Lösungen zur Optik

Ausbreitung des Lichts

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Ausbreitung des Lichts.

  • Licht breitet sich von der Sonne geradlinig in alle Richtungen unseres Sonnensystems aus. Nur der schmale Lichtkegel, der dabei auf die Erde trifft, wird von uns direkt wahrgenommen. Zusätzlich können wir das Sonnenlicht wahrnehmen, wenn es auf andere Himmelskörper (vor allem Planeten und Kometen) trifft.

    Da das übrige Sonnenlicht unser Auge nicht erreicht, erscheint uns das restliche Weltall als dunkel.

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  • Die Zeit, die Licht zum Durchqueren eines Zimmers benötigt, beträgt weniger als \unit[\frac{1}{10\,000\,000}]{s}. Zwar wird Licht beim Durchqueren von verschiedenen „optisch dichten“ Stoffen (beispielsweise Wasser) etwas abgebremst, doch ist es stets so schnell, dass es für eine konstante Beleuchtung ständig von einer Lichtquelle neu erzeugt werden muss.

    Das „Einfangen“ von winzigen Lichtmengen in einem lichtundurchlässigen Behältnis ist zwar möglich, doch können wir es dann nicht sehen – dafür müsste das Licht ja aus dem Behältnis entweichen und in unsere Augen gelangen..

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Reflexion von Licht

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Reflexion von Licht.

  • Nur diejenigen Stoffe, die eine glatte Oberfläche besitzen, können Licht direkt reflektieren – beispielsweise Diamant, Fensterglas, Flüssigkeiten, Metalle und Kunststoffe (geschliffen und poliert), Salz, Zucker, Wasser, Schnee und Eis, Hochglanzpapier, etc.

    Stoffe mit rauhen Oberflächen können Licht diffus, d.h. in alle Richtungen streuend, reflektieren. Das reflektierte Licht erscheint dann als „matt“, d.h. es treten keine Glanzstellen auf.

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  • Das Licht, das von Sternen zur Erde gelangt, trifft auf seinem Weg durch das Weltall auf kein Hindernis; es breitet sich daher geradlinig und „verlustfrei“ über beliebig lange Strecken aus. Nachts können wir, wenn der Himmel nicht zu bewölkt oder neblig ist, dieses Licht daher auch auf der Erde beobachten. Die besten Beobachtungen können allerdings von Satelliten aus gemacht werden, denn entlang des Weges durch die Atmosphäre trifft einfallende Licht auf kleine Wasser-Tröpfchen und wird von diesen aus gleichmäßig in alle Richtungen reflektiert („gestreut“). Diese Streuung findet vor allem in den erdnahen Atmosphären-Schichten statt, da dort eine höhere Gas- und Feuchtigkeitsdichte vorherrscht.

    Aus dem gleichen Grund können wir auch Lichtquellen auf der Erde nur bedingt weit sehen; bei nebligem Wetter wird die Sichtweite nochmals erheblich verkürzt.

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Lichtbrechung

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Lichtbrechung.

  • Die Lichtgeschwindigkeit c in dem optischen Medium lässt sich berechnen, indem man die Lichtgeschwindigkeit c_0 = \unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s} im Vakuum durch die Brechzahl n=1,48 des optischen Mediums teilt:

    c = \frac{c_0}{n} = \frac{\unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s}}{1,48} \approx \unit[2,03 \cdot 10^8]{m/s}

    Die Lichtgeschwindigkeit in dem optischen Medium beträgt somit rund \unit[2,03 \cdot 10^8]{m/s}.

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  • Die (absolute) Brechzahl n des optischen Mediums lässt sich mittels der angegebenen Lichtgeschwindigkeit c=\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s} berechnen, indem das Verhältnis aus der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit im Medium gebildet wird:

    n = \frac{c_0}{c} = \frac{\unit[3,0 \cdot 10^8]{m/s}}{\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s}} = 1,31

    Die Brechzahl des optischen Mediums beträgt somit n=1,31. (Ein Vergleich mit tabellarischen Werten lässt vermuten, dass es sich bei dem Medium um Eis handelt.)

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  • Trifft ein Lichtstrahl von einem optisch dünnen Medium (Luft, n_1=1) auf ein optisch dichteres Medium (beispielsweise Glycerin, n_2 = 1,45), so wird er zur Senkrechten hin gebrochen. Als Zusammenhang zwischen den Winkeln des einfallenden und gebrochenen Strahls gilt folgende Formel:

    \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} = \frac{n_2}{n_1}

    Im gegebenen Fall ist \alpha = 30\degree und n_1 = 1, gesucht ist der Winkel \beta. Löst man die Formel nach der gesuchten Größe auf, so folgt:

    \beta = \text{asin}\left( \frac{\sin{\alpha}}{n_2} \right) = \text{asin} \left( \frac{\sin{(30 \degree)}}{1,45}\right) \approx 20,2\degree

    Der Winkel des gebrochenen Strahls beträgt etwa 20,2\degree.

