Dynamik¶
Mechanische Kräfte¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Mechanische Kräfte.
Bremst man beim Fahrradfahren abrupt mit der Vorderbremse, so ähnelt dies einer Fahrt gegen eine hohe Bordsteinkante: Der Fahrer, der Fahrrad-Rahmen sowie das ungebremste Hinterrad behalten aufgrund ihrer Massenträgtheit ihre ursprüngliche Bewegungsrichtung und (zunächst) auch ihre Geschwindigkeit bei.
Da der Weg nach vorne „blockiert“ ist, ähnelt die Situation eher einem (schwungvollen) Hebelarm, der sich um eine feste Drehachse bewegt: Durch die Trägheit seiner Masse wird der Fahrer im schlimmsten Fall über die Lenkstange katapultiert. Die Vorderbremse sollte daher stets mit Bedacht und möglichst nur als „Unterstützung“ der Hinterrad-Bremse eingesetzt werden..
Während des Bremsens spürt ein Fahrgast seine Trägheitskraft und drückt unbewusst nach hinten. Der plötzliche Wegfall der Trägheitskraft beim Anhalten wird jedoch nicht schnell genug bemerkt, und der Körper gibt rückwärts nach.
Da der Einkaufswagen starr ist, können Zug- und Druckkräfte an ihm keine Verformung, sondern lediglich eine Veränderung seiner Geschwindigkeit hervorrufen. Wird der Wagen exakt im rechten Winkel zu seiner Querachse geschoben oder gezogen, so liegen die Wirkungslinien der jeweiligen Kraft auf einer Linie. In diesem Fall wird der Wagen durch gleich große Zug- oder Druckkräfte in gleichem Maße beschleunigt.
Kraft und Gegenkraft haben immer die gleiche Wirkungslinie, aber unterschiedliche Richtungen. Sie treten an allen Stellen auf, an denen Kräfte übertragen werden.
In den drei abgebildeten Fällen wirken jeweils Gewichtskräfte, denen jweils eine Auflagekraft des Bodens oder eine Haltekraft (des Armes bzw. der Decke) entgegen wirken. Im mittleren Teil der Abbildung könnte für jedes im Regal stehende Buch ein eigener Kraftpfeil eingezeichnet werden. Die Wirkung der einzelnen Gewichtskräfte auf den Boden ist allerdings mit der im Schwerpunkt wirkenden Gesamtkraft identisch. Da sich die Gewichtskraft gleichmäßig auf zwei Punkte verteilt, sind dort die Längen (Beträge) der Kraft-Gegenkraft-Pfeile nur halb so groß.
SVG: Kraft und Gegenkraft 1 (Lösung)
Im rechten Teil der Abbildung müssten korrekterweise zwei Kraftpaare eingezeichnet werden: Einerseits zieht die Kugel mit ihrer Gewichtskraft an der Feder und dehnt diese dabei, gleichzeitig hält die Feder die Kugel und hindert sie am Herunterfallen. Andererseits ziehen Kugel und Feder gemeinsam an der Decke, die wiederum mit ihrer Haltekraft entgegenwirkt. Die obige Darstellung kann in der vereinfachten Form nur dann genutzt werden, wenn das Gewicht der Feder gegenüber dem Gewicht der Kugel vernachlässigt werden kann.
Zusammenwirken mehrerer Kräfte¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Zusammenwirken mehrerer Kräfte.
Die Gewichtskraft
des Kindes
verteilt sich gleichmäßig auf beide Seilstücke. Somit gilt für die Kraft
in jedem der beiden Seile:
In beiden Seilen wirkt somit eine Zugkraft von rund
.
Zeichnerisch findet man die Gesamtkraft
, indem man ein Kräfteparallelogramm durch durch paralleles Verschiebung der beiden Kraftpfeile konstruiert. Die gesuchte Gesamtkraft entspricht der Diagonalen des Kräfteparallelogramms.
