Algebraische Gleichungen höheren Grades¶
Bei einer algebraischen Gleichung -ten Grades tritt die Variable
in der Potenz
und gegebenenfalls in Potenzen niederen
Grades auf; sie darf dabei nicht im Nenner stehen. Jede algebraische Gleichung
kann durch äquivalente Umformungen in die allgemeine Form gebracht werden:
Der Term auf der linken Seite der obigen Gleichung, der aus einer Summe von
Vielfachen von Potenzen einer Variablen (meist ) besteht, wird
allgemein als „Polynom“ bezeichnet.
Algebraische Gleichungen lassen sich im Allgemeinen nur näherungsweise mit Hilfe
eines geeigneten Computerprogramms[1] lösen. Eine Gleichung -ten
Grades hat dabei maximal
Lösungen. Unmittelbar rechnerisch lösbar sind
Gleichungen dritten oder höheren Grades jedoch dann, wenn einer der
folgenden Sonderfälle vorliegt:
- Fehlt bei einer Gleichung
-ten Grades das
-freie Glied, so kann auf der linken Gleichungsseite
ausgeklammert werden. Damit ist
als (erste) Lösung der Gleichung gefunden. Der verbleibende Term muss als Gleichung
-ten Grades separat gelöst werden.[2] Beispielsweise lassen sich auf diese Weise Gleichungen dritten Grades („kubische Gleichungen“) auf quadratische Gleichungen zurückführen, die mit Hilfe der Mitternachtsformel gelöst werden können.
Treten bei einer algebraischen Gleichung vierten Grades nur gerade Exponenten auf, d.h. gilt
, so kann die Gleichung durch die Einführung einer neuen Variablen
auf eine quadratische Form gebracht werden. Dieses Verfahren wird als Substitution bezeichnet. Es gilt:
Ist die neue quadratische Gleichung für
gelöst (mit den Lösungen
und
), so können anhand der Gleichung
wiederum die Lösungen der ursprünglichen Gleichung berechnet werden („Rücksubstitution“).[3] Es folgt:
Da Potenzieren und Wurzelziehen nicht unbedingt äquivalente Umformungen einer Gleichung darstellen, muss durch Einsetzen überprüft werden, ob die so gefundenen Werte tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind.
Die Substitutions-Methode ist allgemein für Gleichungen der Form
anwendbar, wenn
eingesetzt wird.
Ist eine Lösung
einer algebraischen Gleichung höheren Grades bekannt oder kann sie durch Ausprobieren einfach ermittelt werden, so kann die Gleichung – wie bei einer Linearfaktorzerlegung – in ein Produkt aus
und einem Restterm zerlegt werden. Dieser Restterm kann in umgekehrter Weise berechnet werden, indem man den ursprünglichen Term durch
teilt. Es gilt somit:
Diese so genannte „Polynomdivision“ wird nach einem ähnlichen Verfahren durchgeführt wie die schriftliche Division:
- Zunächst wird der erste Summand
des ursprünglichen Terms durch
geteilt. Das erste Teilergebnis
wird auf die rechte Seite des Istgleich-Zeichens geschrieben.
- Das erste Teilergebnis wird mit
multipliziert, das Ergebnis dieser Rechnung unter den ersten Summanden des ursprünglichen Terms geschrieben und vom ursprünglichen Term abgezogen. Zu dem sich so ergebenden Rest werden weitere Summanden des ursprünglichen Terms hinzugenommen.
- Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis kein Rest mehr übrig bleibt.[4]
Der Restterm hat nur noch den Grad
und kann üblicherweise leichter ausgewertet werden.
- Zunächst wird der erste Summand
Anmerkungen:
[1] | Siehe Abschnitt Computer-Algebra-Systeme. |
[2] | Hierbei ist wiederum die Überlegung grundlegend, dass ein Produkt nur dann gleich Null ist, wenn (mindestens) einer der beiden Faktoren gleich Null ist. Lösungen des restlichen Terms sind somit auch Lösungen der ursprünglichen Gleichung. |
[3] | Hierbei gilt zu beachten, dass für reelle Zahlen keine negativen
Wurzeln definiert sind. Ist ![]() ![]() |
[4] | Bliebe bei der Polynomdivision ein Rest übrig, so wäre ![]() |
Hinweis
Zu diesem Abschnitt gibt es Übungsaufgaben.