Impuls und Drehimpuls¶

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Impuls und Drehimpuls.

Der Impuls $\vec{p}$ eines Körpers ist definiert als Produkt aus seiner Masse $m$ und seiner Geschwindigkeit $\vec{v}$ . Eine Taube mit einer Masse von $m=\unit[20]{g} = \unit[0,02]{kg}$ und einer Geschwindigkeit von $v = \unit[75]{km/h} \approx \unit[20,8]{m/s}$ hat somit folgenden Impuls:

$p = m \cdot v = \unit[0,02]{kg} \cdot \unit[20,8]{\frac{m}{s}} \approx \unit[0,42]{\frac{kg \cdot m}{s}}$

Der Impuls der Taube beträgt also rund $\unit[0,42]{\frac{kg \cdot m}{s}}$

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Wenn der Eisenbahnwagen an die stehenden Wagen ankoppelt, bewegen sie sich, – wie bei jedem unelastischen Stoß – anschließend mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit $u$ weiter. Diese kann mit Hilfe des Impulserhaltungs-Satzes bestimmt werden.

Vor dem Stoß bewegt sich nur einer der Wagen mit einer Geschwindigkeit $v_1=\unit[3]{m/s}$ und einer Masse $m_1$ . Nach dem Stoß bewegen sich alle vier Wagen der Geschwindigkeit Geschwindigkeit $u$ , ihre Masse ist dabei $m = 4 \cdot m_1$ . Da der Gesamt-Impuls vor und nach dem Stoß identisch ist, muss somit gelten:

$m_1 \cdot v_1 = 4 \cdot m_1 \cdot u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{1}{4} \cdot v_1$

Die Wagen bewegen sich nach dem Ankoppeln also gemeinsam mit $u = \unit[0,75]{m/s}$ weiter.

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Vor dem (unelastischen) Zusammenprall haben die beiden Fahrzeuge mit den Massen $m_1 = \unit[1000]{kg}$ und $m_2 = \unit[2000]{kg}$ und den Geschwindigkeiten $v_1 = \unitfrac[50]{km}{h} = \unitfrac[13,9]{m}{s}$ und $v_2 = \unit[-50]{km}{h} = \unit[-13,9]{m}{s}$ folgenden Gesamtimpuls:

$p = (m_1 \cdot v_2 + m_2 \cdot v_2) = \unit[1000]{kg} \cdot \unit[13,9]{\frac{m}{s}} + \unit[2000]{kg} \cdot (\unit[-13,9]{\frac{m}{s}}) = \unit[-13\,900]{\frac{kg \cdot m}{s}}$

Dieser Impuls bleibt nach dem Zusammenprall erhalten. Die Geschwindigkeit $u$ , mit der sich beide Fahrzeuge nach dem Stoß gemeinsam weiterbewegen, kann berechnet werden, wenn man den Gesamtimpuls durch die Gesamtmasse beider Fahrzeuge teilt:

$p = (m_1 + m_2) \cdot u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{p}{m_1 + m_2} \\[4pt] \Rightarrow u = \frac{\unit[-13\,900]{\frac{kg \cdot m}{s}}}{\unit[1000]{kg} + \unit[2000]{kg}} \approx \unit[-4,63]{\frac{m}{s}}$

Die beiden Fahrzeuge bewegen sich unmittelbar nach dem Stoß also gemeinsam mit rund $\unitfrac[-4,63]{m}{s} \approx \unitfrac[16,7]{km}{h}$ in Richtung des ersten (leichteren) Fahrzeugs.

Der Fahrer des zweiten (schwereren) Fahrzeugs erfährt innerhalb des „Bremswegs“ $\Delta s = \unit[0,5]{m}$ (der Knautschzone) eine Geschwindigkeitsänderung von $|v_1| = \unitfrac[13,9]{m}{s}$ auf $|v|=\unitfrac[4,93]{m}{s}$ . Damit kann man mittels der Bremsformel die wirkende Beschleunigung folgendermaßen berechnen:

$v^2 - v_2^2 = 2 \cdot a_2 \cdot \Delta s \quad \Longleftrightarrow \quad a_2 = \frac{v^2 - v_2^2}{2 \cdot \Delta s}\\[6pt] a_2 = \frac{\phantom{+}\unit[4,63^2]{\frac{m^2}{s^2}} - \unit[13,9^2]{\frac{m^2}{s^2}}}{2 \cdot \unit[0,5]{m}} \approx \unit[-171,5]{\frac{m}{s^2}}$

Der Fahrer des ersten (leichteren) Fahrzeugs wird innerhalb des gleichen Bremswegs $\Delta s = \unit[0,5]{m}$ (der Knautschzone des zweiten Fahrzeugs) nicht nur von der Geschwindigkeit $v_1 = \unitfrac[+13,9]{m}{s}$ bis zum Stillstand abgebremst, sondern zusätzlich auf $\unitfrac[-4,63]{m}{s}$ beschleunigt. In der Bremsformel kann dies explizit berücksichtigt werden, indem vor die Endgeschwindigkeit $v$ ein Minus-Zeichen gesetzt wird:

$a_1 = \frac{\unit[-4,63^2]{\frac{m^2}{s^2}} - \unit[13,9^2]{\frac{m^2}{s^2}}}{2 \cdot \unit[0,5]{m}} \approx \unit[-214,3]{\frac{m}{s^2}}$

Die Bremsformel berücksichtigt aufgrund der Quadrierung der Geschwindigkeitswerte nicht die ursprüngliche Richtung der Geschwindigkeiten, sondern vergleicht lediglich die Beträge der Start- und Endgeschwindigkeit: Ist die Endgeschwindigkeit geringer als die Startgeschwindigkeit, so ergibt sich ein negatives Vorzeichen. Dies bedeutet hierbei nur, dass die Beschleunigung entgegen der bisherigen Bewegungsrichtung verläuft; die physikalische Interpretation, ob die Beschleunigung „nach links“ oder „nach rechts“ gerichtet ist, muss man hingegen selbst treffen.

An den Beträgen der Beschleunigungen kann man erkennen, dass der Fahrer des schwereren Fahrzeugs beim Zusammenstoß eine geringere Bremsbeschleunigung erfährt der Fahrer des leichten Fahrzeugs; er hat also eine höhere Überlebenswahrscheinlichkeit.

Leichte Fahrzeuge gefährden zwar andere Verkehrsteilnehmer nur in geringerem Maße, sind aber bei Verkehrsunfällen gegenüber schweren Fahrzeugen benachteiligt. „Fair-Play“-Regelungen, wonach beispielsweise für schwere Fahrzeuge entsprechend striktere Regeln bezüglich Knautschzonen gelten müssten, konnten sich politisch bislang leider nicht durchsetzen.

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