(Es würde bereits genügen, nur einen Pfeil parallel an die Spitze des anderen zu verschieben. Durch Bildung eines Kräfteparallelogramms erhöht sich bei Zeichnungen von Hand allerdings die Genauigkeit.)
SVG: Kraftaddition Schlitten (Lösung)
Rechnerisch lässt sich die Aufgabe lösen, indem man den Kräfte
und
mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen
und
in jeweils eine
- und eine
-Komponente aufteilt.
Für die Kraft
gilt:
Für die Kraft
gilt:
Das Minuszeichen der Kraftkomponente
gibt an, dass die Kraft entgegen der als positiv festgelegten
-Richtung verläuft. Um beide Kräfte zu addieren, werden die
- und die
-Komponenten beider Kräfte addiert. Es ergibt sich:
Die Gesamtkraft
hat somit einen Betrag von rund
und verläuft in die positive
-Richtung.
Bei einer Gleitreibungszahl von
ergibt sich aus der Gewichtskraft
folgende Reibungskraft
:
SVG: Kraftzerlegung beim Ziehen eines Schlittens (Lösung)
Wird der Schlitten mit konstanter Geschwindigkeit gezogen, so muss diese Reibungskraft von der horizontalen Komponente der Zugkraft ausgeglichen werden. Für die horizontale bzw. vertikale Komponente der Zugkraft gilt:
Für den Betrag der Zugkraft gilt somit
.
Wenn ein Kräfte-Gleichgewicht herrscht, so bilden die beteiligten Kräfte eine geschlossene Vektorkette; im Fall dreier Kräfte lassen sich die Vektoren zu einem Kräfte-Dreieck anordnen. Um die Winkel
,
und
in diesem Dreieck zu bestimmen, kann der Cosinus-Satz genutzt werden. Hierbei gilt:
Mit
,
und
folgt:
In Summe ergeben die obigen Winkel
. Die Winkel zwischen drei in einem Punkt wirkenden Kräften beträgt jedoch
, die „richtigen“ Winkel
,
und
entsprechen also den zu den obigen Winkeln gehörenden Außenwinkeln. Sie lassen sich berechnen, indem man für jeden Innenwinkel des Dreiecks die Differenz zu
bildet:
Für die Summe dieser Winkel gilt schließlich
.
Da die Laterne symmetrisch aufgehängt ist, müssen die Kräfte
und
im linken und im rechten Seilstück betragsmäßig gleich sein. Jedes der beiden Seilstücke muss somit in vertikaler Richtung die Hälfte des Gewichtskraft
der Lampe ausgleichen:
Die Größe der horizontalen Kraftkomponente kann graphisch mit Hilfe eines Kräfte-Parallelogramms oder rechnerisch mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen anhand des Winkels
bestimmt werden.
SVG: Kraftzerlegung am Beispiel einer Straßenlaterne (Lösung)
Der Winkel zwischen
bzw.
und der Horizontalen ist ebenfalls gleich
, da es sich um Z-Winkel handelt. Betrachtet man in der obigen Abbildung das orange hervorgehobene Dreieck, so lässt sich die horizontale Komponente
anhand der folgenden Beziehung ausdrücken:
Mit dem Cotangens-Wert
folgt somit
. Der Kraftanteil
ist ebenso groß, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.
Mit
,
und
lassen sich die Größen der Winkel
und
folgendermaßen berechnen:
Um die Beträge
und
der zwei unbekannten Kräfte zu berechnen, kann man ein Gleichungssystem der wirkenden Kräfte aufstellen. Dabei lassen sich als Bedingungen nutzen, dass die vertikalen Anteile der Kräfte in Summe die Gewichtskraft
der Lampe ausgleichen, und sich die horizontalen Anteile der Kräfte zu Null addieren. Es muss also gelten:
SVG: Asymmetrische Kraftzerlegung am Beispiel einer Straßenlaterne (Lösung)
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, kann beispielsweise die zweite Gleichung nach
aufgelöst werden:
Dieser Ausdruck für
kann anschließend in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es folgt:
Man erhält damit als allgemeine Lösungsformeln:
Setzt man hier
und
ein, so erhält man
und
.
