Quadratische Gleichungen¶
Bei einer quadratischen Gleichung tritt die Variable in der zweiten
Potenz
und gegebenenfalls zusätzlich in erster Potenz auf; sie darf
dabei nicht im Nenner stehen. Jede quadratische Gleichung kann durch äquivalente
Umformungen in die allgemeine Form gebracht werden:
(1)¶
Hierbei sind ,
und
beliebige Konstanten.
Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen. Wie viele und welche
Lösungen eine quadratische Gleichung im konkreten Fall hat, kann direkt bestimmt
werden, wenn die Gleichung in der allgemeinen Form vorliegt. Die Anzahl an
Lösungen ist durch den Wert ihrer so genannten „Diskriminante“ bestimmt, die anhand der allgemeinen Gleichungsform
(1) unmittelbar berechnet werden kann. Damit lassen
sich die folgenden drei Fälle unterscheiden:
(2)¶
Dieses Verfahren, anhand der Diskriminante auf die Anzahl und die
Werte der Lösungen schließen zu können, wird umgangssprachlich auch als
„Mitternachtsformel“ bezeichnet.[1][2] Sie lässt sich auf jede quadratische
Gleichung anwenden, die in der allgemeinen Form (1)
vorliegt.
Sonderfälle quadratischer Gleichungen
Liegen Spezialfälle von quadratischen Gleichungen vor, so können auch andere, teilweise einfachere Lösungsverfahren genutzt werden:
Ist
, so liegt eine quadratische Gleichung folgender Form vor:
Diese Gleichung kann direkt nach
aufgelöst werden:
Die Gleichung hat nur dann die beiden obigen Lösungen, wenn
und
unterschiedliche Vorzeichen haben, andernfalls ist die Lösungsmenge gleich
(falls
ist) oder gleich der leeren Menge (falls
ist).
Anschaulich ist die obige Gleichung daduch zu erklären, dass für das Quadrat jeder Zahl
stets
gilt. Wird nun eine Quadratzahl mit einem positiven Faktor multipliziert, so kann man nicht eine weitere positive Zahl hinzu addieren, um als Ergebnis den Wert Null zu erhalten.
Ist
, fehlt also ein
-freier Term, so liegt eine quadratische Gleichung folgender Form vor:
Die Mitternachtsformel liefert in diesem Fall die beiden Werte
und
als Lösungen. Die gleichen Lösungen erhält man, indem man auf der linken Seite der Gleichung
als gemeinsamen Faktor ausklammert:
Da ein Produkt nur dann gleich Null ist, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren gleich Null ist, folgt aus der obigen Gleichungsform, dass entweder der
oder
gelten muss. Aus dem ersten Fall folgt
, aus dem zweiten Fall (einer linearen Gleichung) folgt
.
Ist
, so liegt eine „normierte“ quadratische Gleichung vor:
Jede allgemeine quadratische Gleichung mit
kann ebenfalls mittels Division durch
ebenfalls in eine normierte Form gebracht werden. Setzt man
und
, so lässt sich jede quadratische Gleichung in normierter Form darstellen:
(3)¶
Sind
und
ganze Zahlen, so lassen sich die Lösungen der Gleichung bisweilen auch schnell mit Hilfe des nach dem Mathematiker François Viète benannten „Satz von Vieta“ bestimmen. Hierbei wird genutzt, dass zwischen den beiden möglichen Lösungen
und
, für die auch
gelten kann, folgender Zusammenhang besteht:[3]
Kennt man die möglichen ganzzahligen Faktoren der Zahl
, so lässt sich durch Kopfrechnen oftmals ein Zahlenpaar finden, das als Summe genau den negativen Wert von
ergibt. Dieses Zahlenpaar stellt dann die gesuchten Lösungen von Gleichung (3) dar.[4]
Produktform quadratischer Gleichungen
Sind und
die Lösungen einer
quadratischen Gleichung, wobei auch
zulässig
ist, so kann diese allgemein auch in folgender Form dargestellt werden:
Eine solche Aufteilung einer Gleichung in mehrere lineare Faktoren wird als Linearfaktorzerlegung oder Produktform bezeichnet. Diese Darstellung spielt für quadratische Gleichungen nur eine untergeordnete Rolle, sie kann allerdings in nützlicher Weise auch bei Gleichungen höheren Grades angewendet werden.
Anmerkungen:
[1] | Im ersten Fall Im Fall |
[2] | Die Gleichung (2) gilt,
sofern mit reellen Zahlen Damit ergeben sich als Lösungen: |
[3] | Nach der „Mitternachtsformel“
(2) gilt mit Ebenso gilt: |
[4] | Die „Mitternachtsformel“ (2) kann selbstverständlich ebenso zur Lösung von Gleichung (3) genutzt werden. |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.