Lösungen zur Arithmetik

Grundrechenarten und Rechenregeln

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Grundrechenarten und Rechenregeln.

  • \text{a) } Durch Addition beziehungsweise Subtraktion können nur gleichartige Terme zusammengefasst werden (beispielsweise ergibt a + a +a = 3 \cdot a, a + b + c lässt sich hingegen nicht weiter vereinfachen). Im konkreten Fall müssen zunächst die Klammern aufgelöst werden:

    {\color{white}= }&3 \cdot a - 2 \cdot b - (6 \cdot a + 3 \cdot b) - (-3 \cdot a - 4 \cdot b) \\ = &3 \cdot a - 2 \cdot b - \,\, 6 \cdot a - 3 \cdot b \quad + \;\; 3 \cdot a + 4 \cdot b \\

    Hierbei wurde berücksichtigt, dass ein Minus-Zeichen vor einer Klammer das Vorzeichen aller Terme innerhalb der Klammer vertauscht. Nun können die einzelnen Vielfachen von a- beziehungsweise b sortiert und zusammengefasst werden. Man erhält damit

    &3 \cdot a \; - \; 2 \cdot b \; - \; 6 \cdot a \;\; - \;\; 3 \cdot b \; + \; 3 \cdot a \; + \; 4 \cdot b \\ = \;&3 \cdot a \; - \; 6 \cdot a \; + \; 3 \cdot a \;\; - \;\; 3 \cdot b \; - \; 2 \cdot b \; + \; 4\cdot b = - b \\

    Das Sortieren der einzelnen Summanden ist optional und wird meist nicht explizit geschrieben; im obigen Beispiel wurden die Terme nur zwecks der besseren Übersichtlichkeit explizit sortiert.

  • \text{b) } Um Terme miteinander zu multiplizieren, multipliziert man einerseits die Koeffizienten (mit ihren Vorzeichen) sowie die Variablen miteinander. Im konkreten Fall ergibt sich damit:

    &5 \cdot a \cdot b \cdot (-2) \cdot b^2 \cdot c \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot b \cdot c^2 \\ = \; & 5 \cdot (-2) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a^2 \cdot b \cdot b^2 \cdot b \cdot c \cdot c^2 = - 5 \cdot a^3 \cdot b^4 \cdot c^3\\

    Ebenso wie bei der Multiplikation von Zahlen können somit auch Produkte von gleichartigen Variablen zu Potenzen zusammengefasst werden.

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Bruchrechnung

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Bruchrechnung.

  • Bei der Angabe eines Definitionsbereichs muss sichergestellt werden, dass der Nenner eines Bruchterms nicht Null wird. Konkret muss also gelten:

    \begin{array}{>{\arraybackslash$}p{14cm}<{$} >{\arraybackslash$}p{1cm}<{$}} \text{a) } \dfrac{5 \cdot a - 3}{4 \cdot a} \qquad \quad \;\;\, \Rightarrow \; 4 \cdot a \ne 0 \;\,\quad \Longleftrightarrow \quad a \ne 0 & \\[16pt] \text{b) } \dfrac{2 \cdot a + 4 \cdot b}{b - 7} \qquad \;\; \Rightarrow \; b - 7 \ne 0 \quad \Longleftrightarrow \quad b \ne 7 & \\[16pt] \text{c) } \dfrac{8}{(c + 3) \cdot (c - 2)} \;\;\; \Rightarrow \; (c+3) \ne 0 \text{ und } (c-2) \ne 0 \quad \Longleftrightarrow \quad c \ne -3 \; \wedge \; c \ne 2 & \\[18pt] \text{d) } \dfrac{2 \cdot c \, + \, 5 \cdot d \, + \, 1}{3 \cdot d\;\!^2 + 1} \; \Rightarrow \; d\;\!^2 > -1 \; \quad \Longleftrightarrow \quad \text{ keine Einschränkung nötig!} & \\[12pt] \end{array}

    In Teilaufgabe \text{d) } wurde die Tatsache genutzt, dass das Quadrat einer Zahl stets positiv ist.

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  • \text{a) } Die beiden Bruchterme haben den gleichen Nenner; folglich lassen sich ihre Zähler unmittelbar zusammenfassen:

    \frac{8 \cdot a - 3 \cdot b}{a^2 - b^2} - \frac{5 \cdot a - 6 \cdot b}{a^2 - b^2} = \frac{8 \cdot a - 3 \cdot b - (5 \cdot a - 6 \cdot b)}{a^2 - b^2} = \frac{3 \cdot a + 3 \cdot b}{a^2 - b^2}

    Im Zähler kann nun 3 als gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden; der Nenner kann als binomische Formel geschrieben werden. Damit ergibt sich:

    \frac{3 \cdot a + 3 \cdot b}{a^2 - b^2} = \frac{3 \cdot (a + b)}{(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{3}{a - b}

    Im letzten Rechenschritt wurde der gemeinsame Faktor (a+b) gekürzt.