Diese Lösung kann ebenfalls (wesentlich schneller!) gefunden werden, wenn man feststellt, dass die in der folgenden Abbildung farblich hervorgehobenen Dreiecke kongruent sind. Damit folgt mit Hilfe des Sinus-Satzes unmittelbar:
SVG: Asymmetrische Kraftzerlegung am Beispiel einer Straßenlaterne (Lösung)
Auch hier liefert ein Einsetzen der Werte
und
die Werte
und
.
Die an den beiden Seilstücken ziehenden Kräfte sind also jeweils deutlich größer als die Gewichtskraft der Lampe. Da
ist, hat die Kraft
einen größeren Kraftteil in vertikaler Richtung als
.
Arten mechanischer Kräfte¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Arten mechanischer Kräfte.
Um die Gewichtskraft
zu berechnen, die einer Masse
entspricht, muss diese mit dem jeweiligen Ortsfaktor
multipliziert werden. Für die Erde gilt mit
und
:
Auf dem Mond gilt für den Ortsfaktor
und somit:
Die Gewichtskraft der
-Masse ist auf der Erde mit
somit etwa
mal größer als die Gewichtskraft
der gleichen Masse auf dem Mond.
Der Ortsfaktor auf dem Mond ist
, der Ortsfaktor auf der Erde ist
. Der Astronaut spürt auf der Erde somit eine
-fache Gewichtskraft:
Die Masse des Astronauten lässt sich berechnen, indem man seine Gewichtskraft durch den jeweiligen Ortsfaktor teilt:
Die Masse des Astronauten beträgt somit
.
Ohne Reibung würden die Füße – extremer als auf Eis – unkontrollierbar über den Boden gleiten.
Tatsächlich muss die Erde immer „dagegen halten“, wenn ein Körper (durch Muskelkraft oder einen Motor) in eine bestimmte Richtung beschleunigt werden soll. Ohne Reibung würde die Erde keine Kraft spüren, und damit wäre auch die Gegenkraft der Erde auf den Körper gleich Null. Der Körper erfährt somit keine Beschleunigung.
Um die Holzkiste in Bewegung zu versetzen, muss ihre Haftreibungskraft
überwunden werden. Setzt man die Masse
und die Haftreibungszahl
in die Haftreibungs-Gleichung ein, so ergibt sich:
Es muss somit eine Kraft
aufgebracht werden, um die Kiste in Bewegung zu versetzen. Um das Gleiten aufrecht zu erhalten, muss nur die Gleitreibungskraft
ausgeglichen werden:
Somit gilt für die zum (Weiter-)Gleiten der Kiste nötige Kraft
.
Die Federkonstante
einer Schraubenfeder ist gleich dem Verhältnis aus der auf sie wirkenden Kraft
und der resultierenden Längenänderung
:
Setzt man die Werte
und
ein, erhält man:
Die Federkonstante
beträgt somit
.
Für den Betrag der zum Dehnen einer Feder nötigen Spannkraft
gilt mit
und
:
Es ist somit eine Kraft von
nötig, um die Schraubenfeder
weit zu dehnen.
Die Dehnung
einer Feder lässt sich anhand der bekannten Federhärte
und der wirkenden Kraft
wie folgt berechnen:
Die Schraubenfeder wird somit um
gedehnt.
Damit das Fahrzeug nicht aus der Kurve gleitet, muss die Haftreibungskraft
zwischen der Straße und den Reifen mindestens genauso groß sein wie die zum Durchfahren der Kurve nötige Radialkraft
, es muss also gelten:
Der Mindestradius
der Kurvenbahn beim Durchfahren mit einer bestimmten Geschwindigkeit
ist also unabhängig von der Fahrzeugmasse. Mit
,
und
folgt:
Der Mindestradius beträgt somit knapp
.