Integralrechnung¶
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die Übungsaufgaben zum Abschnitt Integralrechnung.
Integrationsmethoden
Bei dieser Aufgabe entspricht die Variable
der Zeit
. Dies kommt bei physikalischen Aufgaben so häufig vor, dass eigens die Notation
anstelle von
eingeführt wurde.
Da die Zu- beziehungsweise Abflussmenge in den jeweiligen Zeitabschnitten konstant ist, kann die im Waschbecken enthaltene Wassermenge sehr einfach berechnet werden. Hierbei wird folgende Integralregel verwendet:
Wendet man diese Regel an (mit
anstelle von
als Variable) auf den konstanten Volumenstrom
an, so ergibt sich mit
für die im Waschbecken enthaltene Wassermenge am Ende des ersten Zeitabschnitts:
Der zweite Term
ergibt hierbei den Wert Null, da
ist. Zum Zeitpunkt
sind somit neun Liter Wasser im Waschbecken enthalten.
Im Zeitraum zwischen
und
ist der Zu- beziehungsweise Ablauf verschlossen und somit der fließende Volumenstrom gleich Null. Die im Zeitraum zwischen
und
abfließende Wassermenge kann wiederum nach dem obigen Prinzip berechnet werden; es muss lediglich das negative Vorzeichen des Volumenstroms berücksichtigt werden.
Die resultierende Wassermenge ergibt sich aus der Addition beider Integrale:
Unter den angegebenen Bedingungen werden zum Zeitpunkt
somit drei Liter Wasser im Waschbecken sein.
Das Integral
kann am Einfachsten mittels einer partiellen Integration berechnet werden, indem man sich die gegebene Funktion in der Gestalt
denkt; hierbei soll
und
gesetzt werden.
Für eine partielle Integration gilt allgemein:
Zur Berechnung des Integrals muss somit die Ableitung der Funktion
sowie die Stammfunktion der Funktion
gefunden werden:
Somit ergibt sich:
Das Integral
kann unmittelbar als
geschrieben werden, da die Stammfunktion zu
wiederum
ist. Damit erhält man für die obige Gleichung:
Die beiden Terme dürfen in der zweiten Zeile zusammen gezogen werden, da für beide die gleichen Integrationsgrenzen gelten. Zur Auswertung müssen diese nun noch eingesetzt werden. Damit erhält man:
Das Integral ergibt wegen
somit den Wert
.