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  • Die relative Brechzahl \frac{n_2}{n_1} für den Übergang eines Lichtsrahls von Medium 1 (Quarzglas, n_1 = 1,46) in Medium 2 (Flintglas, n_2 = 1,70) lässt sich als Quotient der Brechzahlen beider Medien berechnen:

    \frac{n_2}{n_1} = \frac{1,70}{1,46} \approx 1,16

    Die Lichtbrechung erfolgt so, als würde ein sich zunächst in Luft ausbreitender Lichtstrahl auf ein optisches Medium mit einer Brechzahl von 1,16 treffen: Der Lichtstrahl wird zur Senkrechten hin gebrochen, der Sinus des Brechungswinkels \beta ist um das 1,16-fache kleiner als der Sinus des Einfallswinkels \alpha.

    Ist der Einfallswinkel \alpha = 20 \degree, so beträgt der Brechungswinkel \beta folglich:

    \sin{\beta} &= \frac{\sin{(\alpha)} \cdot n_1}{n_2} \quad \Leftrightarrow \quad \beta = \text{asin}\left( \frac{\sin{(\alpha)} \cdot n_1}{n_2} \right) \\[4pt] \beta &= \text{asin}\left( \frac{\sin{(20 \degree)}}{1,16}\right) \approx 17\degree

    Der Winkel \beta des gebrochenen Lichtstrahls beträgt somit rund 17\degree.

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  • Da der im Winkel \alpha_1= 50,0\degree einfallende Lichtstrahl an der Grenzfläche zur Senkrechten hin gebrochen wird (\beta = 30,9), muss für die Brechzahlen beider Medien n_2 > n_1 gelten. Mit n_1 = 1 folgt aus dem Brechungsgesetz:

    n_2 = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \cdot n_1 = \frac{\sin{50,0}}{\sin{30,9\degree}} \cdot 1 \approx 1,49

    Beim zweiten Übergang (\alpha_2 = 30,9\degree,\, \beta_2 = 33,6\degree) wird der Lichtstrahl von der Senkrechten weg gebrochen, folglich muss n_3 < n_2 gelten. Mit n_2 \approx 1,49 folgt:

    n_3 = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \cdot n_2 = \frac{\sin{30,9}}{\sin{33,6\degree}} \cdot 1,49 \approx 1,38

    Die Brechzahlen betragen somit näherungsweise n_1 = 1 (Luft), n_2 = 1,49 (beispielsweise Plexiglas oder Leinöl) und n_3 = 1,38 (beispielsweise Wasser mit 1 mol/l Saccharose).

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  • Geht ein Lichtstrahl von Diamant (n_1 = 2,4) in Luft (n_2 = 1) über, so gilt für den Grenzwinkel \alpha_{\mathrm{max}}:

    \sin{\alpha_{\mathrm{max}}} &= \frac{n_2}{n_1} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_{\mathrm{max}} = \text{asin}\left( \frac{n_2}{n_1}\right) \\[4pt] \alpha_{\mathrm{max}} &= \text{asin}\left( \frac{1}{2,4}\right) \approx 24,6\degree

    Der Grenzwinkel \alpha_{\mathrm{max}} beim Übergang eines Lichtstrahls von Diamant in Luft beträgt somit rund 24,6\degree. Trifft ein Lichstrahl mit einem größeren Winkel auf die Grenzfläche, so tritt Totalreflexion ein. Der Lichtstrahl kann den Diamanten (an dieser Stelle) also nicht mehr verlassen, sondern wird anstelle dessen gemäß des Reflexionsgesetzes in den Diamanten zurück reflektiert.

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  • Die zwei möglichen Fälle, in denen Licht beim Übergang von einem transparenten Medium in ein anderes nicht gebrochen wird, lassen sich gut erkennen, indem man die Gleichung für das Brechungsgesetz folgendermaßen umstellt:

    \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin{\alpha} }{\sin{\beta}} \quad \Leftrightarrow \quad n_2 \cdot \sin{\alpha} = n_1 \cdot \sin{\beta}

    Soll keine Lichtbrechung stattfinden, so muss \alpha = \beta gelten. Dies ist einerseits der Fall, wenn n_1 = n_2 gilt, also die Brechungsindizes der beiden Medien gleich sind. Andererseits gilt auch \alpha = 0 \degree \rightarrow \beta = 0\degree und damit \alpha = \beta, wenn der eintretende Lichtstrahl senkrecht zur Oberfläche der Grenzschicht verläuft. In allen anderen Fällen tritt Lichtbrechung auf.

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Linsensysteme

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Linsensysteme.

