ -fache Menge an pflanzlichen Futtermitteln benötigt wird. Entsprechend geringer ist der „Wirkungsgrad“ tierischer Produkte, er liegt stets in der Größenordnung von nur $0,1\%$ .

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In der Ausgangsposition besitzt der Körper des Trampolinspringers weder Bewegungsenergie $(E_{\mathrm{kin}} = 0)$ noch Höhenenergie $(E _{\mathrm{pot}} = 0)$ ; dafür ist das elastische Trampolintuch maximal gespannt. Diese Spannenergie $E_{\mathrm{spann}}$ bewirkt dann eine Beschleunigung bzw. ein Anheben des Körpers.

SVG: Energieerhaltung beim Trampolinspringen (Lösung)
Am höchsten Punkt wurde die gesamte Bewegungsenergie in Höhenenergie umgewandelt. Anschließend findet in umgekehrter Weise eine Umwandlung von Höhenenergie in Bewegungsenergie statt; unmittelbar vor dem erneuten Kontakt mit dem Trampolintuch ist die Geschwindigkeit des Springers und damit seine kinetische Energie maximal.

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Anmerkungen:

[1]	Man könnte die Kiste ebenso auf einem Rollenwagen entlang der ebenen Strecke $s$ transportieren und dabei lediglich die anfallende Reibung (Rollreibung und Luftwiderstand) überwinden – diese versucht man bei Transportprozessen durch geschickte Bauformen, reibungsarme Kugellager usw. zu minimieren.

[2]

Die Gewichtskraft kann lediglich als Ursache der Reibungskraft angesehen werden, gegen die beim Verschieben der Kiste Arbeit verrichtet wird. Aus der Formel für die Reibungskraft $F_{\mathrm{Reib}} = \mu \cdot F_{\mathrm{\perp}}$ folgt dabei für den Reibungskoeffizienten $\mu = \frac{F_{\mathrm{Reib}}}{F_{\mathrm{\perp}}} = \frac{F_{\mathrm{Zug}}}{F_{\mathrm{G}}} = \frac{\unit[25]{N}}{\unit[100]{N}} = 0,25$ .

[3]	Alternativ kann man zur Lösung der Aufgabe auch zuerst die Massen $m_1$ und $m_2$ zu einer Gesamtmasse $m = m_1 + m_2$ addieren und diese in die Formel der Hubarbeit einsetzen.

[4]	Nach der Definition $F = m \cdot a$ gilt für die Einheit der Kraft: $\unit[1]{N} = \unit[1]{kg \cdot \frac{m}{s^2}}{\color{white} \qquad \quad \;\; \ldots}$ Für die Einheit der Arbeit gilt somit: $\unit[1]{J} = \unit[1]{N \cdot m} = \unit[1]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} }$

[5]	Bei der Bestimmung der Einheit wurde einerseits berücksichtigt, dass $\unit[1]{N} = \unit[1]{kg \cdot \frac{m}{s^2} }$ gilt (dies folgt aus dem Newtonschen Kraftgesetz); andererseits gilt nach der Definition der Energie-Einheit $\unit[1]{J} = \unit[1]{N \cdot m}$ .

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