  • \text{b) } Bei dem Produkt der beiden Bruchterme kann der Faktor (c-d) gekürzt werden; ebenso kann der verbleibende Zählerterm (c+d) gegen das Quadrat dieses Terms im Nenner gekürzt werden. Damit ergibt sich:

    \dfrac{c + d}{c - d} \cdot \dfrac{(c - d)}{(c+d)^2} = \frac{(c+d) \cdot \cancel{(c-d)}}{\cancel{(c-d)} \cdot (c+d)^2} = \frac{c+d}{(c+d)^2} = \frac{1}{c+d} \\ {\color{white}...}

  • \text{c) } Dividieren heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren. Damit ergibt sich:

    \dfrac{8 \cdot e^2 \cdot f}{3 \cdot g \cdot h} : \dfrac{4 \cdot e \cdot f}{6 \cdot g^2 \cdot h^2} = \dfrac{8 \cdot e^2 \cdot f}{3 \cdot g \cdot h} \cdot \dfrac{6 \cdot g^2 \cdot h^2}{4 \cdot e \cdot f}

    Dieses Produkt enthält sowohl im Zähler wie auch im Nenner ausschließlich Produkte; die einzelnen Faktoren können somit folgendermaßen gekürzt werden:

    \dfrac{8 \cdot e^2 \cdot f \cdot 6 \cdot g^2 \cdot h^2 }{3 \cdot g \cdot h \cdot 4 \cdot e \cdot f} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot e^2 \cdot g^2 \cdot h^2}{e \cdot g \cdot h} = 4 \cdot e \cdot g \cdot h

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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.

  • \text{a) } Die Wurzel kann folgendermaßen umgestellt werden:

    \sqrt[2]{16}^3 = 16^{\frac{3}{2}} = (\sqrt[2]{16})^3 = 4^3 = 64

  • \text{b) } Beim Quadrieren eines Produkts werden alle Faktoren einzeln quadriert, es gilt also (a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c. Man erhält damit:

    (5 \cdot \sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot \sqrt{2}^2 = 25 \cdot 2 = 50

  • \text{c) } In der Darstellung als allgemeine Potenz ergibt sich für die Wurzel:

    (\sqrt[2]{7})^4 = 7^{\frac{4}{2}} = 7^2 = 49

  • \text{c) } Auch in diesem Fall ist eine Darstellung der Wurzel als allgemeine Potenz hilfreich. Mit dem Zusammenhang (a^b)^c = a^{b \cdot c} ergibt sich:

    \sqrt[4]{a^8 \cdot b^4}^3 = (a^8 \cdot b^4)^{\frac{3}{4}} = a ^{8 \cdot \frac{3}{4}} \cdot b^{4 \cdot \frac{3}{4}} = a^6 \cdot b^3 \\[12pt]

  • \text{e) } Der Term lässt sich vereinfachen, indem man die einzelnen Wurzeln schrittweise „zusammenzieht“:

    \sqrt[3]{7 \cdot \sqrt{7 \cdot \sqrt[3]{7}}} = \sqrt[3]{7 \cdot \sqrt{\sqrt[3]{7^3 \cdot 7}}} = \sqrt[3]{7 \cdot \sqrt[6]{7^4}} = \sqrt[3]{7 \cdot \sqrt[3]{7^2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{7^3 \cdot 7^2}} = \sqrt[9]{7^5}

    Im ersten Schritt wurde für der Faktor 7 durch den gleichwertigen Ausdruck \sqrt[3]{7^3} ersetzt und damit das Produkt der Wurzeln \sqrt[3]{7^3} \cdot \sqrt[3]{7} zu einer Wurzel \sqrt[3]{7^3 \cdot 7} zusammengefasst. Dadurch konnte die Quadrat- und die innere Kubikwurzel als eine einzige Wurzel geschrieben werden. Ein ähnliches Vorgehen wurde dann nochmals angewendet.

    Eine alternative, vielleicht übersichtlichere Schreibweise erhält man, wenn man die einzelnen Wurzeln als allgemeine Potenzen darstellt:

    \sqrt[3]{7 \cdot \sqrt{7 \cdot \sqrt[3]{7}}} = \left( 7 \cdot \left( 7 \cdot 7^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( 7 \cdot \left( 7^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( 7 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( 7^{\frac{5}{3}} \right)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{5}{9}} \\ {\color{white}...}

  • \text{f) } Zunächst kann man das Minus im Exponenten beseitigen, indem man Zähler und Nenner vertauscht:

    \left( \dfrac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[2]{6}} \right)^{-6} = \left( \dfrac{\sqrt[2]{6}}{\sqrt[3]{3}} \right)^6

    Für eine weitere Vereinfachung ist es empfehlenswert, die Wurzeln als allgemeine Potenzen darzustellen und den Zusammenhang (a^b)^c = a^{b \cdot c} zu nutzen:

    \left( \dfrac{\sqrt[2]{6}}{\sqrt[3]{3}} \right)^6 = \left( \frac{6^{\frac{1}{2}}}{ 3^{\frac{1}{3}}} \right)^6 = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{ 3 ^{\frac{1}{3} \cdot 6}} = \frac{6^3}{3^2} = 24

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