  • Die Brechkraft D einer Sammellinse mit einer Brennweite von f = \unit[150]{mm} = \unit[0,150]{m} beträgt:

    D = \frac{1}{f} = \frac{1}{\unit[0,150]{m}} = \unit[6,67]{dpt}

Die Linse hat also eine Brechkraft von rund \unit[6,67]{dpt}.

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  • Die Brennweite f einer Zerstreuungslinse mit einer Brechkraft von D = \unit[-4,0]{dpt} lässt sich folgendermaßen berechnen:

    D = \frac{1}{f} \quad \Leftrightarrow \quad f = \frac{1}{D}

    D = \frac{1}{f} = \frac{1}{\unit[-4]{dpt}} = \frac{1}{\unit[-4]{\frac{1}{m}}} = \unit[-0,25]{m}

    Die Brennweite der Zerstreuungslinse beträgt also rund \unit[-25]{cm}.

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  • Die Brennweite f_{\mathrm{ges}} des Linsensystems erhält man, indem man die Kehrwerte der Brennweiten beider Linsen addiert und anschließend den Kehrwert von diesem Ergebnis bildet. Mit f_1 = \unit[50]{mm} = \unit[0,050]{m} und f_2 = \unit[75]{mm}= \unit[0,075]{m} folgt:

    \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right)}

    f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,050]{m}} + \frac{1}{\unit[0,075]{m}}} = \unit[0,03]{m}

    Die Brennweite des Linsensystems beträgt somit insgesamt \unit[30]{mm}. Das gleiche Ergebnis kann man erhalten, indem man zunächst beide Brennweiten mittels der Formel D = \frac{1}{f} in Dioptrien umrechnet, die Dioptrienzahlen addiert, und von der Gesamt-Dioptrienzahl wiederum auf die zugehörige Brennweite umrechnet:

    D_1 &= \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\unit[0,050]{m}} = \unit[20,0]{dpt} \\ D_2 &= \frac{1}{f_2} = \frac{1}{\unit[0,075]{m}} = \unit[13,3]{dpt} \\ D_{\mathrm{ges}} &= D_1 + D_2 = \unit[20,0]{dpt} + \unit[13,3]{dpt} = \unit[33,3]{dpt} \\ f_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{D_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[33,3]{dpt}} = \frac{1}{\unit[33,3]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,03]{m}

    Auch mit diesem Rechenweg erhält man eine Gesamt-Brennweite von \unit[30]{mm}.

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  • Um die Entfernung b des Bildes von der Linse zu berechnen, muss man die gegebenen Größen D = \frac{1}{f} = \unit[5,0]{dpt} = \frac{5,0}{\unit{\frac{1}{m}}} und g = \unit[60]{cm} = \unit[0,6]{m} in die Linsengleichung einsetzen:

    \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g} = D - \frac{1}{g}

    b = \frac{1}{D - \frac{1}{g}} = \frac{1}{\unit[5]{\frac{1}{m}} - \frac{1}{\unit[0,6]{m}}} = \frac{1}{\unit[3,33]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,3]{m}

    Das Bild befindet sich also im Abstand von \unit[30]{cm} hinter der Linse. Für den Abbildungsmaßstab \tilde{\beta} folgt somit:

    \tilde{\beta} = \frac{b}{g} = \frac{\unit[0,3]{m}}{\unit[0,6]{m}} = \frac{1}{2}

    Der Gegenstand wird durch die Linse somit um die Hälfte verkleinert abgebildet.

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  • Wenn die Brechkraft einer Zerstreuungslinse D = \unit[-8,0]{dpt} beträgt, so entspricht dies einer Brennweite von f = \frac{1}{D} = \frac{1}{\unit[-8]{dpt}} = \unit[0,125]{m}. Setzt man diese Größe sowie die Entfernung g=\unit[9,0]{cm} = \unit[0,090]{m} des Gegenstands von der Linse in die Linsengleichung ein, so erhält man:

    \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g}

    b = \frac{1}{\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{g}\right)} = \frac{1}{\left( \frac{1}{\unit[-0,125]{m}} - \frac{1}{\unit[0,090]{m}}\right)} = \unit[-0,052]{m}

    Das Bild des Gegenstands befindet sich somit in einem Abstand von \unit[5,2]{cm} vor (!) der Zerstreuungslinse.

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Optische Geräte

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Optische Geräte.

  • Die Vergrößerung V des Kepler-Fernrohrs entspricht dem Verhältnis der Brennweiten f_{\mathrm{Obj}} = \unit[0,32]{m} des Objektivs und f_{\mathrm{Ok}} = \unit[0,04]{m} des Okulars:

    V = \frac{f_{\mathrm{Obj}}}{f_{\mathrm{Ok}}} = \frac{\unit[0,32]{m}}{\unit[0,04]{m}} = 8

    Das Kepler-Fernrohr hat somit eine 8-fache Vergrößerung.

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